2022年高考数学一轮复习讲练测5

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考•浙江）

专题5.6《平面向量、复数》单元测试卷

时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题部分（共40分）

一'选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2021•浙江高一期末）已知A（O,T）,5（-1,3）,则|福=（）

A.yfnB.17C.5D.V10

【答案】A

【解析】

首先求出通的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；

【详解】

解：因为A（0,-1）,3（—1,3）,所以通=（一1,3）-（0,-1）=（一1,4）,所以西=J（_iy+42=Ji7

故选：A

2.（2021•浙江高一期末）复数二一（i是虚数单位尸（）

1-1

A.l+iB.1-iC.2+2iD.l-2i

【答案】A

【解析】

直接利用复数的除法运算法则计算即可

【详解】

22(1+i),.

1-i(l-i)(l+i)

故选：A

3.(2021.浙江高一期末)已知向量万=(2,-6),b=(-\jn),若出区，则"?=()

A.5B.3C.-3D.-5

【答案】B

【解析】

直接利用向量平行的坐标表示得到〃?的方程，解方程即得心的值.

【详解】

因为M/区，

所以2根=(-6)x(-1)=6

解得"2=3

故选：B.

4.(2021•浙江高一期末)已知砺=(—1,2),砺=(3,加)，若砺_!.砺，则加的值为()

3

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】B

【解析】

依题意可得OAOB=0，列方程解出.

【详解】

____3

解：OALOB-OA-Oli=-3+2m=Q.m=2'

故选：B.

5.(2021•广东深圳中学高一期中)已知通=(l,cosa),BC=(2,-sina),若A,B,C三点共线，则tana

的值为()

11

A.-2B.——C.—D.2

22

【答案】A

【解析】

由向量共线的坐标表示列式即可得解.

【详解】

因AB,C三点共线，于是得丽//豆心，而而=(l,cosa),及=(2,-sina),

”.八sina

则右-sma=2cosa,即untana=-----=-2,

cosa

所以tana的值为一2.

故选：A

6.(2022浙江高二期末)已知平面直角坐标系内两向量£=(-2,2)石=(1,2),则“义>1”是“向量£与未夹

角为锐角”的什么条件()

A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必安

【答案】A

【解析】

根据两向量夹角为锐角，可得£/〉0且排除2,5同向共线情况，计算得到4,然后根据从分条件、必要条

件判断即可.

【详解】

若”,坂夹角为锐角，则a•很〉0=>22—2>0n丸>1

当2,B同向共线时，a=kb{k>0),则%不存在，故4>1

所以“几>1”是“向量7HB夹角为锐角”的充要条件

故选：A

7.(2021•安徽高二期末(理))在平行四边形ABC。中，设丽=Z，CD=h，E为AO的靠近。的三等

分点，CE与BD交于F,则再()

3-1-3-1-1-3-1-3-

A.--a--bB.~-a+-bC.--a--bD.-a--b

44444444

【答案】A

【解析】

3

利用平面几何的知识可得出BF=-BD,然后利用平面向量的加法与减法法则可得出行关丁iB的关

系式.

【详解】

JT,1iQ

如下图所示，因为AD〃BC,则——=—故。F=-50,BF=」BD,

BFBC344

QQQIQI

故,尸=4»+8尸=4月+士8方=-。方+±(05—。月)=-±已月一±。方=一±£-±3,

44、>4444

故选：A.

8.(2021・浙江高三其他模拟)已知办出为单位向量,向量2满足|2"+£|=|£石|,则尸一目的最大值为()

A.72B.2C.73D.3

【答案】B

【解析】

~•d1—*/*7_____|—•

由12-+d\=\d，b|得|c—(——)|=■—|a»b|,说明乙的终点的轨迹是以——的终点为圆心，—|万・b|为半径的圆，

2222

11-的最大值是圆心与5的终点之间的距离加上半径，即为|5-(-|)1+自1石1,再将其化成］,行的模

和夹角可解得.

【详解】

解：由I23+2R酸|得丁’?=；|制，说明*的终点的轨迹是以-g的终点为圆心，“臼为半径的

圆，

忆-b|的最大值是圆心与。的终点之间的距离加上半径，即为咨b|,

­.\b+^\+~\a>b|=J(5+')2+g|@石|

=J+；+a石+婀

=Jl+；+cos<a,b>+-^|cos<dyb>|

42

2,（当且仅当cos<5,人>=1时取等号）.

故选：B.

9.（2021•浙江高二期末）已知a,b,c是A/WC的三边，且a=2,0=3,c=4,点。是AABC外接圆的

圆心，则荷•丽=（）

55/

A.---B.-C.—D.—6

222

【答案】C

【解析】

取BC的中点般，然后将亚用丽•，丽表示，进一步用通而表示，在用丽，而表示，然后计算

即可.

【详解】

取BC的中点”，然后连接OM,AM

如图

A

B

所以标=次+初0，由。是AABC外接圆的圆心，所以。

所以而=（加+•0•而=丽7.而

又加显”+码=

故选：c

10.（2021•浙江高一期末）已知。为△ASC的外心，3砺+4丽+5玄=6,贝Ucos/A3c的值为（）

石

A.----DR.-V--i--o-\r-x•-V--5--Lnx.-V--i-o--

510105

【答案】A

【解析】

3

设AABC的外接圆的半径为R,将3Q4+4OB+50c=6平方后求出cosNAOC=-《，找到

NA0C=2NABC,利用二倍角公式求出cosNABC

【详解】

设AABC的外接圆的半径为R,

3Q4+4OB+5OC=0-

■'-3OA+5OC=-4OB＜且圆心在三角形内部，

（3酝+5的2=（-4砺丫

9（O4）2+25（OC）2+30函-0C=16（砺丫，

二9H2+25H②+30H2cosZAOC=16R2

3

cos/AOC=—

5

根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得：ZAOC=2ZABC

3

2cos29ZABC-1=cosZAOC=—二

5

解得cosZABC=亚

5

故选：A

第II卷非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.（2021•浙江高一单元测试）已知向量。=弓，'§，石=＞则£4=;卜一q=

【答案】-16

【解析】

rr

利用向量数量积运算可求出£力，向量减法运算求出£-石的坐标，即可计算出a-b.

【详解】

-门⑺-（1柠

解：因为向量"=—-＞b=—,一-—,

I22）I22）

、

11J__U

所以a%=—x—+------X-----------

2,229222224_4__2'

71JJ

a-B=（0,6）,

.-q=Vo2+32=A/3.

故答案为：一万；A/3•

12.（2021•浙江高三其他模拟）己知—2。=—3+初，a,beR,i是虚数单位，则a+b=

若复数z=a+hi,则z在复平面内对应的点位于第象限.

【答案】0二

【解析】

根据乘法法则，可得（。一，）（1-2。=。-2—（1+加）晨根据复数相等的条件，可得a,b,分析即可得答案.

【详解】

山（〃一，）（1一2，）=一3+初，得〃一2—（1+2〃），=一3+4，

a—2=—3

由复数相等的充要条件得j_0+2a）=b，解得。=一1，b=l，

所以4+。=0，

所以Z=T+i,复数Z在复平面内对应的点为（-1,1）,位于第二象限.

故答案为：0；

13.（2021•浙江高一期末）在△ABC中，点。是边上的动点，若而=xAB+y印不，则x+y=

【答案】I

【解析】

___1___；___12

山前与反共线可得AD=LTAB+LTAC，（A^-l）,于是x=「,进而可得

1+/11+21+21+2

x+y=1.

【详解】

因为三点共线，则而与反共线，所以，存在实数;1（片一1）,使得丽=%反,

即加一通=九（恁一而5）,所以（1+4）亚=通+大记，

故而=工荏+工/，又荏与衣不共线，

1+21+2

1a11

所以，%=-；―pyn'i—7，从而x+y="j-r+y—7=1.

1+A1+41+41+A

故答案为：L

14.（2021•浙江高一期末）已知扇形AOB半径为1,NAOB=60°,弧AB上的点尸满足

OP=WA+eR）,则九+〃的最大值是.

【答案】巫

3

【解析】

先建立坐标系，从而得到点的坐标，再根据而=4况+〃砺得到九〃的值，最后求几+〃的最大值即可.

【详解】

以为0原点，以。8为X轴，过。且垂直于08为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

OBX

设NBOP=8，则尸(cos0,sin6),5(1,0),A(g,

因为丽=/l丽+〃丽,

八1,26sin。

cos6)=—X+//A------------

3

所以《2厂，解得，

.A一右7

sin0=—A〃=cos〃Q-《-s-in”n

2

所以;l+〃=^1^+cose—*sine=^sin(6+。)

TT

由图可知owe〈上,

3

当时，最得最大值2回.

63

故答案为：2叵

3

15.（2021•浙江高一期末）己知向量满足忖=3,£4=6若对任意实数都有卜一词2卜一则

|«+^|（2eR）的最小值为.

【答案】V3

【解析】

对,一词游-囚两边平方化简，结合已知条件可得引邛―12x+12—同

N0恒成立，从而可得

△=144一4问2（12-［司］=4忖「—48|5『+14440,可求得忖=指，而

\a+义,=J@+2泥4+/12|邛对其化简可求出其最小值

【详解】

解：因为卜_“4之卜_目，所以卜（—2xa-5+x2闻2之,（_24%+忸（，

因为同=3,7B=6,所以％2忖2-128+12-忸120,

所以△=144-4|司2（12—|同］=4忖『-48|司2+144<0,

所以学『一6）2«0,所以|彳=6,所以呵=指，

所以忖+尚=+2/1无5+才问＞

=的+12几+6/12

=V3-72A2+4A+3

=G、2(/l+l)2+lNg,

当且仅当A=-l时，取到最小值6，

故答案为：6

16.(2021•浙江高二期末)已知两个单位向量£、B的夹角为120°,c=ta+(l-t)b,若向量"与£、石的

夹角均为锐角，则£/=；，的取值范围为.

4[rf]

【解析】

利用平面向量数量积的定义可求得£4的值，求出实数f的取值范围，利用平面向量的数量积可求得向的取

值范围.

【详解】

由平面向量数量积的定义可得75=|a|-|h|cosl20°=一;，

因为向量"与£、B的夹角均内锐角，

---2,\-1,X311

则a・c=fa+(l-Z)6r-/7=r-—(l-/)=-/-->0,可得

,1___2132

b-c=ta-b+(\-t^b=-—Z+(l-Z)=l-^-?>0,可得

且向量c与a、人均不共线，则〈八，可得且twl，

1-/^0

所以，一</<一.

33

c=[fa+(l-r)可=产。~+2/(1—=2产-2/+1=3/一3r+l

故水立.

2।।3

故答案为：—《；-

2|_23J

17.(2021•浙江高一期末)如图，在-45c中，ZBAC=p而=2而，P为CO上一点，且满足

AP=mAC+^AB,m=；若△ABC的面积为26,则|Q|的最小值为.

【解析】

__2______i____

设丽=力丽，可得出Q通+(1-4)恁=—互+机恁，可得出关于；I、m的方程组，即可解

得实数”的值；利用二角形的面积公式得出网网=8,利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等

式可求得B耳的最小值.

【详解】

设~Qp_^00,则AP-AC+CP-AC+ACD-AC+A(AD-AC]

=^4C+/lf-AB-=^AAB+{\-^AC=-AB^mAC,

所以，〈34,解得I」

m=l-A

5“此毛网碎in/BAC=f网国=2百，;.网|狗=8,

2

|2(1——1—、

=-AB+-AC\

(32)4荏/就

司研+!国W网国。：osABAC>2.萨臼珂+婀网

毛阿国=4,

当且仅当3期=;国时，即当府K国时，等号成立.

所以，|Q|的最小值为2.

故答案为：；2.

2

三'解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（2021・浙江高二期中）已知复数z=（〃?2一加一2）+（加+1»,（加6/?）,

（1）若z为纯虚数，求实数机的值

（2）若z在复平面上所对应的点在第四象限，求实数”的取值范围.

【答案】(1)m=2；(2)(fo,-l).

【解析】

（1）根据复数z为纯虚数，列出方程，即可求解；

（2）根据复数z在复平面上所对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解.

【详解】

（1）山题意，复数Z=（加2一加一2）+（m+1»,（根6穴）是纯虚数,

nr-m-2=0

可得《解得m=2.

m+1w0

m~-m-2>0八,

（2）复数z在复平面匕所对应的点在第四象限，可得〈,解得〃2<-1,

m+1<0

即实数加的取值范围（-8,—D.

19.（2021•浙江高一期末）平面内给定三个向量方=（3,2）石=（-1,2）忑=（4,1）,

（1）求附+2日-

（2）若向量6与乙一日的夹角为。，求cos。的值.

【答案】(1)病；(2)—注.

2

【解析】

(I)利用数乘向量和平面向量坐标运算法则能求出3&+26-2人进而求模即可;

(2)利用向量夹角公式即可得到结果.

【详解】

(1)•••平面内给定三个向量卜=(3,2),方=(-1,2),c=(4,l).

A3a+b-2c=3(3,2)+2(-1,2)-2(4,1)

=(9,6)+(-2,4)-(8,2)

=(T8),

二怩+2B-2c|=Vl+64=V65；

(2)Va=(3,2),1,2),c=(4,1),

b—ci=(-4,0),c-a=(l,-1),

伍-M).传-叽-4_72

/.cos0-

忸一万上,一万|4a2

••cos。=-----

2

20.(2021•浙江高一期末)已知万=(1,6),卜卜3,(2万—35)-(万+26)=-43.

(1)求万与B的夹角

(2)若5=夜+(1—且,.0=0,求实数.及同.

【答案】(1)-；(2)强.

32

【解析】

r

(1)求出。，由数量积的运算律求得7E可得向量夹角；

(2)计算尻"，山5^=0,求出人然后由数量积的运算求出忖.

【详解】

（1）由已知同=2,

（25-3孙（汗+25）=2Q+a-b-6b=2x224-2x3cos-6x32=-43,

1JT

所以cos6=—，又夕€［0,乃］,所以。=—：

23

（2）由题意=B•［应+（1-。+—/历2=0x2x3x；+（l-，）x3?=0,

3-3-1一

解.得/=-1c——a—b,

222

门2/3-1云、29-23-r1129“3°127

\c\=（—a——h）=—a——a-h+—b=—x4——x3+—xn9=——，

II224244244

所以，=孚.

21.（2021.浙江高二期末）己知A3是圆O的一条直径，且|而|=2,点C、力是圆。上的两个动点.

（1）若点C满足,求方X.反的取值范围：（在①灰.砺=0,②锐角△AOC面积为且，③

4

|AC|=V3|砺|这三个条件里任选一个补充在上面问题中，并作答）

UUIUUIRU

（2）求AC.8。的取值范围•

【答案】（1）选①|^1—A/2,1+V2J选②j—+G选③-3］（2）~4，-

【解析】

（1）以圆心。为原点，以05为大轴，过。作直径AB的垂直平分线为,建立平面直角坐标系，则

A（—1,0）,3（1,0）.设。（cosa,sina）若选①.不妨取C（0』），山向量的数量积的坐标表示可得房.况的

式子，结合三角恒等变形可得解；若选②.由5用改=!乂|0川*上/=乎，得|//=乎，不妨取

（15

c,山向量的数量积的坐标表示可得万A.反的式子，结合二角恒等变形可得解：若选③.由

（22J

IAC\=>/3|OA|=,即点C在圆（x+lj+y2=3由<（：+1）2+，3,不妨取由向

x~+y~=1I，2J

量的数量积的坐标表示“得丽・觉的式子，结合二角恒等变形可得解:

(2)设。(85a5诂£)(一不〈々〈")，C(cose,sin8)(一万〈夕＜乃)，则由向量的数量积的坐标表示可

得衣.诙=cosa(cos6+1)+sin6sina-(cos夕+1),当sinOwO时，

可化为J(cos，+l)2+sin2esin(a+°)—(cos6+l)，由三角函数的最值结合二次函数的最值可解，再讨

论sin。=0时的情况.

【详解】

以圆心。为原点，以05为x轴，过O作直径A5的垂直平分线为y建立如图所示的平面直角坐标系.

山|而|=2,则圆。的方程为f+y2=l

则A(—1,0),3(1,0)

⑴若选①.诙.丽=0,即OCJ_AB,不妨取C(0,l),设。(cosa,sina)

则DA=(-l-cosa,-sina),DC=(-cosa,1-sina)

DA-DC=(-1-cosa)x(-cos«)+(-sina)(l-sina)

=cosa+cos?a—sina+sin2a=l+cosa-sine

=l+V^cos[a+(]

由cos[a+?)e[-l,l],则次.反e[l—&,1+0]

若选②.由Loc=3|。4卜|先|=；|先|=¥，得|九|=*，

由点。在圆。上，则|%|=g，

又△AOC为锐角三角形，则％=-,，不妨取。一!，

21227

/

16.1

则。4=(一1一©05%-$抽0,DC=-

22J

DA-DC=(-l-coscir)xf--^-cos^z^+,•"G・1

(-sina)------sina

七°sa-gina+3=GcJa+2

2

-l<cos(a+3)<l,所以£)A-QCE-

---y[^h---F>]?>

22_

AV

»

r

若选③.由|次|=6|西|=6，即点c，在圆(x+lp+y2=3

(x+1)+)广=3a,=r"士季不妨取4，T

由<:\,解得r

x2+V=1

flG・1

则ZM=(-l-cosa-siny),

(22J

DA-DC=(-l-cosa)x[；-Yz./.]

-cosaJ+(-sina)——---sina

y/3.11(吟1

二——sina+—cosa+—=SH

222I3j2

所以方•反e

(2)设。(cosa,sina)(一万<a<%)，C(cos0.sin(-zr<^<zr)

tlUUlULBl

AC=(cos8+1,sin9),BD=(cosa-1,sin

nullUUUl

AC-BD=(cos，+1)(cosa—1)+sin8sina

=cosa(cos8+1)+sinsina-(cos9+1)

当sin9=0时，cos^=±l

UUIUUUUUUUUl*l

若cos8=l，则AC3Z)=2cosa-2，则ACBOe[TO]

若cos9=-l，则A/B方=0

当sin。w。时，

AC-BD=^(cos^+l)2+sin20sin(cr+^?)-(cos^+1)，其中tan>=丁

所以-J(COS6+1)2+sin26-(cos6+1)(AC-BD<^(cos0+l)2+sin20-(cos6+1)

又^(cos^+1)2+si