与指数函数的图像与性质相关的应用技巧（解析版）

与指数函数的图像与性质相关的应用技巧作为基本初等函数之一的指数函数，这一节教材安排在这个部分，承前是函数的基本性质的综合运用，函数的图象在具体函数中的运用，启后则是对数函数的图像与性质，研究思路或学习思路是一脉相承的，就是按照函数的“概念与解析式图像性质运用”这一主线进行的，因而学习或教学过程中，要按照这一主线进行适当的阐述或提炼主要的学习方向。主要涉及到指数型函数的图像、单调性、比较大小、指数型函数的最值与不等式恒成立问题等，下面通过例题和跟踪训练、针对性训练进行讲解与练习。一、指数函数型图像及辨析例1（1）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】由题可知，，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除A，C；又，排除B．故选D．（2）函数的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因为，，，故排除D；又因为，，故排除C；又因为，，所以，即，符合题意的只有A，故排除B.故选A.（3）（多选题）已知函数对任意，都有，且，则函数的图像（

）A．经过坐标原点B．与曲线且经过相同的定点C．关于原点对称D．关于轴对称【答案】BD【解析】对于A、B、C项：令，得.因为，所以，故函数的图像不经过坐标原点，故A项错误，故函数的图像不关于原点对称，故C项错误.且经过定点，所以B项正确.对于D项：令，得，故，所以是偶函数，所以函数的图像关于轴对称，故D正确.故选BD.【规律总结】涉及到指数函数的图像相关的函数图像辨析时，需要结合指数函数的性质与图像特征，指数幂的运算进行求解，灵活运用奇偶性和单调性、过定点等图像的重要特征进行求解。【跟踪训练】1．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴恒过定点，∴，，∴，其图象不经过第四象限，故选D.2.（多选题）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解析】当时，对应图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选AC.3.（多选题）已知，则函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【解析】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选AD.二、指数函数的单调性与应用例2（1）已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，单调递增，则；当时，开口向上，且对称轴为，又当时，取得最小值，所以，解得，所以m的取值范围为．故选B．（2）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为.【答案】【解析】因为是定义在上的偶函数，所以等价于，又在上单调递增，所以，即，解得.（3）设函数且为奇函数，且.(1)求，的值；(2)，使得不等式成立，求的取值范围.【解析】（1）是上的奇函数，，即，，经检验，即，解得（舍去），.故，.（2），使得，即，在上单调递增，，使得，即，使得，所以，又因，当且仅当时取“=”，所以.【跟踪训练】4.已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.【解析】因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，.故选A.5.已知，，且，则的最小值为.【答案】/【分析】先利用指数的运算与性质得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【解析】因为，所以，即，则，所以，又，，所以，当且仅当，即的最小值为.6.已知是定义在上的奇函数．(1)求实数的值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以．此时，经验证，，故．（2）由（1）可知，任取，则，因为，则，所以，所以是上的增函数．由恒成立，得恒成立，，所以恒成立，因为，所以．实数的取值范围为：．三、利用指数函数的单调性比较指数式的大小例3（1）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【解析】因为，所以．故选A（2）已知函数，，且，则（）A．，， B．，，C． D．【答案】D【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案.【解析】令，解得，画出的图象如下图所示，由于，且，由图可知：，，的值可正可负也可为时，，满足，，所以C选项错误.，，所以，D选项正确，故选D。【跟踪训练】7.设，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指数函数、幂函数的单调性比较大小即可.【解析】因为函数单调递减，所以，又幂函数在上单调递增，所以，所以，因为函数单调递增，所以，所以.故选D8.设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性即可判断.【解析】因为在R上增函数，所以，即，又在R上减函数，所以，即，所以.故选B.9.设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项.【解析】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.故选A.【点拨】本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾.四、指数函数的最值与不等式恒成立问题例4（1）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据在处取得最小值，得，且，再由当时，结合得，解得，最后结合得，即可得到结果．【解析】由函数在处取得最小值得，则且当时，又，所以，得．又，所以，即，整理得，，解得．综上，.故选：C．【规律总结】求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不同范围或参数的不同范围分类讨论求解，最后还要根据讨论对象的不同（是对自变量进行的分类讨论还是对参数进行的分类讨论）来确定最终结果．（2）已知函数为偶函数，为奇函数，且.（1）求函数和的解析式.（2）若在恒成立，求实数的取值范围.（3）记，若，且，求的值.【答案】（1），；（2）；（3）2．【解析】（1）结合奇偶性和已知条件得到，再解方程即得函数解析式；（2）代入解析式化简后换元，将问题转化成在上恒成立问题，方法一采用分离参数法解决恒成立问题，方法二通过讨论对称轴和区间的关系研究最值解决恒成立问题；（3）令，先代入解析式化简求得，即得，结合，代入计算即得结果.【解析】（1）由题知：函数为偶函数，函数为奇函数，且，①则，又由，，故②，则由①②式，解得，.（2）方法一：由在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，令，易知在上单调递增；故，即在，即，又由在上单调递增，且，故在上的最小值为，故；方法二：由的对称轴为，则①当时，即，此时在处取得最小值，即，解得，故.②当时，时，由即可满足条件，故，解得，易知，故此时，故综上①②可知，；（3）由，令，又由，且，故，，故【方法总结】解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.【跟踪训练】10.已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【解析】令，，则，令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，当时，，则，，则，，构造函数，其中，由，可得，由于函数在区间上单调递减，则，可得.二次函数的对称轴为直线，则函数在区间上单调递增，当时，，即.由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，所以，，解得.因此实数的取值范围是.故选C.【点拨】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.11.已知函数(1)当时,求满足的的取值:(2)若函数是定义在上的奇函数①存在,不等式有解,求的取值范围;②若函数满足,若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.【解析】（1）由题意，，化简得解得（舍）或，所以（2）因为是奇函数，所以，所以，化简并变形得：，要使上式对任意的成立，则或，解得或，因为的定义域是，所以舍去，所以，所以，①，对任意，有：，因为，所以，所以，因此在上递减，因为，所以，即在时有解，所以，解得，所以的取值范围为，②因为，所以即，所以，不等式恒成立，即，即恒成立，令，，则在时恒成立，令，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增，所以，所以，所以，实数的最大值是6．【规律总结】本题考查指数函数的性质，考查换元法的应用．解方程或不等式可用换元法，即，变为或，同样与有关的问题，也是用换元法，即设，只是要注意的取值范围（这个范围可用基本不等式或用函数的单调性求解）．【针对性训练】一、单选题1．集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以.故选C.2．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知函数由复合而成，在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，可知在区间上是增函数，故，即实数的取值范围是，故选B3．已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，得.令，得，解得，则不等式转化为，因为是增函数，且，所以不等式的解集为.故选A4．已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，对任意的正数、，满足，则，所以，即，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选B.5．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选A．6．已知a、b均为正数，不等式成立是不等式成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，所以，当时，，此时，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.故选B.二、多选题7．奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（

）A． B．C．在上单调递增 D．的值域为【答案】BCD【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以，因为①，所以，即②，所以由①②解得，故B正确；，故A错误；在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；因为，当且仅当时取等号，所以的值域为，所以D正确.故选BCD.8．下列函数中，满足的为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A选项：，在处取最小值，正确；对于B选项：，等号成立的条件是，即，故，正确；对于C选项：，，所以，不满足题意，错误；对于D选项：，等号成立的条件是，，即，因此成立，正确．故选ABD．9．已知实数a，b满足等式，则下列不可能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】作出函数和的图象如图所示：设，，当时，由图可知；当时，由图可知；当时，由图可知，故选CD.10．（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选ABD.三、填空题11．设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为.【答案】【解析】因为是定义在上的偶函数，且当时，，设，则，所以，又，所以，所以，则，所以不等式，即，即，即，即，解得，即不等式的解集为.12．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数是R上的增函数，则在上单调递增，故，在上单调递增，则，且在处，有，所以a的取值范围是.13．函数的值域为.【答案】【解析】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．14．已知函数（为常数）是奇函数，则实数的值为.【答案】1【解析】函数是奇函数，又的定义域为，则，解得；当时，，则，满足为奇函数，故.15．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为.【答案】3【解析】作出函数的图象如图，函数在上单减，在上为增函数，又，，，若函数在区间上的值域为，则实数.四、解答题16．已知是定义域为的奇函数.(1)函数，，求的最小值.(2)是否存在，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由为上的奇函数，知，得；代入函数得：，由于，故时，为奇函数，满足条件，，令，易知在上单调递增，故当时，取得最小值，，当时，取得最大值，.∴，则上式转化为，∴时，，此时；（2），，代入不等式得，即得：，∵时，，∴，又，当，即时，取得最小值，而，∴.17．已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，经检验满足题意，所以.（2）由（1）知，易知在上单调递减，由，可得，因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于，又在上单调递减，所以，所以在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，有，解得，综上所述，实数的取值范围是.18．已知函数，.(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）∵，，∴，即在有解，令，所以,当时；当趋向于0或时趋向于，即.（2），即，令，因为，所以