专题25 正弦函数及正弦型函数的图像与性质（4知识点8题型4考点）（原卷版）

专题25：正弦函数及正弦型函数的图像与性质（4知识点+8题型+4考点）正弦函数及正弦型函数的图像与性质常考题型正弦及正弦型函数求值域方法总结正弦函数及正弦型函数的图像与性质常考题型正弦及正弦型函数求值域方法总结正弦函数与正弦型函数的性质正弦函数的图像与性质正弦函数图像的画法题型一：正弦与正弦型函数的图像题型二：正弦与正弦型函数的定义域及解不等式题型三：正弦与正弦型函数的值域问题题型四：正弦与正弦型函数的单调性题型五：正弦与正弦型函数的周期性题型六：正弦与正弦型函数的奇偶性题型七：正弦与正弦型函数的对称性题型八：正弦与正弦型函数的综合应用考法一：正弦与正弦型函数的图像的画法考点二：正弦与正弦型函数的图像的应用考法一：求正弦与正弦型函数的单调区间（复合，含绝对值等）考法二：已知函数的单调性求参数值或范围知识点一：正弦函数图像的画法（1）五点法作y=sinx,的简图在函数y=sinx，的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表：x0y=sinx0100描出这五个点后,函数y=sinx，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图．（2）将函数y=sinx，的图象向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象，如图．正弦函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．知识点二：正弦函数的图像与性质（1）正弦函数的图象与性质：性质图象定义域值域最值当时，；当时，．周期性奇偶性,奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。知识点三：正弦函数与正弦型函数的性质周期性：对于y=sinx正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是；对于正弦型函数的最小正周期为奇偶性观察正弦曲线可以看到正弦曲线关于原点对称，所以正弦函数y=sinx，x∈R为奇函数；对于正弦型函数，如果不能通过诱导公式变为则就是非奇非偶函数。（3）单调性正弦函数y=sinx，x∈R在每一个闭区间上都是增函数，其值从−1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到−1．对于正弦型函数，令解出x的范围就是的单调增区间；令解出x的范围就是的单调减区间。（4）最大值与最小值(值域)正弦函数y=sinx，x∈R,当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值1．对于正弦型函数令解出x，此时x等于这个数的时候取最大值；令解出x，此时x等于这个数的时候取最小值。对称性正弦函数y=sinx，x∈R,对称轴为；当时对应点（，0）为函数的对称中心；对求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．知识点四：正弦及正弦型函数求值域方法总结正弦函数y=sinx，在区间x上的值域，画图求解。求值域；令t=,先通过不等式性质求出t的范围，在利用（1）的方法求值域。，设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是；（4），引入辅助角，化为（5），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．题型一：正弦与正弦型函数的图像考法一：正弦与正弦型函数的图像的画法解题思路：五点法作y=sinx,的简图；五点法作的简图例1．用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（）A． B．C． D．例2．函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）例3．已知函数(1)填写下表，并用“五点法”画出的图象.x0

(2)若函数满足不等式，求的范围.变式训练4．函数，的简图是（

）A．B．C．D．5．当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）；（2）；（3）.考点二：正弦与正弦型函数的图像的应用解题思路：（1）先通过五点法作y=sinx,的简图；五点法作的简图，（2）在画出另外函数的图像看图求解。例1．已知方程，.若，则方程有（

）解A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个例2．在同一坐标系中，作函数和的图像，根据图像判断出方程的解的个数为．例3．函数的大致图像为（

）A．

B．

C．

D．变式训练

4．若函数有两个零点，则实数取值范围是.两个零点之和为.5．函数的图像是（

）A． B．C． D．6．函数的零点个数为．7．函数，，若方程有个不同的实数解，则的值为.题型二：正弦与正弦型函数的定义域及解不等式解题思路：使各部分有意义的取值范围的交集例1．函数的定义域是（

）A． B．C． D．例2．不等式的解集为．例3．设函数定义域为，值域为，则：①；②；③不可能等于()；④不可能等于()；四个结论正确的是（

）.A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．②③④变式训练4．函数的定义域为.5．函数的定义域为（

）A． B．，C．， D．6．函数的定义域为（

）A． B．C． D．题型三：正弦与正弦型函数的值域问题解题思路：：正弦函数y=sinx，在区间x上的值域，画图求解。求值域；令t=,先通过不等式性质求出t的范围，在利用（1）的方法求值域。，设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是；（4），引入辅助角，化为（5），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．例1．函数，，则y的取值范围是（）A． B． C． D．例2．函数的最大值与最小值之差为（

）A． B．0 C．2 D．例3．已知函数（）的定义域为，且函数的最大值为3，最小值为1，求a，b的值．例4．若函数，的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式训练5．已知在区间上的最大值为（

）A．1 B．C． D．6．函数在上的值域为（

）A． B． C． D．7．（多选题）已知函数，则（

）A．函数为奇函数 B．最小正周期为C．单调递增区间为 D．的最大值为28．函数，函数的值域为，则．9．关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为.题型四：正弦与正弦型函数的单调性考法一：求正弦与正弦型函数的单调区间（复合，含绝对值等）解题思路：（1）求形如(其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与()，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．（2）当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.例1．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（

）A．在上单调递增，在上单调递减B．在上单调递增，在上单调递减C．在及上单调递增，在上单调递减D．在上单调递增，在及上单调递减例2．已知函数，则在上的单调递增区间为（

）A． B．C． D．例3．函数，的增区间是（

）A． B．C． D．例4．函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．变式训练5．函数的一个单调递减区间是（

）A． B．C． D．6．函数单调减区间为7．求函数的单调区间．8．（多选题）已知函数，则（

）A．函数的周期为 B．函数的图象关于原点对称C．的最大值为2 D．函数在区间上单调递增考法二：已知函数的单调性求参数值或范围解题思路：（1）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的二种方法①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.例1．已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．已知在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例3．已知函数在上单调递增，则实数m的最大值为（

）A． B． C． D．变式训练4．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是．题型五：正弦与正弦型函数的周期性解题思路：求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：最小正周期都是，(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；（4）使用周期公式，必须先将解析式化为SKIPIF1<0的形式；正弦余弦函数的最小正周期是SKIPIF1<0例1．函数的最小正周期为.例2．函数的最小正周期是，则．例3．下列函数，最小正周期为的是（

）A． B．C． D．变式训练4．函数的最小正周期为.5．函数的最小正周期为，则.题型六：正弦与正弦型函数的奇偶性解题思路：（1）定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求SKIPIF1<0；最后比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则函数是偶函数，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.例1．，是（

）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数例2．（多选题）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．例3．已知函数是偶函数，则.例4．已知为偶函数，则（

）A． B．6 C． D．3例5．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．变式训练6．函数（

）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数7．（多选题）已知函数为偶函数，则的取值可以为（

）A． B． C． D．8．（多选题）已知函数是奇函数，则的值可以是（

）A．0 B．C． D．9．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函数，若，则.题型七：正弦与正弦型函数的对称性解题思路：（1）函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心,关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．（2）求y＝Asin(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．例1．函数的图象的一条对称轴是（

）A． B． C． D．例2．函数，的图象的对称中心的坐标是.例3．已知（，为常数），若在上单调，且，则的最小正周期是（

）A． B． C． D．例4．已知函数满足，则等于（

）A．3 B． C．0 D．变式训练5．函数的图象的对称轴方程为，对称中心为.6．（多选题）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（

）A． B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减7．设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的（

）.A． B． C． D．8．已知，若函数的图像关于直线对称，则的值为.9．已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为.题型八：正弦与正弦型函数的综合应用例1．（多选题）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．是奇函数B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．不等式的解集为例2．（多选题）设函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期为，则B．若，则的图象关于点对称C．若在区间上单调递增，则D．若在区间上恰有2个零点，则例3．（多选题）已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．是偶函数D．的单调递减区间为例4．（多选题）已知函数，则（

）A．的图象关于原点对称 B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称 D．的值域为R变式训练5．已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴方程和对称中心；(3)求的单调递减区间.6．已知函数的图像上相邻两个最高点的距离为．(1)求函数的解析式和对称中心；(2)求的定义域；(3)函数在区间上恰有2个零点，（