信号与系统试题附答案

信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：14、已知连续时间信号则信号所占有的频带宽度为（）A．400rad／sB。200rad／sC。100rad／sD。50rad／s15、已知信号如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t)是（）16、已知信号如下图所示，其表达式是（）

A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3)B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3)

C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3)D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3)17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（）A、f(－t+1)B、f(t+1)

C、f(－2t+1)D、f(－t/2+1)18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（）

19。信号与冲激函数之积为（）A、2B、2C、3D、5

A、因果不稳定系统B、非因果稳定系统

C、因果稳定系统D、非因果不稳定系统

21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（）

A、常数B、实数C、复数

D、实数+复数22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（）

A、阶跃信号B、正弦信号

C、冲激信号

D、斜升信号23.积分的结果为()

ABC.D.24.卷积的结果为()

A.B.C.D.25.零输入响应是()

A.全部自由响应B.部分自由响应

C.部分零状态响应D.全响应与强迫响应之差

2

A、B、C、D、127.信号〔ε(t)－ε(t－2)〕的拉氏变换的收敛域为()

A.Re[s]>0B.Re[s]>2C.全S平面D.不存在28．已知连续系统二阶微分方程的零输入响应的形式为，则其2个特征根为()

A。－1，－2B。－1，2C。1，－2D。1，229．函数是()A．奇函数B。偶函数C。非奇非偶函数D。奇谐函数30．周期矩形脉冲序列的频谱的谱线包络线为()A．函数B。Sa函数C。函数D。无法给出31．能量信号其()A．能量E＝0B。功率P＝0C。能量E＝D。功率P＝32．在工程上，从抽样信号恢复原始信号时需要通过的滤波器是()A．高通滤波器B。低通滤波器C。带通滤波器D。带阻滤波器33．设一个矩形脉冲的面积为S，则矩形脉冲的FＴ(傅氏变换)在原点处的函数值等于()A．S／2B。S／3C。S／4D。S34．…是（）A．周期信号B。非周期信号C。不能表示信号D。以上都不对35．线性系统具有（）A．分解特性B。零状态线性C。零输入线性D。ABC36．设系统零状态响应与激励的关系是：，则以下表述不对的是（）A．系统是线性的B。系统是时不变的C。系统是因果的D。系统是稳定的37．对于信号的最小取样频率是（）A．1B。2C。4D。838．理想低通滤波器是（）A．因果系统B。物理可实现系统C。非因果系统D。响应不超前于激励发生的系统39．具有（）A．微分特性B。积分特性C。延时特性D。因果特性40．等于（）A．B。C。1D。041．功率信号其()A．能量E＝0B。功率P＝0C。能量E＝D。功率P＝42．信号其周期是（）A．B。12C。6D。不存在43．对于信号的最小取样频率是（）A．8B。4C。2D。144．设系统的零状态响应则该系统是（）A．稳定的B。不稳定的C。非因果的D。非线性的45．等于（）A．B。C。1D。046．连续周期信号的频谱有（）A．连续性、周期性B。连续性、收敛性C。离散性、周期性D。离散性、收敛性47．某信号的频谱密度函数为则（）A．B。2C．D。248．理想低通滤波器一定是（）A．稳定的物理可实现系统B。稳定的物理不可实现系统C．不稳定的物理可实现系统D。不稳定的物理不可实现系统49．单边拉氏变换的原函数（）A．B。C．D。50．当输入信号的复频率等于系统函数的零点时，系统的强迫响应分量为（）A．无穷大B。不为零的常数C。0D。随输入信号而定51．欲使信号通过系统后只产生相位变化，则该系统一定是（）A．高通滤波网络B。带通滤波网络C。全通网络D。最小相移网络52．已知信号的傅氏变换为则的傅氏变换为（）A．B。C．D。53．信号的时宽与信号的频宽之间呈（）A．正比关系B。反比关系C。平方关系D。没有关系54．时域是实偶函数，其傅氏变换一定是（）A．实偶函数B。纯虚函数C。任意复函数D。任意实函数55．幅度调制的本质是（）A．改变信号的频率B。改变信号的相位C．改变信号频谱的位置D。改变信号频谱的结构56．若则（）Ａ．Ｂ。3C。D。57．假设信号的奈奎斯特取样频率为，的奈奎斯特取样频率为且＞则信号的奈奎斯特取样频率为（）A．B。C。＋D。58．某信号的频谱是周期的离散谱，则对应的时域信号为（）A．连续的周期信号B。连续的非周期信号C．离散的非周期信号D。离散的周期信号59．若线性时不变因果系统的频率响应特性可由系统函数将其中的换成来求取，则要求该系统函数的收敛域应为（）A．＞某一正数B。＞某一负数C．＜某一正数D。＜某一负数60．对于某连续因果系统，系统函数，下面说法不对的是（）A．这是一个一阶系统B。这是一个稳定系统C．这是一个最小相位系统D。这是一个全通系统61.下列信号分类法中错误的是()A.确定信号与随机信号B.周期信号与非周期信号C.能量信号与功率信号D.一维信号与二维信号62.下列各式中正确的是()A.;;B.;C.D.63．下列关于傅氏变换的描述的不正确的是()A..时域周期离散，则频域也是周期离散的；B时域周期连续，则频域也是周期连续的；C.时域非周期连续，则频域也是非周期连续的；D.时域非周期离散，则频域是周期连续的。64．若对进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为，对进行取样，其奈奎斯特取样频率为()A．3B。C。3（－2）D。65．等于()A．B。C．D。66．积分等于()A．－1B。1C。0D。－0。567．已知某连续时间系统的系统函数，该系统属于什么类型()A．高通滤波器B。低通滤波器C。带通滤波器D。带阻滤波器68．以下为4个信号的拉普拉斯变换，其中不存在傅里叶变换的信号是()A．B。1C。D。69．已知一连续系统在输入的作用下的零状态响应为，则该系统为（）A．线性时不变系统B。线性时变系统C．非线性时不变系统D。非线性时变系统70．已知是周期为T的函数，－的傅里叶级数中，只可能有（）A．正弦分量B。余弦分量C。奇次谐波分量D。偶次谐波分量71．一个线性时不变的连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为，强迫响应为，则下面的说法正确的是()A．该系统一定是二阶系统B。该系统一定是稳定系统C．零输入响应中一定包含D。零状态响应中一定包含72．已知信号的最高频率，则对信号取样时，其频谱不混迭的最大奈奎斯特取样间隔等于（）A．1／f0B．2／f0C．1／2f0D。1／4f073．脉冲信号与之间具有相同的是（）A．频带宽度B。脉冲宽度C。直流分量D。能量74．函数的单边拉氏变换等于（）A．1B。C。D。75．已知某系统的系统函数,唯一决定该系统冲激响应函数形式的是（）A．的零点B。的极点C．系统的激励D。激励与的极点76．某二阶LTI系统的频率响应，则该系统具有以下微分方程形式（）A．B。C．D。77．连续周期信号的傅氏变换是（）Ａ．连续的B。周期性的C。离散的D。与单周期的相同78．如果一连续时间二阶系统的系统函数的共轭极点在虚轴上，则它的应是（）A．指数增长信号B。指数衰减振荡信号C。常数D。等幅振荡信号79．已知一连续系统的零极点分别为－2，－1，，则系统函数为（）A．B。C。D。80．信号的傅氏变换是（）A．1B。C。0D。81．关于连续时间系统的单位冲激响应，下列说法中错误的是（）A．系统在作用下的全响应B。系统函数的拉氏反变换C．系统单位阶跃响应的导数D。单位阶跃响应与的卷积积分82．已知一个LTI系统的初始无储能，当输入时，输出为＋，当输入时，系统的零状态响应是（）A．B。C．D。83．以下的连续时间信号，哪个不是周期信号？（）A．B。C．D。84．连续时间信号，该信号的频带为（）A．100B。200C。400D。5085．信号的傅氏变换是（）A．B。C．＋D．＋86．满足狄里赫利收敛条件时，傅氏级数与原周期信号之间（）A．处处相等B。只能保证傅氏级数系数有界C．除不连续的t值外，处处相等D。处处不相等，但能量相同87．满足傅氏级数收敛条件时，周期信号的平均功率（）A．大于各谐波分量平均功率之和B。不等于各谐波分量平均功率之和C．小于各谐波分量平均功率之和D。等于各谐波分量平均功率之和88．若为实信号，下列说法中不正确的是（）A．该信号的幅度谱为偶对称B。该信号的相位谱为奇对称C．该信号的频谱为实偶信号D。该信号的频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数89．理想低通滤波器是（）A．物理可实现的B。非因果的C。因果的D。不稳定的90．的拉氏变换为（）A．B。C．D。91．连续时间信号的拉氏变换的收敛域是（）A．带状B。环状C。与无关D。与变量有关92．已知一LTI系统对的，则该系统函数为（）A．4B。C。4D。93．单边拉氏变换＝1＋的原函数为（）A．B。C。D。94．下列叙述正确的是（）A．各种数字信号都是离散信号B。各种离散信号都是数字信号C．数字信号的幅度只能取1或0D。将模拟信号抽样直接可得数字信号95．信号的周期是（）A．2B。C。D。96．下列系统函数表达式中，是稳定全通系统的是（）A．B。C．D。97．离散时间单位延迟器D的单位序列响应为（）A．B。C。D。198．周期信号的傅立叶变换为（）A．B。2C。D。0.599．可写成以下正确的表达式是（）A．B。C．D。100．（）A．B。C。D。二、填空题1．________________。2．从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是_______________。

3。符号函数的频谱函数F(jω)=________________。4。频谱函数F(jω)=δ(ω-2)＋δ(ω+2)的傅里叶逆变换f(t)=________________。

5。已知一线性时不变系统，在激励信号为时的零状态响应为，则该系统的系统函数H(s)为_______。

6。对于一个三阶常系数线性微分方程描述的连续时间系统进行系统的时域模拟时，所需积分器数目最少是_______个。

7。一线性时不变连续因果系统是稳定系统的充分且必要条件是系统函数的极点位于S平面的__________。8．如果一线性时不变系统的单位冲激响应为，则该系统的阶跃响应g(t)为_________。

9．如果一线性时不变系统的输入为，零状态响应为,则该系统的单位冲激响应为_________________。

10．如果一LTI系统的单位冲激响应，则当该系统的输入信号＝时，其零状态响应为_________________。

11．已知x(t)的傅里叶变换为X（jω），那么的傅里叶变换为_________________。

12．已知，的频谱为π［δ(ω＋ω0)＋δ(ω－ω0)］，且，那么y(t0)=_________________。

13．若已知f1(t)的拉氏变换F1（s）=1／s，则=f1(t)f1(t)的拉氏变换F（s）=_________________。

14．已知线性时不变系统的冲激响应为=，则其系统函数H（s）＝__________。15．已知一信号的频谱的带宽为，则的频谱的带宽为____________。16．已知一离散时间系统的系统函数,判断该系统是否稳定__________。17．已知某因果系统的系统函数为，要使系统稳定，则值的范围为_________________。18．_________________。19．积分器的频域系统函数＝_________________。20．信号不失真的条件为系统函数＝_________________。21．______________________22。等于______________23．阶跃信号与符号函数的关系是___________________________24．偶周期信号的傅氏级数中只有________________________________25．如果已知系统的单位冲激响应为,则该系统函数H(s)为_____________________26．如果一个系统的幅频响应是常数，那么这个系统就称为____________________27．单位冲激.信号的拉氏变换结果是____________28．在收敛坐标____________的条件下，系统的频率响应和系统函数之间的关系是把系统函数中的s用代替后的数学表达式。29．系统函数零点全在左半平面的系统称为__________________。30．H(s)的零点和极点中仅___________决定了h(t)的函数形式。31．系统的冲激响应是阶跃响应的__________。

32。斜升函数是函数的_______________.

33。系统的初始状态为零，仅由______________引起的响应叫做系统的零状态响应。

34。激励为零，仅由系统的___________引起的响应叫做系统的零输入响应。

35。系统对的响应为(t),若系统对(t－t0)的响应为(t－t0),则该系统为_________系统。

36。系统的全响应可分解为零输入响应与零状态响应两部分响应之和，又可分解为响应及强迫响应两部分响应之和。

37。非周期连续信号的频谱是______________的。

38。已知信号的拉普拉斯变换，其原函数为_____________39．已知LTI系统的频率响应函数若则=____40．因果系统是物理上_____________系统。41．已知某一因果连续时间LTI系统的频率响应为，则该系统对输入信号＝的响应为___________________________________。42．已知频谱，则其傅氏反变换＝__________________________。43．设某一周期锯齿脉冲信号的傅氏级数的系数为，当时，＝_________。44．因果连续时间LTI系统对的稳态响应为__________________________。45．信号在时域拥有的总能量，等于其频谱在频域内能量的_________。46．当用傅氏级数的有限项和来近似表示信号时，在信号的断点处存在_________________。47．连续时间LTI系统对周期信号的响应为_________________。48．已知信号的拉氏变换为则该信号的傅氏变换________。49．已知一离散时间LTI系统的单位阶跃响应，则该系统的单位序列响应__________________________。50．若离散时间系统的单位序列响应，则系统在｛1，2，3｝，，2，3激励下的零状态响应为__________________________。三、判断题：(正确的打“√”,错误的打“×”)已知，，则的非零值区间为［0，3］。（）若L［］＝F（s）,则L［］＝。（）奇函数加上直流后，傅氏级数中仍含有正弦分量。（）。（）5．一个系统的零状态响应就等于它的自由响应。（）6．若系统起始状态为零，则系统的零状态响应就是系统的强迫响应。（）7．的零点与的形式无关。（）8．若一个连续LTI系统是因果系统，它一定是一个稳定系统。（）9．因果连续LTI系统的系统函数的极点一定在平面的左半平面。（）10．一个信号存在拉氏变换就一定存在傅氏变换。（）11．周期连续时间信号，其频谱是离散的非周期的。（）12．稳定系统的极点一定在平面的左半平面。（）13．因果稳定系统的系统函数的极点一定在平面的左半平面。（）14．任意系统的只要在处用代入就可得到该系统的频率响应。（）15．系统的是由其系统函数的零极点位置决定的。（）16．若，则。（）17．若，则。（）18．零状态响应是指系统没有激励时的响应。（）19．非周期的冲激取样信号，其频谱是离散的、周期的。（）20．一个系统的自由响应就等于它的零输入响应。（）21．用有限项傅里叶级数表示周期信号，吉布斯现象是不可避免的。（）22．对连续周期信号取样所得的离散时间序列也是周期信号。（）23．理想模拟低通滤波器为非因果物理上不可实现的系统。（）24．拉普拉斯变换满足线性性质。（）25．拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。（）26.若信号是实信号，则其傅里叶变换的相位频谱是偶函数。（）27．单位阶跃响应的拉氏变换称为系统函数。（）28．系统的极点分布对系统的稳定性是有比较大的影响的。（）29.信号时移只会对幅度谱有影响。（）30.在没有激励的情况下，系统的响应称为零输入响应。（）31.抽样信号的频率比抽样频率的一半要大。（）32.只要输入有界，则输出一定有界的系统称为稳定系统。（）33.时不变系统的响应与激励施加的时刻有关。（）34．信号为能量信号。（）35．信号为功率信号。（）36．两个周期信号之和一定是周期信号。（）37．所有非周期信号都是能量信号。（）38．卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。（）39．两个线性时不变系统的级联构成的系统是线性时不变的。（）40．两个非线性系统的级联构成的系统也是非线性的。（）41．若一个系统的的极点多于零点，且该系统是因果的，则其阶跃响应在上是连续的。（）42．一个因果的稳定系统的系统函数所有的零、极点必须都在平面的左半平面内。（）43．离散信号经过单位延迟器后，其幅度频谱也相应延迟。（）44．是周期信号。（）45．已知一系统的后，可以唯一求出该系统的。（）46．没有信号可以既是有限时长的同时又有带限的频谱。（）47．若，则。（）48．两个奇信号相加构成的信号一定是偶对称的。（）参考答案一、单项选择题：1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.A8.B9.C10.A11.D12.B13.B14.C15.D16.B17.D18.C19.B20.C21.B22.A23.A24.C25.B26.A27.C28.A29.A30.B31.B32.B33.D34.B35.D36.A37.B38.C39.B40.D41.C42.B43.B44.B45.A46.D47.B48.B49.C50.C51.C52.D53.B54.A55.C56.C57.C58.D59.B60.C61.D62..C63.B64.B65.D66.A67.B68.D69.B70.C71.B72.A73.C74.D75.B76.C77.C78.D79.D80.A81.A82.D83.D84.B85.C86.C87.D88.C89.B90.D91.A92.B93.A94.A95.C96.B97.C98.A99.D100.B二、填空题1．.2.。离散的。3。4。。5。6．3个。7。左半平面。8。。9。2。10。11．。12。1。13。14。。15。4。16．系统不稳定。17。。18。。19。。20。。21.。22.。23。。24.直流项和余弦项。25.L［h(t)］。26.全通系统27.1。28。＜0。29.最小相位系统。30.极点31.一阶导数。32.二次积分。33.输入。34.初始状态。35.时不变。36.自由响应。37。连续的。38．。39。6。40.可实现的。41．42。43。044．45。总和46。吉布斯现象47。周期信号48。不存在49．50。，k=1,2,3,4三、判断题：1．√2。×3√4。×5。×6。×7√8。×9。×10。×11。√12。×13。√14．×15。×16。√17。√18。×19。×20。×21。√22。×23。√24．√25。√26。×27。×28。√29。×30。√31。.×32。√33。×34。√35。×36。√37。×38。√39。√40。×41。√42。×43。×44。√45。×46。√47。√48。×信号与系统综合复习资料考试方式：闭卷考试题型：1、简答题（5个小题），占30分；计算题（7个大题），占70分。一、简答题：1．其中x(0)是初始状态，试回答该系统是否是线性的？[答案：非线性]2．试判断该微分方程表示的系统是线性的还是非线性的，是时变的还是非时变的？[答案：线性时变的]3．已知有限频带信号的最高频率为100Hz，若对进行时域取样，求最小取样频率=？[答案：]4．简述无失真传输的理想条件。[答案：系统的幅频特性为一常数，而相频特性为通过原点的直线]5．求的值。[答案：3]6．已知，求信号的傅立叶变换。[答案：]7．已知的波形图如图所示，画出的波形。[答案：20420428．已知线性时不变系统，当输入时，其零状态响应为，求系统的频率响应。[答案：]9．求象函数,的初值和终值。[答案：=2，]10．若LTI离散系统的阶跃响应为，求其单位序列响应。其中：。[答案：]11．已知，设，求。[答案：3]12．描述某离散系统的差分方程为求该系统的单位序列响应。[答案：]13．已知函数的单边拉普拉斯变换为，求函数的单边拉普拉斯变换。[答案：]14．已知的波形如下图，求（可直接画出图形）[答案：30130115．有一线性时不变系统，当激励时，系统的响应为；试求：当激励时的响应（假设起始时刻系统无储能）。[答案：]二、某LTI连续系统，其初始状态一定，已知当激励为时，其全响应为；若初始状态保持不变，激励为2时，其全响应为；求：初始状态不变，而激励为3时系统的全响应。[答案：]三、已知描述LTI系统的框图如图所示2-2-eq\o\ac(○,∑)-7y(t)+12f(t)若，，求其完全响应。[答案：]四、图示离散系统有三个子系统组成，已知，，激励，求：零状态响应。[答案：]已知描述系统输入与输出的微分方程为：写出系统的传递函数；[答案：]求当时系统的全响应。[答案：]六、因果线性时不变系统的输入与输出的关系由下面的微分方程来描述：式中：求：该系统的冲激响应。[答案：或：]图（a）所示系统，其中，，系统中理想带通滤波器的频率响应如图（b）所示，其相频特性求输出信号。[答案：]八、求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、零状态响应。[答案：，]九、求下列象函数的逆变换：1、2、[答案：（1）（2）]十、已知系统的传递函数；写出描述系统的微分方程；求当时系统的零状态响应和零输入响应。[答案：（1）（2）十一、已知一个因果LTI系统的输出与输入有下列微分方程来描述：（1）确定系统的冲激响应；（2）若，求系统的零状态响应[答案：（1）（2）]十二、已知某LTI系统的输入为：时，其零状态响应，求系统的单位序列响应。[答案：]十三、已知某LTI系统，当输入为时，系统的零状态响应为求系统的阶跃响应。[答案：]十四、某LTI系统，其输入与输出的关系为：求该系统的冲激响应。[答案：]十五、如题图所示系统，他有几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为：求：复合系统的冲激响应。eq\o\ac(eq\o\ac(○,∑)f(t)y(t)ha(t)ha(t)ha(t)hb(t)[答案：]十六、已知的频谱函数，则对进行均匀抽样，为使抽样后的信号频谱不产生混叠，最小抽样频率应为多少？[答案：4Hz]十七、描述LTI系统的微分方程为已知，，，求系统的零状态响应和零输入响应。[答案：]3-1求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。解由图3-1可知，为奇函数，因而所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为所以，指数形式的傅利叶级数为3-2周期矩形信号如图3-2所示。若：重复频率脉宽幅度求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。解对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数则的指数形式的傅利叶级数（FS）为其直流分量为基波分量的幅度为二次谐波分量的幅度为三次谐波分量的幅度为由所给参数可得将各参数的值代入，可得直流分量大小为基波的有效值为二次谐波分量的有效值为三次谐波分量的有效值为3-3若周期矩形信号和的波形如图3-2所示，的参数为，，；的参数为，，，分别求：（1）的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz表示；（2）的谱线间隔和带宽；（3）与的基波幅度之比；（4）基波与三次谐波幅度之比。解由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为且基波幅度为三次谐波幅度为另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频。周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为。注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为。依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下：（1）的谱线间隔带宽（第一零点位置）（2）的谱线间隔带宽（3）的基波幅度的基波幅度因此的基波幅度：基波幅度（4）的三次谐波幅度因此基波幅度：三次谐波幅度求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。解由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而即不包含正弦谐波分量。从而幅度谱如图3-4所示。3-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。若，,大致画出幅度谱。解由图可知，为偶函数，因而从而若，则幅度谱如图3-6所示。3-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图。解图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS）的系数从而幅度谱和相位谱分别如图3-8（a）、（b）所示。3-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。解（a）如图3-9（a）所示。因为是偶函数，所以不含正弦波；又因为是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。综上，只含奇次余弦分量。（b）如图3-9（b）所示。因为是奇函数，所以不含正弦波；又因为是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。综上，只含奇次余弦分量。（c）如图3-9（c）所示。因为是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。（d）如图3-9（d）所示。因为是奇函数，所以只包含正弦分量。（e）如图3-9（e）所示。因为是偶函数，所以不含正弦项；又因为是偶谐函数，所以不含奇次谐波分量。综上，只含有直流和偶次余弦分量。(f)如图3-9（f）所示。因为是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为是奇函数，所以只包含正弦分量。综上，只包含直流和偶次谐波的正弦分量。3-8求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。解（a）如图3-10（a）所示。此题中的与题3-4中的信号（记为）在图形上相同，只是平移了，即由题3-4知，则（b）如图3-10（b）所示。方法一：由于为偶函数，所以所以方法二：此题还可利用单脉冲信号的FT与周期性脉冲信号的FS的系数之间的关系：先求如图3-11所示的单脉冲信号的FT可利用微积分性质。和分别如图3-12（a）、（b）所示。由于由FT的微分性质，得于是则周期信号的傅利叶系数

3-9求图3-13所示周期余弦切顶脉冲的傅利叶级数，并求直流分量。以及基波和次谐波的幅度(和)。（1）（2）（3）[提示：，为的重复角频率]解图3-13所示信号，为的重复角频率直流分量由于是偶函数，所以则基波的幅度k次谐波的幅度（2）当时，（3）当时，3-10已知周期函数前四分之一周期的波形如图3-14所示。根据下列各种情况的要求画出在一个周期()的波形。（1）是偶函数，只含有偶次谐波；（2）是偶函数，只含有奇次谐波；（3）是偶函数，含有偶次和奇次谐波；（4）是奇函数，只含有偶次谐波；（5）是奇函数，只含有奇次谐波；（6）是奇函数，含有偶次和奇次谐波。解（1）由要求可判断出，既是偶函数，又是偶谐函数。在内的波形如图3-15（a）所示。（2）由要求可判断出，既是偶函数，又是奇函数。在内的波形如图3-15（b）所示。（3）有条件可判断出，是偶函数，亦是非奇偶函数。满足这个条件的不止一个，下面仅画出一例。在内的波形如图3-15（c）所示。（4）由要求可判断出，既是奇函数，有时偶谐函数。在内的波形如图3-15（d）所示。（5）由要求可判断出，既是奇函数，又是奇谢函数。在内的波形如图3-15（e）所示。（6）由要求可判断出，是奇函数，亦是非奇非偶函数，满足该条件的不止一个，下面仅画出一例。在内的波形如图3-15（f）所示。3-11求图3-16所示周期信号的傅利叶级数的系数，（a）题求；（b）题求。解（a）由图3-16（a）可知，的周期为4，且在[0，4]内的函数表达式为。从图3-16（a）中易看出，在一个周期内的平均只为零，即所以（b）由图3-16可看出于是如图3-17所示周期信号加到RC低通滤波电路。已知的重复频率，电压幅度。分别求：稳态时电容两端电压之直流分量、基波和五次谐波之幅度；求上述各分量与相应分量的比值，讨论此电路对各分量响应的特点。（提示：利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。）解首先把周期电压源信号展开为傅里叶级数：因此式中。由所给电路，求得电路的频响函数为电压源中的直流分量中的基波分量的幅度]中五次谐波分量的幅度电容两端电压亦为与同频率的周期信号，且当作用时，电容两端电压，亦即中的直流分量为0.25V，中的基波分量的幅度中五次谐波分量的幅度综上所述，稳态时电容两端电压之直流分量幅度为0.25V，基波幅度为0.313V，五次谐波幅度为0.019V。电容电压中直流分量与中直流分量之比值0.25：0.25=1，中基波幅度与中基波幅度之比值为=0.847，中五次谐波幅度与中五次谐波幅度之比值为=0.303。由以上比值可分析得知，此RC电路是一低通滤波器，对高频分量衰减的相对大一些，而对低频分量衰减的相对少一点。学习电路课时已知，LC谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与电路的LC谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对值很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。图3-18所示RLC并联电路和电流源都是理想模型。已知电路的谐振频率为，谐振电路品质因数Q足够高（可滤除邻近频率成分）。为周期矩形波，幅度为1mA。当的参数()为下列情况时，粗略地画出输出电压的波形，并注明幅度值。（1）（2）（3）解（1）当时，的基频因为电路的谐振频率，所以电路将产生较强的，由中的基波所引起的输出电压。的傅里叶级数展开式为即其中由的傅里叶级数（FS）可知，其基波的幅度为此基波所引起响应电压即当时，输出电压为一个频率为100kHz，幅度为127V的正弦波，其波形如图3-19(a)所示。（2）当时，的基频此时电路产生的输出电压主要应是由中的二次谐波分量所引起的。由（1）知，中二次谐波的幅度这里因而即由二次谐波所引起的响应为零。考虑到由其他谐波分量所引起的电压很微弱，所以输出电压近似为零。（3）当时，的基频此时电路产生的输出电压主要由的三次谐波分量所引起的。由（1）知，中三次谐波的幅度这里因而此三次谐波所引起的响应即输出电压为一个频率为100kHz，幅度为42.4V的正弦波，其波形如图3-19（b）所示。若信号波形和电路结构仍如图3-18所示，波形参数为适当设计电路参数，能否分别从矩形波中选出以下频率分量的正弦信号：50kHz,100kHz,150kHz,200kHz,300kHz,400kHz?对于那些不能选出的频率成分，试分别利用其他电路（示意表明）获得所需频率分量的信号。（提示：需利用到电路、模拟电路、数字电路等课程的综合知识，可行方案可能不只一种。）解（1）输入信号的周期，因而基频也就是说，中只包含的整数倍频率的谐波成分，因此不可能从此矩形波中选出的非整数倍频率，即50kHz,150kHz。又由题3-13可知，的傅里叶级数(FS)为其中当n=2和n=4时，二次谐波和四次谐波的幅度均为0，因此也不可能从此矩形波中选出200kHz和400kHz的正弦分量。综上所述，当参数为时，电路只能从矩形波中选出100kHz和300kHz的正弦分量。（2）选出50kHz的正弦分量可利用如图3-20(a)所示系统。选出150kHz的正弦分量可利用如图3-20(b)所示系统。选出200kHz和100kHz的正弦分量可利用如图3-20(c)所示系统。求图3-21所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。解由图3-21易知，则此信号的傅里叶变换其频谱图如图3-22所示。求图3-23所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换。解（a）的波形如图3-24（a）所示。等式两边同取傅里叶变换(FT)，有则当时，用罗必塔法则求F(0),或（b）的波形如图3-24(b)所示。则（c）及波形如图3-24（c）、（d）所示。两边求FT，有其中（d）由于因而即两边求FT，有其中图3-25说是各波形的傅里叶变换可在本章正文或附录表中找到，利用这些结果给出各波形频谱所占带宽（频谱图或频谱包络图的第一零点值），注意图中的时间单位都为。解（a）是矩形单脉冲信号，其频谱函数其中E为幅度，为脉冲宽度。是一抽样寒暑，其第一零点值，此题中，因此带宽（b）是有两个平移了的矩形单脉冲信号合成的，其频谱函数其中E仍为脉冲幅度，为脉冲宽度。由于的包络是抽样函数，所以带宽仍为，此题中，因此宽度（c）为升余弦脉冲信号，其频谱函数其中E为最大幅度，为脉冲宽度。的第一零点值，此题中，因此带宽（d）偶对称的三角脉冲信号的频谱函数为，其第一零点值。此题中的是平移了半个脉宽的偶对称三角脉冲信号，由FT的时移特性可知，其中为E最大幅值，为脉宽。由于平移不会改变信号的频带宽度，且此题中，因此带宽（e）偶对称的梯形脉冲信号的频谱函数第一零点值。此题中的是平移了半个脉宽的偶对称梯形脉冲信号，且,同(d)可得带宽（f）偶对称抽样脉冲信号的频谱函数第一零点值。此题中的是平移了个单位的偶对称抽样脉冲，且，同(d)可得带宽“升余弦滚降信号”的波形如图3-26（a）所示，它在到的时间范围内以升余弦的函数规律滚降变化。设，升余弦脉冲信号的表达式可以写成或写作其中，滚降系数求此信号的傅里叶变换式，并画出频谱图。讨论和两种特殊情况的结果。[提示：将分解为和之和，如图3-26(b)所示，分别求傅里叶变换在相加。]解根据提示，先考察函数其波形如图3-27(a)所示。是一奇函数，因此再考察图3-27（a）所示的和，,则图3-26(b)中的信号的傅里叶变换图3-26(b)中信号的傅里叶变换于是其频谱图如图3-27（b）所示。当k=0时，是矩形脉冲信号，其傅里叶变换为当k=1时，是升余弦脉冲信号，其傅里叶变换为求图3-28所示的傅里叶逆变换。解此题的关键是正确写出频谱函数的表达式。（a）由图3-28（a）可知，由于所以先求的傅里叶逆变换。由变换对可知又利用FT的延时性知即（b）由图3-28（b）可知，则从而因为所以由FT的频域微分性质，有函数可以表示成偶函数与奇函数之和，试证明：（1）若是实函数，且，则若是复函数，可表示为且则其中证明（1）已知，现考察的傅里叶变换。因为是实函数，所以则积分即即由于所以又所以已知①则且②由式①+②，得从而由式①-②，得从而对图3-29所示波形，若已知，利用傅里叶变换的性质求以为轴反褶后所得的傅里叶变换。解由图3-29易知由于则由FT的延时性质，有由FT的尺度变换性质有利用时域与频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数。（1）（2）（3）解（1）因为所以由FT的时、频对称性，有即的时间函数（2）因为所以由FT的时、频对称性，有即所求时间函数由（2）已知则即所求时间函数若已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图3-30所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱。解矩形单脉冲信号的傅里叶变换由图3-30所示信号可知于是由FT的时移特性可得其幅度谱如图3-31所示。求图3-32所示三角形调制信号的频谱。解图3-32所示信号是三角脉冲信号（如图3-33所示）与升余弦函数的乘积，即由FT的卷积性质可得查附录可得因而图3-34所示信号，已知其傅里叶变换式，利用傅里叶变换的性质（不做积分运算），求：（1）（2）（3）（4）之图形。解（1）先考虑图3-35（a）所示的实偶三角脉冲信号，其傅里叶变换亦为实偶函数，且，所以的相角。由图3-34所示信号可知因此于是（2）由FT正变换式知（3）由FT逆变换式知即（4）是实函数，由题3-20可知又，因此的图形如图3-35（b）所示。利用微分定理求图3-36所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出情况下该脉冲的频谱图。解的一阶、二阶导数的图形3-37（a）、（b）如图所示。两边同取FT，由微分定理，有于是当时，在情况下该脉冲的频谱图如图3-38所示。利用微分定理求图3-39所示半波正弦脉冲及其二阶导数的频谱。解的一阶及二阶导数的波形如图3-40(a)、(b)所示。由图3-40（b）可看出由微分定理从而且的二阶导数的频谱（1）已知，求的傅里叶变换。（2）证明的傅里叶变换为（提示：利用频域微分定理）解（1）已知则由频域微分定理，有即（2）已知由频域微分定理，有即若已知，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解（1）此题是训练傅里叶变换的性质。由尺度变换性质，有再由频域微分性质，有（2）由频域微分性质，有再有线性性质，有（3）由尺度变换性质，有再有频域微分性质，有最后由线性性质，有（4）由时域微分性质，有再由频域微分性质，有由延时性质，有再有尺度变换性质，有由频域微分性质，有再有尺度变换性质，有最后由延时性质，有由尺度变换性质，有再由延时性质，有试分别利用下列几种方法证明（1）利用符号函数（2）利用矩形脉冲取极限（3）利用积分定理（4）利用单边指数函数取极限证明（1）因为，所以由FT的线性性，有（2）因为所以由第二章导出的式（2-100）可知由第一章冲激函数的定义可知所以（3），且由积分定理，有（4）因为所以由题2-22（2）可知又因此3-31已知图3-41中两矩形脉冲及，且：,（1）画出的图形；（2）求的频谱，并与题3-26所用方法进行比较。解（1）的图形如图3-42所示。（2）因为所以由卷积定理，得此题与题3-26均是求一梯形脉冲信号的频谱。题3-26利用了傅里叶变换的卷积性质，即直接将合成梯形脉冲信号的两矩形信号的频谱相乘，从而得到梯形脉冲信号的频谱。已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换：求单边正弦信号和单边余弦函数的傅里叶变换。解单边正弦函数为，单边余弦函数为。由傅里叶变换的卷积定理，有因为所以从而3-33已知三角脉冲的傅里叶变换为试利用有关定理求的傅里叶变换。、的波形如图3-43所示。解由频域卷积定理，有由于由时移性质可得而所以3-34若的频谱如图3-44所示，利用卷积定理粗略画出，，的频谱（注明频谱的边界频率）。解因为所以这三个频谱分别如图3-45（a）、（b）、（c）所示。3-35求图3-45所示信号的频谱（包络为三角脉冲，载波为对称方波）。并说明与图信号频谱的区别。解图3-46所示信号，其中代表三角脉冲信号，代表周期性对称方波，且周期。查表可知的傅里叶变换为一冲激序列，且其中为傅里叶系数。则因为所以图3-32信号的频谱是将三角脉冲信号的频谱左、右各平移而得到的；而此频谱是将三角脉冲信号的频谱以为周期重复平移而得到的，同时幅度也在变化。3-36已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换（见附录三），求图3-47所示周期梯形信号和周期全波余弦信号的傅里叶级数和傅里叶变换。并示意化出它们的频谱图。解（a）设查表可知由于周期信号的傅里叶级数的系数且的傅里叶变换所以周期梯形信号的傅里叶级数的傅里叶变换：其中当时频谱示意图如图3-48（a）所示。(b)设查表可知与(a)同理，周期全