2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试2

专题2.1不等式的性质及常见不等式解法（真题测试）

一、单选题

1.（2008•广东•高考真题（文））设a,beR,若〃-网>0,则下列不等式中正确的是（〉

A.b-a>0B./+。3<0c.a2-b2<0D.b+a>0

【答案】D

【解析】

利用赋值法:令。=0排除ABC,选D.

2.（2008・安徽•高考真题（理））a<0是方程以2+2》+1=0至少有一个负数根的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】

当白=寸一加>0,得4<1时方程有根.“<0时.，应七二4<0,方程有负根，又片1时，方程根为x="4,

所以选B.

3.（2020•全国•高考真题（文））已知集合A={x|凶<3,xGZ},B={x|W>l,xGZ},则AAB=（）

A.0B.{-3,-2,2,3）

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

解绝对值不等式化简集合AB的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】

因为A=卜忖<3,xeZ）={-2-1,0,1,2）,

S=|x||.r|>l,xeZ|=|x|x>lB!cx<-l,xeZ）,

所以4口8={2,-2}.

故选：D.

4.（2017•天津•高考真题（文））设XGR,则“2-x知”是“卜-1区1”的（）A.充分不必要条件B.必

要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

本题首先可通过运算得出2-xZO即x<2以及卜-1归1即04x42,然后•根据x42与04x42之间的关系即

可得出结果.

【详解】

2-x>0,即x<2,

|x-l|<l,BP-1<X-1<1,0<x<2,

因为集合［0,2］是集合（r,2］的真子集，

所以“2-xNO”是“卜-1|41”的必要不充分条件.

故选：H.

5.（2013•江西•高考真题（文））下列选项中，使成立的x的取值范围是

X

A.(f0,T)B.(-1,0)C.(0,1)D.—)

【答案】A

【解析】

【详解】

1(x+l)(x-l)

x<—

x、一1,或0<x<l

•.,原不等式可化为{”,二{f,八，2八八，.二不<-1.故选A.

(x-l)(x+x+l)c%>1,或％<0

-<x2------------------>0

XX

7.（2012•湖北・高考真题（文））已知集合4=卜|/一3》+2=0/€/?},8={#0<工<5/€7},则满足条件

AaCqB的集合C的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【详解】

求解一元二次方程，得4=卜|9一3x+2=0,xeR}={x|(x-1)(x—2)=0,xeR}

={1,2},易知3={X|0<X<5,XWN}={1,2,3,4}.

因为A=C=所以根据子集的定义，

集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原题即求集合{3,4}的子集个数，即有展=4个，故选D.

7.（2018・全国•高考真题（理））设a=logg0.3,ft=log20.3,则

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<ahD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：求出L=log0.3°2」=/og0.32,得到•！+工的范围，进而可得结果.

abab

详解：咋0.2吗〃="2°3

=logO.302，!=/ogO.321+L=/og。30.40<■!■+1<1,即0<<1

abababab

X•/a>0,b<0

ab<0B|Jab<a+b<0

故选B.

8.（2022•宁夏•银川二中高二期中（文））已知函数"x）=|x-a|+x+L若存在%，使得八七）42成立，则

a

”的取值范围（）

A.{—1}B.{1}C.{-I4}D.[—1>1]

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得/（x）min42,由绝对值不等式的性质可得f（x）1nM=a+，,所以a+,42,由不等式的性

aa

质得a+‘22,所以“+1=2,从而可求出a的取值

aa

【详解】

存在%，使得了（X。）42成立，等价于/（x）m,n42,

>*_〃）一卜+工1当且仅当（x-a）（x+：卜0时成立,

因为/。）=卜-4+x+-4+—

a

所以/（X）min=a+，，则。+,42,

aa

因为4+：=同+点22小卜百=2,当且仅当时=百，即时=1时取等号，

所以2442,

a

所以〃+—=2,解得。=1或。=—1,

a

所以。的取值范围为{-1，1},

故选：c

二、多选题

9.（2022•山西运城•高二阶段练习）已知。<。<0,则下列选项正确的是（）

A.a2>b2B.a+b<ab

C.1。1<网D.ab>b2

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质进行判断.

【详解】

"：b<a<0,

b2>a2〃+/?<0,ab>0,

/.a+b<ab.A错误，B正确；

.•・I。KIM,C正确；

b<a<0不等式两边同乘以b得：ab<h2,故D错误.故选：BC.

10.（2021•辽宁・沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（）

A.不等式Ix+l|+|x-2|>3的解集为R

B.不等式|x+l|+|x-2|23的解集为R

C.不等式卜+1|+1*-2|>5的解集为xe（-2,3）

D.不等式|x+l|+|x-2]>5的解集为xey,-2）53,+«>）

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用特殊值x=0即可判断选项4,利用绝对值不等式的结论即可判断选项8,分x<-l,-l<x<2,x>2三

种情况去掉绝对值，求解不等式的解集，即可判断选项C,D.

【详解】

对于4,当x=0时，|x+l|+|x-2|=3,故选项A错误；

对于8,因为|x+l|+|x-2闫（x-l）-（x-2）|=3,即不等式|x+l|+|x-2R3恒成立,

所以不等式lx+11+lx-2|23的解集为R,故选项8正确；

对于C,不等式|x+l|+|x—2|>5,

当x<-l时，贝!]-x-l+2-x>5,解得x<-2；

当一14x42时，则x+l+2-x>5,解得xe0；

当x>2时，则x+l+x-2>5,解得x>3.

综上所述，不等式|x+l|+|x-2|>5的解集为X€（YO,-2）U（3,+8）,故选项C错误Q正确..

故选：BD.

11.（2022・湖北•黄冈中学模拟预测）已知a,b,c均为非零实数，且〃>力>。，则下列不等式中，一定成立

的是（）

A.aobcB.ac1>be2C.(a_b)'c)'D.In----<0

a-c

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质及特殊值即可求解.

【详解】对于A,取特殊值。=2,6=1,C=-1,满足“>/?><：,但accbc,故A不正确；

对于B,因为dh,c均为非零实数，且a>b>c,所以02>0,所以a/〉儿?,故B正确；

-c

对于C,取特殊值。=3#=21c=-1,满足非零实数a>。>c,止匕时（a-by=（3-2）'=1,（a-c）=（3-1）'■=2'=1,

但>（"C）c,故C不正确；

对于D,因为a,b,c,均为非零实数，且所以,

所以()<a-Z?<a-c,0<—~~-<1,所以In――-<In1,即In――-<0,故D正确.

a-ca-ca-c

故选：BD.

12.（2022•海南中学高三阶段练习）若mb,CGR,则下列命题正确的是（）

A.若。/?工0且则B.若Ovavl,贝!]

ab

C.若a>b>0且c>0,则">2D.a2+b2+l>2（a-2b-2}

a+ca

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由不等式的性质逐一判断即可.

【详解】

解：对于A,当a<0<6时，结论不成立，故A错误；

对于B,0?〈”等价于。（。一1）<0,又故成立，故B正确；

对于C,因为。>力>0且c>0,所以等价于必+“c>曲+6c,即（a-b）c>0,成立，故C正确；

a+ca

对于D,/+/；2+142（4—乃—2）等价于（.—1）2+（人+2）2*0,成立，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13（2017•上海•高考真题）不等式主口>1的解集为

X

【答案】（-8,0）

【解析】

【详解】

由题意，不等式工」>1，^1-1>1=>-<0=>%<0,所以不等式的解集为（7,0）.14.（2021•全国•高一课

XXX

时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，不答得零分.某同学有

一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：.（不用化

简）

【答案】5x-2(19-x)>80,xwN*

【解析】

【分析】

设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5x答对题目数-lx答错题目数结合得分在80

以上，即可得出关于X的一元一次不等式.

【详解】

这个学生至少答对X题，则答错（20-1-x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即5x-2（19-x）280,xcN".

故答案为：5x-2(19-x)>80,xeN”

15.（2022•山西师范大学实验中学高二阶段练习）关于实数x的不等式-/+笈+c<。的解集是{x|x<-3或

x>4},则关于x的不等式］-fev—1>0的解集是.

【答案】（f°,-J）U（!，+8）

【解析】

【分析】

由不等式的解集求得b,c,然后再解一元二次不等式.

【详解】

因为关于实数x的不等式-寸+陵+。<0的解集是{T》<-3或》>4},

-9-3Z?+c=0[b=\

所以解得=

-16+4b+c=0

所以不等式d-6x-1>0为12/-工-1>0,即（3x-l）（4x+l）>0,或x>g.

故答案为：（-^-/Uq,*50）.

16.（2021•河南•高一阶段练习）2021年是中国共产党成立100周年，某校为了庆祝建党100周年，组织了一

系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人

数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的3倍多于高一年级选手人

数，则参加红歌会的选手至少有人.【答案】14

【解析】

【分析】

设高一年级选手人数、高二年级选手人数、高三年级选手人数、教师选手人数分别为4》,c,d，根据条件列不等

式求解即可.

【详解】

设高•年级选手人数、高二年级选手人数、高三年级选手人数、教师选手人数分别为。力,c,d,

且a为,c,d为正整数,

a>b+\

b>c+1

则，hK而3d24+1N/?+2Nc+3Nd+4,

c>d+\

3d>a+\

d>2

c>3

解得仆/

b>4

a>5

故选手至少有2+3+4+5=14人.

四、解答题

17.（2022.陕西・榆林市第十中学高二期中（理））若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3]>a解集为R,求实数

。的取值范围.

【答案】S,8）

【解析】

【分析】

由已知不等式（|x-5|+|x+3k/a,再由绝对值三角不等式求（|x-5|+|x+3]L,由此可得a的取值范围.

【详解】

因为不等式,一5|+卜+3]>。解集为R,

所以（卜-5|+卜+3|）1nto>明

X|x-5|+|x+3|>|x-5-x-3|-8,当且仅当-3Vx45时等号成立，

所以（卜-5|+卜+3鼠=8,所以实数a的取值范围是（《,8）,

故答案为：（一*8）.

Q1A

18.（2022・全国•高三专题练习）解不等式;~~大+---X3-5X>0.

（x+l）x+l

【答案】（y,-2）a—i,i）.

【解析】

【分析】

不等式变形为（二一丫+5.二_>丁+5犬，将M；•视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数

（x+Ux+lX+1

/(x)=x,+5x,然后由函数的单调性解不等式.

【详解】

令〃x)=、+5x,易知f(x)在R上单调递增.

原不等式变形为(二-丫+5.二->/+5x,即

U+1Jx+1U+1J

由/(X)在R上单调递增得导>X,解得x<-2或.

所以原不等式的解集为(F，-2>(T,1).

19.(2022•陕西・西安市阎良区关山中学高二阶段练习(文))已知集合A={x|l<x45},集合

2r-l

8={x|一■>()}.

(1)求408；

(2)若集合C={x|a-2«x<4"-3},且C|JA=C,求实数〃的取值范围.

【答案】⑴{X[3<X〈5}

(2)2<a<3

【解析】

【分析】

(1)解分式不等式确定集合8,然后由交集的定义计算；

(2)由(：1]4=(7得4=(7,再由集合的包含关系得参数范围.

(I)

^^>0O(2X—1)(X-3)>0=X<L或％>3,B={x|x<，或x>3},所以AAB={x[3<xM5}；

x-322

(2)

[a-2<l

由CUA=C得4aC,所以匕解得2Ma43.

[4a-3>5

20.(2022.新疆喀什.高一期末)设全集U是实数集R,集合A={X|X2+3X-4<0},集合B={X|三40

(1)求集合A,集合B；

(2)求AnB,AU8.

【答案】(l)A={x|-4<x<l},B={^-l<x<2)；

(2)AQB={x|-l<x<l},AuB={x|-4<x<2}.

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法解出集合A,根据分别不等式解出结合民

(2)由(1),结合交集、并集的概念和运算即可得出结果.

(1)

由题意知，

2

71={^X+3X-4<0}={X|(X+4)(X-1)<0}={^-4<X<1})

=jx|^1<oj-={x|U-2)(x+l)<O且X+1HO}={R-1<X42}

(2)

由(1)知，A={x|-4cx<1},B={x|-l<x<2},

所以AnB={x|_l<x<l},

A<JB={A|-4<X<2}.

21.(2022•河南濮阳•高二期末(文))已知函数/(x)=|2x-4|+|x+2|.

(1)解关于》的不等式/。)>10；

(2)求满足/(x)=1x-21M的实数x的取值范围.

[答案](1)(_8,-[)U(4,+8);

⑵[-2,2]【解析】

【分析】

(1)零点分段法求解绝对值不等式；(2)对不等式变形得到Ix-2|+|x+2|=4,分类讨论求解即可.

(1)

—3x+2,X<—2

/(x)=|2工-4|+,+2]=—工+6,-2V,