人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题6.4 排列与组合（重难点题型检测）（教师版）

专题6.4排列与组合（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合a1D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【解题思路】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【解答过程】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D.2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中错误的是（

）A．A63=120； B．A12【解题思路】据组合数的性质及排列数公式计算可得【解答过程】解：对于A，A6对于B，因为C127=对于C，因为n，m为正整数，且n≥m，所以令n=3,m=1，则Cnm+Cn+1对于D，Cn故选：C.3．（3分）（2022春·江苏·高二阶段练习）不等式An5≤12A．n∣2≤n≤5,n∈N B．n∣3≤n≤6,n∈NC．5 D．5,6【解题思路】根据组合数和排列数的计算公式，结合n的取值范围，即可求得结果.【解答过程】由An5≤12Cn化简整理得n2−7n+10≤0，解得2≤n≤5，又因为n≥5，所以故选：C.4．（3分）（2022春·吉林长春·高二期中）从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【解题思路】根据排列定义即可求解．【解答过程】不同的方法总数是A5故选：B.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（

）A．36 B．24 C．18 D．42【解题思路】利用分步乘法计数原理及组合公式求解即可.【解答过程】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有C3第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有C3第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有C2依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是6×3×2=故选：A.6．（3分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（

）A．48种 B．36种 C．24种 D．20种【解题思路】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”，根据分步计数原理即可求解.【解答过程】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有A33种排法，再将“射”和“御”交换位置有A2所以根据分步计数原理共有A3故选：B.7．（3分）（2023·全国·高二专题练习）绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【解题思路】本题分抽取的4人中含甲和不含甲两大类讨论，采取捆绑法分析情况，再利用加法和乘法原理得到所有情况即可.【解答过程】4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有C4②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有C43=4种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有C31综上共有36+96=132种.故选：B.8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（

）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为AC．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C【解题思路】对于选项A，每人有4种安排法，故有45种；对于选项B，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C，先分组再安排；对于选项D【解答过程】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C52A③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（C53C21④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有C31,从余下四人中安排三个岗位故有C31C从余下三人中安排三个岗位A33，故有甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C3即选项D正确，故选：D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022春·重庆万州·高二阶段练习）下列等式正确的是（

）A．n+1AnC．Cnm【解题思路】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【解答过程】对于A，n+1A对于B，n!n对于C，Cnm=Anmm!，而m!对于D，1n−m故选：ABD.10．（4分）（2022春·浙江宁波·高二期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，A．甲从M到达N处的走法种数为20B．甲从M必须经过A3到达NC．甲乙两人能在A3D．甲，乙两人能相遇的走法种数为162【解题思路】由M到N的最短路径向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.【解答过程】A：从M到达N只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为C6B：从M到A3的走法有C32，再到达N的走法有C32C：由上，甲经过A3的走法有9种，同理乙经过AD：要使甲乙以相同的速度相遇，则相遇点A1，A2，A3，A4中的一个，而在A1、A4相遇各有1种走法，在A故选：AB.11．（4分）（2022春·江苏南通·高二阶段练习）2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（

）A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法【解题思路】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【解答过程】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有A2再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有A4由分步乘法计数原理得，共有A2B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有A3再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有A4由分步乘法计数原理得，共有A3C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有A5剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有A5D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有A5任子威在最左边，有A44种排法，武大靖在最右边，有任子威在最左边，且武大靖在最右边，有A3所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有A5故选：ABD.12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是（

）A．不同的安排方法共有64种B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种【解题思路】根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有34对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有C3对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲､乙在同一组，有1种分组方法，又甲､乙两人不能去A地，所以安排甲､乙一组到B地或C地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A22种情况，此时不同的安排方法有若甲､乙不在同一组，有C42−1=5所以安排没有甲､乙的一组去A地，甲､乙所在的两组安排到B，C两地，有A2此时不同的安排方法有5A22所以C错误；对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，此时不同的安排方法有C192=171故选：BD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022秋·江西上饶·高二阶段练习）若C82x−1=C8x+3，则x=【解题思路】根据组合数的性质得到方程，解得即可；【解答过程】因为C8所以2x−1=x+3或2x−1+x+3=8,解得x=4或x=2，经检验成立，故答案为：4或2.14．（4分）（2022春·北京顺义·高二阶段练习）从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有25种．【解题思路】计算反面全是男生的方法数，运用排除法即可.【解答过程】从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法数为C7从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为C5所以从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生的方法数为35−10=25，故答案为：25.15．（4分）（2022春·河北保定·高二阶段练习）某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动，每个路口安排一名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有144种．【解题思路】将甲、乙两名志愿者看作一个整体，再与其余四名志愿者全排列，减去甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，且丙在第一个或最后一个路口的情况求解.【解答过程】当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时，利用“捆绑法”，将甲、乙两名志愿者看作一个整体，再与其余四名志愿者全排列，一共有A2当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口，且丙在第一个或最后一个路口时，一共有A2故所求安排方式一共有A2故答案为：144.16．（4分）（2023·全国·高二专题练习）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为5040．【解题思路】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.【解答过程】若有1人参加“演讲团”，则从6人选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2种情况：1，1，1，2和1，2，2，故1人参加“演讲团”的不同参加方法数为C6若无人参加“演讲团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排安排有2种情况：1，1，2，2和2，2，2，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为C6故满足条件的方法数为3600+1440=5040，故答案为：5040.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·河北石家庄·高二期中）（1）计算：2A（2）若A2n3=10【解题思路】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【解答过程】（1）2A（2）∵A2n3=10A又n≥3，化简得4n−2=5n−10，解得n=8.18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程(1)A(2)1【解题思路】（1）先求出2≤x≤8，解不等式得到7<x<12，从而得到答案；（2）先得到0≤m≤5，解方程得到m=21或2，舍去不合题意的根.【解答过程】（1）由题意得：0≤x≤80≤x−2≤8，解得：2≤x≤8A8x<6解得：7<x<12，结合2≤x≤8，可得：x=8（2）1C5m即m!5−m解得：m=21（舍去）或2，故方程的解为：m=2.19．（8分）（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）现有8个人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解题思路】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【解答过程】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有A7则甲必须站在排头有A7（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A3将这个整体与5名男生全排列，有A66种情况，则女生必须排在一起的排法有（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有A62种情况，将剩下的6人全排列，有则甲、乙两人不能排在两端有A6（4）根据题意，将8人全排列，有A8则甲在乙的左边有12（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有A5将剩下的6人全排列，有A66种情况，甲、乙不能排在前3位，有（6）根据题意，将5名男生全排列，有A55种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有则女生两旁必须有男生，有A520．（8分）（2022秋·江西宜春·高三阶段练习）现有男选手3名，女选手5名，其中男女队长各1名.选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）(1)至少有1名男选手；(2)既要有队长，又要有男选手.【解题思路】（1）考虑“至少有1名男选手”的对立事件进行求解；（2）按是否选入男队长分2种情况讨论，再由加法原理求解即可.【解答过程】(1)由题意可知，“至少有1名男选手”的对立事件为“全为女选手”，从8人中任选4人，有C84=70所以“至少有1名男选手”的选法有70−5=65种；(2)①当选男队长时，其他人选法任意，有C7②当不选男队长，必选女队长时，有C63=20则不选男队长的选法有20−4=16种，所以既要有队长，又要有男选手的选法有35+16=51种.21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）用0、1、2、3四个数字组成没有重复数字的自然数．(1)把这些自然数从小到大排成一个数列，1230是这个数列的第几项？(2)其中的四位数中偶数有多少个？它们各个数位上的数字之和是多少？它们的和是多少？【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理讨论1位自然数、2位自然数、3位自然数、4位自然数的情况即可.（2）利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可.【解答过程】（1）1位自然数有C42位自然数有C33位自然数有C34位自然数中小于1230的有“10XX”型A2所以1230是此数列的第4+9+18+3+1=35项.（2）四位数偶数有个位是0和个位是2两种情况，其中个位是0有A33=6所以四位偶数共有10个.它们各个数位上的数字之和为10×0+1+2+3这10个偶数中，个位是2的有4个；当个位是0时由A3当个位不是0