人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题4.5 等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（教师版）

专题4.5等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）1．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(公式一).

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(公式二).2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系等差数列{SKIPIF1<0}的前n项和SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)n，令SKIPIF1<0=A，SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=B，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+Bn.

(1)当A=0，B=0(即d=0，SKIPIF1<0=0)时，SKIPIF1<0=0是常数函数，{SKIPIF1<0}是各项为0的常数列.

(2)当A=0，B≠0(即d=0，SKIPIF1<0≠0)时,SKIPIF1<0=Bn是关于n的一次函数，{SKIPIF1<0}是各项为非零的常数列.

(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，SKIPIF1<0≠0)时，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).3．等差数列前n项和的性质【题型1求等差数列的通项公式】【方法点拨】根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.【例1】（2022·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列an的前n项和．若a2=18，S5=80，则数列A．2n+22 B．22−2nC．20−2n D．n【解题思路】联立a2=18，【解答过程】设等差数列an的公差为d，则a解得a1=20d=−2故选：B．【变式1-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式an为（A．an=6n+2 B．an=4n+2【解题思路】根据等差数列前n项和公式列方程求得a1与公差d【解答过程】设公差为d，依题意得S10解得a1所以an故选：C.【变式1-2】（2021·广西·模拟预测（文））记Sn为等差数列an的前n项和，若a3=2,S4=7A．n−1 B．n+12 C．2n−4 D．【解题思路】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得a1【解答过程】设等差数列an的公差为d，则a3=∴a故选：B.【变式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12+a3A．an=3n−5 B．an=【解题思路】根据条件a12+a3=7【解答过程】设公差为d，则S3=3a1+a32故选：B.【题型2等差数列前n项和的性质】【方法点拨】根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.【例2】（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．55【解题思路】利用等差中项求解即可.【解答过程】因为an，b所以S15=15a1故选：D.【变式2-1】（2021·全国·高二）设等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．1【解题思路】利用等差数列的前n项和的性质可求a6【解答过程】a6故选：D.【变式2-2】（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9S3A．717 B．310 C．3【解题思路】根据题意S3,S【解答过程】因为an为等差数列，所以S因为S9S3由2S6−S3所以S12−S所以S6故选：B.【变式2-3】（2022·江苏省高二阶段练习）已知Sn,Tn分别是等差数列an与bn的前n项和，且A．1120 B．4178 C．43【解题思路】利用等差数列的性质可得：b3+b【解答过程】因为数列{bn}所以a10又因为Sn,Tn分别是等差数列{an}所以a10故选：B.【题型3等差数列的前n项和与二次函数的关系】【方法点拨】根据题意，分析所给的等差数列的前n项和与二次函数的关系，转化求解即可.【例3】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列an中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点A． B．C． D．【解题思路】依据等差数列an的前n【解答过程】等差数列an的前n项和由d<0，知d2由a1>0，d<0，知对称轴故选：C.【变式3-1】（2021·福建省高二开学考试）等差数列an中，a1<0，公差d>0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点A． B．C． D．【解题思路】根据等差数列前n项和公式写出Sn，从函数角度，分析【解答过程】由等差数列前n项和公式得，Sn因为a1<0，d>0，所以d2令Sn=0，得n=0或故选：A.【变式3-2】（2022·河北·高三阶段练习）已知an是各项不全为零的等差数列，前n项和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【解题思路】将Sn=d【解答过程】设等差数列an的首项和公差分别为a1，d，则Sn=d2n2+a1−d故选:C.【变式3-3】（2021·江苏·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2011=S2014，A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【解题思路】由等差数列an的前n项和Sn=d2【解答过程】解：由题意，等差数列an的前n项和Sn=d2n2+a1−d2故选：D．【题型4求等差数列的前n项和】【方法点拨】根据条件，求出等差数列的基本量，得到首项和公差，利用等差数列的前n项和公式，进行求解即可.【例4】（2022·江苏·高二期中）已知等差数列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【解题思路】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.【解答过程】解：因为an所以3a所以a5则数列an的前14项之和S故选：C.【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知数列an的前n项和为Sn，且an+2+an−2A．116 B．232 C．58 D．87【解题思路】根据等差数列的性质和前n项和公式求解.【解答过程】∵an+2+an−2an+1∴a11+a∵a11+a15∴S29故选:A.【变式4-2】（2022·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【解题思路】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.【解答过程】设{an}首项为a1，公差为d.因S3＝6，S4则3a1+3d=6故选：C.【变式4-3】（2022·山东·高三期中）已知数列an成等差数列，其前n项和为Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【解题思路】设出公差，根据前n项和基本量计算出公差，从而求出S11【解答过程】设an的公差为d，由a3a1+3d=9故S11故选：C.【题型5等差数列前n项和的最值】【方法点拨】1.通项法若SKIPIF1<0>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组SKIPIF1<0来确定；若SKIPIF1<0<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组SKIPIF1<0来确定.2.二次函数法对于公差为非零的等差数列{an}，由于SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)n，所以可用求函数最值的方法来求前n项和Sn的最值.这里应由nSKIPIF1<0及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值.【例5】（2022·内蒙古·高一阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=−27，a6A．−225 B．−224 C．−226 D．−223【解题思路】由a2，a6可得a1，d【解答过程】由题，a2=a所以Sn所以当n=15时，Sn的最小值为−225故选：A.【变式5-1】（2022·甘肃·高二期中）记Sn为等差数列an的前n项和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【解题思路】设等差数列an的公差为d，由a1=22,S7=S16可解出d值为【解答过程】设等差数列an的公差为d，由S7=S16又a1=22，所以d=−2，所以an=22−2n−1所以数列an满足：当n≤11时，an>0；当n=12时，an=0所以Sn取得最大值时，n故选：B．【变式5-2】（2022·陕西·高二期中）设数列an为等差数列，Sn是其前n项和，且S5A．d<0 B．a7=0 C．S9>S5 D．【解题思路】由S7−S6=a7可判断B；由d=a7【解答过程】根据题意，设等差数列an的公差为d，依次分析an是等差数列，若S6=又由S5<S6得而C选项，S9>S5，即又由a7=0且d<0，则a8∵S5<S6，S6=S7故选：C.【变式5-3】（2022·北京高三阶段练习）等差数列an的前n项和为Sn.已知a1+2a3=−1A．−4 B．−3 C．−2 D．−1【解题思路】根据题意，列方程求得d=2,a1=−3【解答过程】解：设等差数列an的公差为d因为等差数列an中，a1+2所以a1+2a所以a1=−3,a2=−1,所以Sn的最小值为S故选：A.【题型6等差数列的实际应用】【方法点拨】对于等差数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等差数列，进行求解.【例6】（2022·全国·模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为Sn，如S3A．555 B．101 C．505 D．1010【解题思路】利用等差数列求和公式得到S10【解答过程】由题意得：S10故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为5050÷10=505.故选：C.【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【解题思路】根据等差数列an的通项公式以及前n【解答过程】设8个儿子依次分绵a1斤，a2斤，a3则数列an因为绵的总重量为996斤，所以S8解得a1则第八个儿子分到的绵a8故选：D．【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑上刻着“〩〢”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【解题思路】根据规定确定A，B两处的里程碑的数值，再由等差数列通项公式确定里程碑的数量，并利用等差数列前n项和公式求从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和.【解答过程】根据题意知，A点处里程碑上刻着数字34，B点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从A点到B点的所有里程碑个数为n=92−342+1=30，从A点到B故选：B．【变式6-3】（2022·江西上饶·高二期末（文））广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上