【数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2）课件-2023-2024学年高一上数学人教A版（2019）必修第一册

5.5三角恒等变换

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)问题1

请同学们写出两角差的余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.问题2

试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？提示我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosα·cos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，于是我们得到了两角和的余弦公式.cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβ两角差的余弦公式：cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosα

cos(-β)

+sinα

sin(-β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβPART1两角和与差的余弦公式对于任意角α，β有cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβcos(α+β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβC(α-β)C(α+β)记忆要点：CCSS，符号相反

=sinα

cosβ+cosα

sinβ=sinα

cosβ+cosα

sinβ同理可证，sin(α-β)=sinα

cosβ-cosα

sinβPART2两角和与差的正弦公式对于任意角α，β有S(α+β)S(α-β)记忆要点：SCCS，符号相同sin(α-β)=sinα

cosβ-cosα

sinβsin(α+β)=sinα

cosβ+cosα

sinβ1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝

，其中α，β∈R，简记作C(α＋β).2.两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝

，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；sin(α－β)＝

，其中α，β∈R，简记作S(α－β).注意点：(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ公式巩固利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：(1)sin15° (2)cos75°所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ延伸探究1.若本例条件不变，求sin(α－β)的值.由以上可知cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ2.若本例条件不变，求cos(α＋β)的值.你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α、β的正切表示tan(α+β)，tan(α-β)的公式吗？探究

？想一想同角三角函数中的商数关系是什么？tan(α+β)=—————sin(α+β)cos(α+β)=—————————sinα

cosβ+cosα

sinβcosα

cosβ-sinα

sinβ=——————tanα+tanβ1-tanα

tanβ分子分母同时除以cosα

cosβ同理可证，tan(α-β)=——————tanα-tanβ1+tanα

tanβPART3两角和与差的正切公式

T(α+β)T(α-β)记忆要点：上同下异tan(α-β)=——————tanα-tanβ1+tanα

tanβtan(α+β)=——————tanα+tanβ1-tanα

tanβ例1

(1)tan255°等于√tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°√√例题探究

例题探究2整体法给值求值问题

跟踪训练2整体法给值求值问题

课堂小结正弦余弦正切sin(α-β)=sinα

cosβ-cosα

sinβsin(α+β)=sinα

cosβ+cosα

sinβcos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβcos(α+β)=cosα

cosβ

-sinα

sinβtan(α-β)=——————tanα-tanβ1+tanα

tanβtan(α+β)=——————tanα+tanβ1-tanα

tanβ12345678910111213141516基础巩固√sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°