人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题4.9 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（原卷版）

专题4.9等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）1．等比数列的前n项和公式若等比数列{SKIPIF1<0}的首项为SKIPIF1<0，公比为q，则等比数列{SKIPIF1<0}的前n项和公式为

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系(1)当q=1时，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0是关于n的正比例函数，点(n,SKIPIF1<0)是直线y=SKIPIF1<0x上的一群孤立的点.(2)当q≠1时，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.记A=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时，y=SKIPIF1<0是指数函数，此时，点(n,SKIPIF1<0)是指数型函数y=SKIPIF1<0+A图象上的一群孤立的点.3．等比数列前n项和的性质已知等比数列{SKIPIF1<0}的公比为q，前n项和为SKIPIF1<0，则有如下性质：

(1)SKIPIF1<0.

(2)若SKIPIF1<0(kSKIPIF1<0)均不为0，则SKIPIF1<0成等比数列，且公比为SKIPIF1<0.

(3)若{SKIPIF1<0}共有2n(nSKIPIF1<0)项，则SKIPIF1<0=q；

若{SKIPIF1<0}共有(2n+1)(nSKIPIF1<0)项，则SKIPIF1<0=q.4．数列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比数列的求和公式.

②掌握一些常见的数列的前n项和公式.(2)倒序相加法求和

如果一个数列{SKIPIF1<0}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(3)错位相减法求和

错位相减法求和适用于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是等差数列和等比数列.(4)裂项相消法求和

利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.【题型1求等比数列的通项公式】【方法点拨】根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12A．an=16⋅C．an=4 D．a【变式1-1】（2022·安徽铜陵·高一期末）各项均为正数的等比数列an，其前n项和为Sn.若a2−a5=−78，SA．2n B．2n−1 C．3【变式1-2】（2022·湖南·高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若2S3=3A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习）等比数列{an}中,若公比A．4n−1 B．4n C．3【题型2等比数列前n项和的性质】【方法点拨】根据题目条件，结合等比数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.【例2】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3A．488

B．508

C．511

D．567【变式2-1】（2022·全国·高二）已知等比数列an共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列an的所有项之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知项数为奇数的等比数列{an}A．5 B．7 C．9 D．11【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mA．−2 B．2 C．−3 D．3【题型3求等比数列的前n项和】【方法点拨】根据条件，求出等比数列的基本量，得到首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，进行求解即可.【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比数列an中，a1=1，且a5+A．15 B．31 C．63 D．64【变式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比数列an的前n项和为Sn，若an>0，公比q>1，a3+A．31 B．36 C．48 D．63【变式3-2】（2022·河北高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若8a1=2A．510 B．511 C．1022 D．1023【变式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比数列{an}为递增数列，Sn是它的前n项和，若a3＝16，且a2与a4的等差中项为20A．2n−2C．4n＋【题型4等比数列的应用】【方法点拨】对于等比数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等比数列，利用等比数列的通项公式、求和公式进行求解.【例4】（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少16，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（

A．10×68C．80×67【变式4-1】（2022·四川省高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【变式4-3】（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n的最小值为（

（参考数据：lg2=0.3010，lgA．9 B．8 C．7 D．6【题型5等差、等比数列的综合应用】根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差数列an​和等比数列bn​满足a1=b1(1)求an(2)求和：b1【变式5-1】（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a(1)求an(2)设cn=2bn−a【变式5-2】（2022·山西·高三期中）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，等比数列bn的公比为q(q>0)，已知a1=(1)求an，b(2)将an，bn中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列cn【变式5-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a1+a3=6，a(1)求数列an与b(2)设cn=3an+54⋅b【题型6数列的求和】【方法点拨】对于具体的数列求和问题，选择合适的数列求和方法，进行求解.【例6】已知数列an的首项a1=1(1)求证：an(2)求数列