学姐的概率论报告

PAGEPAGE1上海大学2013～2014学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061题目:中心极限定理在商业管理中的应用学生姓名:高阳学号:11123527评语:成绩:任课教师:邹君妮评阅日期:

中心极限定理在商业管理中的应用2013年10月20日摘要：这是随机信号与分析基础课程对自学内容的总结和中心极限定理在实际生活中应用案例的阐述。1.总体小结自学内容主要包括两方面，随机变量和随机过程中的随机序列。随机事件的研究从随机变量开始，随机变量是随机事件的数量表现，要完备的描述随机变量就必须包括两个方面，在不要求全面考察随机变量的变化情况时，可研究随机变量的一些数字特征。期望，方差，协方差和相关系数等。但要比较全面的描述实际过程，就要研究随机变量的分布函数和概率密度函数。但是分布函数不易求得，于是我们引进随机变量的特征函数来求解概率密度函数。特征函数定义为：。其实质是概率密度函数的傅里叶变换。对应联合概率密度也有联合特征函数。其性质里面我认为最有用的就是随机变量的和的特征函数等于各随机变量特征函数的积，在求得新变量的特征函数后反演就得到新随机变量的概率密度。进而求得随机变量的分布函数。其次是求矩公式，N阶原点矩就对特征函数求N次导数。通过这个性质可以很方便的求出方差。在每次随机试验中出现的结果可能不同，但大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值，所以当研究的是N次独立的实验时，可以用事件发生的频率代替事件发生的概率，这就是大数定理。而中心极限定理就是将一些原本不是正态分布的一般相互独立的随机变量的总和的分布近似成正态分布。从而求得随机变量的概率密度函数。这些相互独立的随机变量都对总体造成的影响很小。从中心极限定理，可以很明显的感觉到正态分布的重要性。随机过程是依赖于时间t的一族随机变量，而随机序列是一种特殊的随机过程，它是连续随机过程在时间轴上抽样生成。在我们数字信号处理过程中研究的就是随机序列。一般用矩阵的形式表示随机序列，一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机列向量，与分析随机变量一样，其数字特征有均值，自相关函数和自协方差函数等。其中均值表示随机过程的全部样本在同一时刻(n点)随机变量的统计平均值。自相关函数和协方差函数表示同一随机序列在不同时刻取值的关联程度和偏离中心值的关联程，互相关和互协方差表示的是两个随机序列在不同时刻取值的关联程度和不同时刻取值偏离中心值的关联程度。其中任何独立随机序列的协方差矩阵均为对角阵，对角元素为随机序列的方差。对随机过程的频域分析，只能引入功率谱密度，因为随机过程的样本函数的总能量在时间轴上无限，不满足傅氏变换的绝对可积条件，但其平均功率是有限值。所以讨论平均功率。随机序列的功率谱密度定义为，它是以2为周期的函数，功率谱密度是从频率角度描述统计规律的最主要的数字特征，在学完功率谱密度我可以有两种计算随机过程平均功率的方法，求均方值和对功率谱密度的在内奎斯特区间上的积分。至此在研究完随机变量和随机过程的一般概念和统计特性后，接着研究其通过某一线性系统后其统计特性的变化情况，具体的变化情况与随机序列通过的系统有关。见下图。当一均匀分布的随机序列通过平均器后，输出序列和输入序列的期望相等，而其方差减小为输入序列的一半，表明通过平均器的随机序列围绕均值的起伏减少，分布更加集中。这一特性用于增加3dB的信噪比。q阶非递归滤波器一阶递归滤波器当0当当k>0当k=02.专题应用范例问题描述：某学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现排长队的现象，为此校学生会向后勤集团提议增设水龙头。假设每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，问：在未装新水龙头前，拥挤的概率是多少？至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？原理介绍：当相互独立的各随机因素，都服从相同的分布（不论服从什么分布），作为这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。从而可以简化计算过程求得分布函数。分析：首先分析在同一个时刻使用水龙头的人数，定义为随机变量X，其满足二项分布X～B（5000，0.01），当同一时刻出现的人数X>45时水龙头使用完，就会出现拥挤排队现象。所以拥挤的概率是P(x>45)=1-P(0<X<45)=。而第二项为求和，运算复杂，所以使用中心极限定理。考虑其条件，随机出现的人数很大，且每个人是否出现相互独立，对总体造成的影响很小。符合中心极限定理的使用条件，所以应用中心极限定理得P(0<X<45)=。通过查正态分布表就可得出拥挤的概率。第二问是已知概率而求X的范围，假设至少要安装N个水龙头才能满足条件。即得到，同样中心极限定理适用，，查正态分布的表就可求解N=62，所以应该安装62个水龙头。所以我们可以通过中心极限定理将一些看似很随机的事件、不能计算预测的问题很方便的提前通过计算预测出在什么条件下对我们最有利，从而提前做出判断