2023年海南省天一大联考高三冲刺模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数丁=5皿%（35皿%+4©05幻（*€/?）的最大值为加，最小正周期为T,则有序数对（加,7）为（）

A.（5,万）B.（4,乃）C.（一1,2乃）D.（4,2万）

2.已知集合4="|卜一1归3,》62},8=卜：€2|2*64},则集合3=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

3.已知函数/（x）的定义域为（0,+8）,且/图2小）=4零），当0<%<1时，〃x）<°•若/（4）=2,则函数/（x）

在［1,16］上的最大值为（）

A.4B.6C.3D.8

4.如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）

甲班乙班

7958

73I1013

2II3

A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定

C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班

D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103

5.在直角坐标平面上，点P（x,y）的坐标满足方程d-2x+y2=o,点Q（a,b）的坐标满足方程

。2+〃+6。—昉+24=0则T的取值范围是（）

x-a

-4-币-4+"

A.[-2,2]

~~3~

6,已知双曲线巨+）尸=1的一条渐近线倾斜角为学，则。=（）

a6

A.3B.Yc--fD-3

13

7.已知a=log|213,8=（空丫，c=logl314,则6仇c的大小关系为（）

A.a>h>cB.c>a>bC.h>c>aD.a>c>h

8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何

体的体积为

C.48D.32

9.若集合A={HX（X—2）〉0},B={X|X-1>0},则AD8=

A.B.|x|l<x<2|C.{x}x>2}D.{x|x>l}

10.设i是虚数单位，若复数加+生（me/?）是纯虚数，则，〃的值为（）

3+i

A.-3B.-1C.1D.3

11.已知集合4={小2-3x—10<0卜集合8={x|T〈x<6},则等于（）

A.{止1cx<5}B.{x|-l«x<5}

C.{x|-2<x<6}D.{x|-2<x<5}

12.已知集合4={幻％2<1},B={x|lnx<l},则

A.AHB={x|O<x<e}B.AAB={x|x<e}

C.AUB={x|Ovxve}D.A|J3={x|-lvxve}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若卜2,i为虚数单位，则正实数。的值为.

2222

14.已知椭圆e：「+「=l（a>人>0）与双曲线-%=1（加>0，">°）有相同的焦点”、£,其中"为左

矿b~m~n

焦点.点P为两曲线在第一象限的交点，，、e?分别为曲线G、C?的离心率，若△尸片E是以PE为底边的等腰三角

形，则弓一弓的取值范围为.

15.在平面直角坐标系xOy中，若圆G：炉+(j-1)2=/(r>0)上存在点尸，且点尸关于直线x-y=0的对称点。

在圆Cz：(X—2)2+(y—1)2=1上，则r的取值范围是.

16.已知点A(0,-1)是抛物线Y=的准线上一点，尸为抛物线的焦点，尸为抛物线上的点，且归目=对例，若

双曲线C中心在原点，尸是它的一个焦点，且过P点，当"，取最小值时，双曲线C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线C:1=4y与直线/：x—2y-2=0.

(1)求抛物线C上的点到直线/距离的最小值；

(2)设点是直线/上的动点，Q(1，D是定点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点为A,B,求证A,Q,

8共线；并在通=3诙时求点尸坐标.

18.(12分)已知｛4｝为各项均为整数的等差数列，S,为｛%｝的前"项和，若小为:生和％3的等比中项，S7=49.

(1)求数列｛q｝的通项公式;

22222018

(2)若［=——+——+——+.••+-----,求最大的正整数〃，使得I,〈芸

a\a24a34+&a/.+i2019

19.(12分)选修4-5：不等式选讲

设函数/(x)=|2%+4一k-2|(xeeH).

(1)当。=一1时，求不等式/(x)〉0的解集

(2)若/(力2-1在xeR上恒成立，求实数。的取值范围.

20.(12分)已知三棱锥P-A8C(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形A8C。为边长等于夜的正方形，AABE

和ABCR均为正三角形，在三棱锥P-48c中：

图-图二

(1)证明：平面P4CJ_平面ABC;

(2)若点M在棱川上运动，当直线BM与平面R1C所成的角最大时，求直线与平面M5C所成角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线/交抛物线C：>2=4x于点P,点尸为C的焦点.圆

心不在y轴上的圆M与直线/,PF,x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线4与曲线E相切于点Q(sj),过。且垂直于4的直线为4,直线4，分别与y轴相交于点A，B当线

段A3的长度最小时，求s的值.

22.(10分)a,b,c分别为AABC内角A,B,C的对边.已知a=3,csinC=asinA+Z?sinB,且5=60。.

(1)求△ABC的面积；

(2)若D,E是8c边上的三等分点，求sin/ZME.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

、3353

函数V=sinx(3sinx+4cosx)=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin(2x-6)+—(0为辅助角)

2222

.•.函数的最大值为M=4,最小正周期为T=M=〃

2

故选B

2.D

【解析】

弄清集合8的含义，它的元素x来自于集合A,且2、也是集合A的元素.

【详解】

因区3,所以-2<x<4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,TeA，则x=(M,2,

故集合B={0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

3.A

【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数塞运算，可得/［：)+/(〃)=/(，”)；利用定义可证明函数/(x)的单调

性，由赋值法即可求得函数f(x)在口』6］上的最大值.

【详解】

函数/⑺的定义域为(0,+力)，且2/目,2/(„)=4午，

则/1?)+/(〃)=/(，")；

任取和马«0,欣)，且占＜々，贝!|0＜立＜1,

X2

故/工＜0,

\X2)

令"?=%,n=x2,则/五+/。2)=/(%)，

\X2j

即/㈤—/(/)=14土］＜0,

\X2)

故函数/(X)在((),+。)上单调递增，

故〃%)皿=〃16),

令m=16，〃=4,

故〃4)+/(4)=〃16)=4,

故函数/(x)在［1,16］上的最大值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了指数塞的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.

4.D

【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，O错误，得到

答案.

【详解】

由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.

因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故。错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5.B

【解析】

由点P（x,y）的坐标满足方程V-2x+y2=0,可得P在圆（x-1）2+y2=I上，由Q（a,b）坐标满足方程

/+〃+6a-8/2+24=0,可得。在圆（x+3）?+（y—4）2=1上，则三=即。求出两圆内公切线的斜率，利用数

形结合可得结果.

【详解】

•・•点P（x,y）的坐标满足方程/一2x+丁=o,

在圆（x-l）-+），=［上，

•.■Q（a,h）在坐标满足方程＜?+〃+6。一泌+24=0,

Q在圆（x+3）2+（y—4）2=1上，

则T=%*作出两圆的图象如图，

x-a

设两圆内公切线为A8与CO,

由图可知^AB—kpQ<心口

设两圆内公切线方程为丫="+加,

卜+时]

Jl+/

则=>|攵+同=\-3k+/n-4|,

\-3k+zn-4|

1

J1+女2

圆心在内公切线两侧，：.k+m--^-3k+m-4),

\k+rr\|2Z+2|

可得"?=Z+2,I------=I----=1,

Jl+公yji+k2

化为弘2+8k+3=0，kJ土币,

3

_

i_4-币t_-4+y/l

即上AB----2-----，kg-----2----，

-4-yfl/y-b_i/-4+币

-=kpQ<-'

3x-a3

y-b—4—yfl—4+

上」的取值范围一―/一，故选B.

x-a[_33

【点睛】

本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形

之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着

奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数

形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.

6.D

【解析】

由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.

【详解】

由双曲线方程可知：a<0,渐近线方程为：y=±，=x,

7-a

•••一条渐近线的倾斜角为苧，3=tan2=一走，解得：a=-3.

6。63

故选：D.

【点睛】

本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示

双曲线对于。的范围的要求.

7.D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得人最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较。和c的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知0<b=（空<1，

113J

由对数函数的图像与性质可知。=logi213〉l,c=log1314>l,所以。最小；

而由对数换底公式化简可得a-c=logl213-log1314

=lgl3_lgl4

"lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

Igl2,lgl3

-I12

由基本不等式可知lgl21gl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

2lg213--(Igl2+lgl4)

1113-Igl21gl4>gI

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

/1r

lg213--lgl68

(2J

Igl2-lgl3

(1A(1、

Igl3+-lgl68-Igl3--lgl68

I2八2J

Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168).(lgl3-lg^)

>0

Igl2-lgl3

所以〃>c,

综上可知a>c>'

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

8.B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为V=监-%=4x4x5x4x4x3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

9.C

【解析】

解一元次二次不等式得4={幻》>2或犬<0},利用集合的交集运算求得AD8={x|x>2}.

【详解】

因为A={x|x>2或x<0},8={%,>1},所以{x|x>2},故选C.

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于容易题.

10.A

【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.

【详解】

由复数的除法运算化简可得

m---=m+3-i,

3+i

因为是纯虚数，所以〃2+3=0,

:.m=—3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.

11.B

【解析】

求出A中不等式的解集确定出集合A,之后求得AD8.

【详解】

由A={x,-3x-10<0|=1x|(x+2)(x-5)<o|={犬卜2cx<5},

所以AnB=|x|-l<x<5},

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

12.D

【解析】

因为A={x|f<1}={x|-l<x<1},B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

所以An8={x[0<x<l},AUfi={x|-l<x<e},故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13."

【解析】

利用复数模的运算性质，即可得答案.

【详解】

由已知可得:«>0,解得a=.

故答案为：币.

【点睛】

本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

\J7

【解析】

设|阿|=&|空|=t,由椭圆和双曲线的定义得到S=a+m,t=a-m,根据APf；居是以2片为底边的等腰

三角形，得到t=a-/n=2c,从而有上一，=2,根据e,>1,得到1<e.<1,再利用导数法求

4S3

2e2

y=e,一弓=2e,2=,：的范围.

i-2et

【详解】

设|阂=s,附|=t,

由椭圆的定义得s+t=2a,

由双曲线的定义得s-t=2m,

所以s-a+/n,t-a-/n,

因为△PEE是以为底边的等腰三角形，

所以|耳闻=网=2c,

即t=a—m=2c,

因为G=—,=土，

am

所以^=2,

八11

因为6>1,所以0<一<1,

e2

所以一=2+一<3,

即<1,

31

2e;

而y=e2-q=2e2•q

1—2q

，_4q(1-q)

因为y>0,

一(1-2弓)2

所以y在停,1)上递增，

2

所以丁>1.

故答案为：

13z

【点睛】

本题主要考查椭圆，双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15.[72-1,72+1]

【解析】

设圆G上存在点P(xo,J0),则。(则，X。)，分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数

范围.

【详解】

设圆G上存在点尸(xo,Jo)满足题意，点尸关于直线x-y=o的对称点。(泗，X0),

n.年+(%-1)2=产

=1

故只需圆好+(J-D2=/与圆(X-1)2+(J-2)2=1有交点即可，所以,一1区J(1_0)2+(2_1)2*+1,解得

y/2-l<r<y/2+l-

故答案为：h5-1,、历+1]

【点睛】

此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.

16.^2+1

【解析】

由点A坐标可确定抛物线方程，由此得到户坐标和准线方程；过P作准线的垂线，垂足为N,根据抛物线定义可得

\PN\

身=相，可知当直线Q4与抛物线相切时，〃?取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P点坐标，根据双

\PA\

曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.

【详解】

A（O,1）是抛物线x2=2py准线上的一点；.〃=2

.・抛物线方程为无2=4y.-.F（O,1）,准线方程为y=-l

过P作准线的垂线，垂足为N,贝”尸网=处耳

•.•附/别.妈蚪"

1111\PA\\PA\

设直线Q4的倾斜角为a,贝ijsina=加

当“取得最小值时，sina最小，此时直线Q4与抛物线相切

2

设直线Q4的方程为.丫=依一1,代入/=4），得：X-4AX+4=0

.•.△=16k2—16=0,解得：左=±1.•.尸（2,1）或（一2,1）

二双曲线的实轴长为|%-|.I=2（75-1），焦距为|入耳=2

双曲线的离心率6=示历刁=忘+1

故答案为：V2+1

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当加

取得最小值时，直线左与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）至；（2）证明见解析，尸（0,-1）或P（2,0）

10

【解析】

(1)根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；(2))设4±,%),8(马，必)，表示出直线Q4，PB的

方程，利用与表示出芭，x2,即可求定点P的坐标.

【详解】

(1)设抛物线C上点的坐标为。,二)，

上

则dJ"；"]小俨2…4),,3小，。=1时取等号)，

则抛物线C上的点到直线/距离的最小值上近；

10

(2)设A(x»y),B(X2,y2),

1,

Qy=i厂，

4

,1

■y=-x,

.,直线B4,m的方程为分别为y—x=5。一%)，)一%=?。-*2)，

由两条直线都经过点P点得玉，Z为方程Y-2xoX+4%=O的两根玉+工2=2/，占々=4%,

直线AB的方程为A--X=三二耳(X一斗)，y—X=(%-与)，

x2-xt4

If-牛…)=1-审+羊=心+%=0，

.♦.A,Q,8共线.

又%-1=3(1-^),

/.N=4-3X2,

%=3x0-2

＜々=2-％0,

xxx2-2x0-4

解工0=。，/=2,

丁点尸(吃,%)是直线/上的动点，

•・*0=。时，%=-1，/=2时，%=0,

.-.m-D,或尸（2,0）.

【点睛】

本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力.

18.(1)an=2»-1(2)1008

【解析】

(D用基本量求出首项可和公差可得通项公式；

201Q

(2)用裂项相消法求得和7“，然后解不等式7；＜云而可得.

【详解】

解：(1)由题得卜=为外，即,i+2J)2[(4+d)(q+12d)

S-J=49bq+21d=49

14二。

6Z,=1

解得严，7

a=2\d=—

I3

(x[cL=\

因为数列｛q｝为各项均为整数，所以_0,即勺=2〃-1

CI—

2_2__J_______1

anan+]（2〃-1）（2〃+1）2n-\2〃+1

…丁,1111111,12n2018

所以北——11------1-------1------_____=]=______<_____

“335572n-l2〃+1_____2〃+12n+l2019

]2018

即1一<2019解得“<1009

2/1+1

所以〃的最大值为1008

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和公式，考查裂项相消法求数列的和.在等差数列和等比数列中基本量法是解

题的基本方法.

19.(1)(―oo,—1)U(1,+00)；(2)[-6,-2]

【解析】

(1)当。=一1时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.(2)对。分成。＜T,a=-4,。＞-4三种情

况，利用零点分段法去绝对值，将/(X)表示为分段函数的形式，根据单调性求得”的取值范围.

【详解】

(1)。=一1时，/(x)>()可得2],即(2x—l)2>(x—2)2,

化简得：(3x—3)(x+l)>。，所以不等式〃x)>()的解集为

-x—tz—2,x<2

(2)①当a<-4时，/(耳=-3%一。+2,24》4一£由函数单调性可得

a

x+a+2c,x>—

I2

〃x)min=/(一£卜£一2NT，解得；-6Va<-4

②当a=T时，/(x)=k-2],/(x)mjn=0N-l,所以a=T符合题意;

,a

—x-ci-2,x<---

2

③当a>-4时，/(%)=<3x+a-2,-^4x42,由函数单调性可得,

x+〃+2,x>2

/(x)min=/层卜埸-211,解得-4<aW-2

综上，实数。的取值范围为[-6,-2]

【点睛】

本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.

20.(1)见解析(2)各座

11

【解析】

(1)设AC的中点为。，连接BO,PO.由展开图可知PA=P5=PC=J5,PO=1，AO=BO=CO=1.。为AC的

中点，则有POLAC,根据勾股定理可证得POLOB,

则尸。平面ABC,即可证得平面PAC，平面ABC.

(2)由线面成角的定义可知ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

Bo]

且tanZBMO=-----=,N8WO最大即为OM最短时，即M是A4的中点

OMOM

建立空间直角坐标系，求出AM与平面MBC的法向量用利用公式sin6=""小即可求得结果.

\AM\\m\

【详解】

(1)设AC的中点为O,连接BO,P0.

由题意，得PA=PB=PC=J^，PO=\,A0=30=C0=l.

••,在中，PA=PC,O为AC的中点，,POLAC,

•.在APOB中，PO=1,OB=1,PB=BPO2+OB2=PB2,：.PO±OB.

,：AC^\OB=O,4。,。8(=平面，；./>0_|_平面人8(：,

•.,POu平面PAC,，平面B4C_L平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,BOLAC,30J_平面PAC,

ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

口BO1

日tanZBMO=----=------,

OMOM

..当OM最短时，即M是PA的中点时，/BMO最大.

由PO_L平面ABC,OBLAC,

:.POA-OB,POA.OC,

于是以OC,OB,OD所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,

则。(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),A(—1,0,0),尸(0,0,1),M

BC=(1,-LO),PC=(1,O,-1),MC=[],W=(1,0,1

设平面MBC的法向量为加=(N，y,zj,直线MA与平面MBC所成角为。,

,,m-BC=0[尤]-y1=0

则由一得：[n.

m-MC=0[3%一4=0

令X]=],得*=1,Z]=3,gp777=(1,1,3).

.c\AM-m\22422

_.sin(7=_------=.—=-------

则\AM\\m\1r-11•

gMi

直线MA与平面MBC所成角的正弦值为独2.