泉州五校2015高考理科数学“最后一卷”

2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合,集合，则为() A． B． C．D．2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．9 B．16C．25 D．363．等差数列中，，则数列的公差为（）A．1B．2C．3D．44.“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图5343（6题图）5.已知直线正视图侧视图俯视图5343（6题图）则的值为（）.A．B．C．D．6.若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于()A．B．C．D．7．如图，四边形为矩形，，，以为圆心，1为半径画圆，交线段于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点率为（）A．B．C．D．8.已知半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）Ａ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.9．设方程与的根分另为，则（）A．B．C．D．10.已知函数QUOTE,QUOTE,若QUOTE,使QUOTE,则实数QUOTE的取值范围是（）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11.复数(i为虚数单位)的共轭复数是12.若变量满足约束条件,则的最大值是13．展开式中项的系数490,则实数的值为.14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①m，使曲线E过坐标原点；②对m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．在中,角所对的边分别为，，．(Ⅰ)求角的大小；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间17．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.19.19.已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离 （Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.20.已知函数（Ⅰ）求函数处的切线方程;（Ⅱ）若为实数，函数上的有极值，求的取值范围；（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？若存在，请写出的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32)).（Ⅰ）求满足条件AM＝B的矩阵M；（Ⅱ）若矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），在极坐标系（与直角坐标系SKIPIF1<0取相同的长度单位，且以原点SKIPIF1<0为极点，以SKIPIF1<0轴正半轴为极轴）中，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0.（Ⅰ）求直线SKIPIF1<0普通方程和曲线SKIPIF1<0的直角坐标方程；（Ⅱ）设点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的一个动点，求它到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围.(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合,集合,则为 A． B． C．D．2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为(B)A．9 B．16C．25 D．363．等差数列中，，则数列的公差为（B）A．1B．2C．3D．44.“”是“”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件正视图侧视图俯视图5343（6题图）5.已知直线与幂函数的图像将于正视图侧视图俯视图5343（6题图）A．B．C．D．6.若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于(B)A．B．C．D．7．如图，四边形为矩形，，，以为圆心，为半径画圆，交线段于，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率为（C）A．B．C．D．8.已知半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是(D)Ａ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.9．设方程与的根分另为，则（A）A．B．C．D．10.已知函数QUOTE,QUOTE,若QUOTE,使QUOTE,则实数QUOTE的取值范围是（B）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是－1－i12.若变量满足约束条件,则的最大值是5/313．展开式中项的系数490,则实数的值为.答案：14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于答案：15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①m，使曲线E过坐标原点；②对m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）1、4、5三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．在中,角所对的边分别为，，．(1).求角的大小；(2).若，求函数的单调递增区间16.解：（Ⅰ）由得由得,又，得（Ⅱ）由余弦定理可得=由得所以，函数的对称轴为由，得所以所求函数的单调递增区间为17．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）解：（Ⅰ）,,∴,………2分估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：………4分（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4．………………6分（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，X可能的取值是0，1，2，3．；；；．的分布列为：0123………………11分所以．………13分（或，所以．）18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.(=1\*ROMANI)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BCC1的法向量为,所以.由题知二面角A1-BC1-C为钝角,所以二面角A1-BC1-C的余弦值为.(=3\*ROMANIII)设D是直线BC1上一点,且.所以.解得,,.所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,.19．（本小题满分13分）已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离 （Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设椭圆C：的右焦点为依题目意得：解得：所以，椭圆方程为：（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，得：此时以为直径的圆的方程为：当：直线的斜率为0时，直线的方程为此时以为直径的圆的方程为：要使定点存在，可知方程联立方程组只有一解，解得所以点的坐标为时，可能椭圆上存在定点满足题意.当过点直线斜率存在时，存在定点满足题意，设直线的方程为：，由，得：此时，因些，过点直线斜率存在时，以为直径的圆过定点综上所述：存在定点满足题意。20.已知函数（Ⅰ）求函数处的切线方程。（Ⅱ）若为实数，函数上的有极值，求的取值范围；（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？若存在，请写出的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。解：（Ⅰ）因为，………1分所以函数在处的切线方程为y=1……3分（Ⅱ）因为，，由，令，得当时，；当时，…………4分所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。所以函数在处取得极大值。…………5分因为函数在区间上有极值，所以，解得。…………7分（=3\*ROMANIII）因为过点，结合函数的图象可知，当时，直线与函数的图象恒有公共点，不合题意，所以，又，故。在不等式中，令，得，又，所以。以下证明，时命题成立，即证恒成立………………8分方法一：因为。（*）（=1\*romani）设，则，令，得。则在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，即不等式成立。……………10分（=2\*romanii）设，则，令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减。所以，即不等式成立。……………13分综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。………14分方法二：，且。（*）（=1\*romani）设，。令，得。则在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，即恒成立。……………10分（=2\*romanii）设，则，令，得，则在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，即恒成立。……………13分综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。………14分21、1、已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32)).(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程解(1)设M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，AM＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,a＋cb＋d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32))，得a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,30)).(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，则Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,30))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2y,3x))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝x′，,3x＝y′，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x′,2)，,x＝\f(y′,3)，))代入曲线C：x2＋y2＝1，得(eq\f(x′,2))2＋(eq\f(y′,3))2＝1.∴曲线C′的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1.2、已知在直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），在极坐标系（与直角坐标系SKIPIF1<0取相同的长度单位，且以原点SKIPIF1<0为极点，以SKIPIF1<0轴正半轴为极轴）中，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0.=1\*GB3①求直线SKIPIF1<0普通方程和曲线SKIPIF1<0的直角坐标方程；=2\*GB3②设点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的一个动点，求它到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围.【答案】=1\*GB3①直线SKIPIF1<0的普通方程为：SKIPIF1<0.…2分曲线SKIPIF1<0的直角坐标方程为：SKIPIF1<0【或SKIPIF1<0】.…4分=2\*GB3②曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径为1；∴圆心S