2023年河南省南阳重点学校中考数学模拟试卷

2023年河南省南阳重点学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-3的绝对值是（）

A.+3B.3C.-3D.-?

2.2022年，某县完成生产总值（GDP）396.1亿元，同比增长5.8%,数据396.1亿元用科学记

数法可表示为（）

A.

3.

A.

B.

C.

D.

4.如图,48//CD,点E在AB上,EC平分N4ED,若N1=65。,

则42的度数为（）

A.45°

B.50°

C.57.5°

D.65°

5.下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（）

A.了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受

B.了解太原市九年级学生每日睡眠时长

C.“长征-3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况

D.检测一批新出厂的手机的使用寿命

6.若关于久的一元二次方程ad—6x+9=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.a<2B.a<1C.a<2且a#0D.a<1且a牛0

7.将抛物线y=/-2x+l向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线

y=%24-6%4-c,贝！Jb,c的值为()

A.b=-8,c=18B.b=8,c=14

C.b=-4,c=6D.b=4,c=6

8.如图，在菱形Z8C0中，在对角线8。上取一点E,使得DE=4D,An

连接4E,若BD=8,=则4D的长为()

A.4…c

B.5

C.6

D.2V-l0

9.如图，在平面直角坐标系中，点4在x轴的正半轴上，分别以

E

点4、。为圆心，大于^4。为半径作弧，两弧相交于点M、N,作Dlr

直线MN,交x轴于点B,C是MN上一点，连接AC、0C,将。C绕\/

点。逆时针旋转60。，点C落到点。处，CD交y轴于点E.若N0C4=--------，~丁\；

60。，点4的坐标是(6,0),则点。关于x轴对称的点的坐标是()|y/V

A.(-3,-3<3)B.(-3,-3VI)C.(-3,3/3)D.(-3,373)

10.近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片.研究发现,

近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是()

y/度

00.10.20304050^6y/m

A.当x的值增大时，y的值随之减小

B.当焦距%为0.2m时，近视眼镜的度数y为500度

C.当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约333度

D.某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为0.5m

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若代数式仃不有意义，则实数x的取值范围是

12.如图，△48（7内接于。。，CD是。。的直径，乙4co=40。，则

13.如图，随机闭合开关S】，S2,S3中的两个，灯泡不能够

发光的概率是.

14.如图，以4B为直径作半圆。，C为助的中点，连接BC,以OB

为直径作半圆P，交BC于点D,若=4,则图中阴影部分的面积

为一.

15.如图所示，在Rt△ABC中，4ACB=90°,AB=2AC=4,CO为

斜边中线，点P为线段A。上一动点，将线段PC绕点P逆时针旋转90。得

线段PQ,连接CQ,0Q,当PC垂直于△SBC的一边时，线段0Q的值

为.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题10.0分）

计算：

（l）2cos60°-4x2-2-（7T-3.14）°；

（2）化简:（x+y）（x-3y）+（2x2y+6xy2）+2x.

17.（本小题9.0分）

为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了4（围棋社团）、B（书法社团）、C（唱

社团）、D（剪纸社团）活动.该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪种

社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完

整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：

(1)你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是一，条形统计图中小的值为

(2)求扇形统计图中a的度数;

(3)根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人?

调:杳结果的条形统计图调资结果的扇形统计图

18.(本小题9.0分)

春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于4处，风筝线48长

为150m,从B处看风筝的仰角为37。，小张的父母从C处看风筝的仰角为60。.

(1)风筝离地面多少米？

(2)小张和父母的直线距离BC是多少米？(结果精确到0.1,参考数据：sin37°=0.6.cos370«

0.8,tan37°®0.75,V-2«1.41，V-3«1.73)

19.(本小题9.0分)

如图，一次函数y=-%+5的图象与反比例函数y=*(k#0)在第一象限的图象交于4Qn)

和8两点.

(1)求反比例函数的解析式及点B坐标；

(2)在第一象限内，当一次函数y=-x+5的值大于反比例函数y=g(k。。)的值时，写出自

变量x的取值范围.

20.(本小题9.0分)

独轮车(图1)俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正

式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用.如图2所示为从独轮车中抽象出

来的几何模型.在△ABC中，以△ABC的边48为直径作。。，交4c于点P,PD是。。的切线,

且PO1BC,垂足为点D.

(1)求证：N4=NC；

21.(本小题9.0分)

为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个4品牌

足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个4品牌足球和2个8品牌足球共需640元.

(1)求4,8两种品牌足球的单价.

(2)若该校计划从某商城网购4,B两种品牌的足球共20个，其中购买4品牌的足球不少于3个

且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？

22.(本小题10.0分)

如图，已知抛物线y=a/+bx+c(a,b,c为常数，a#0)交%轴于4(1,0)、8(3,0)两点，交y轴

于C(0,3),将该抛物线位于直线y=zn(m为常数，m之0)下方的部分沿直线y=加翻折，其

余部分不变，得到的新图象记为“图象W”.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若m=0时，直线y=x+n与图象W有三个交点，求n的值;

(3)若直线y=x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围.

23.(本小题10.0分)

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

操作发现

某数学小组对图1的矩形纸片4BCD进行如下折叠操作：

第一步：如图2,把矩形纸片ZBCD对折，使4。与BC重合，得到折痕MN,然后把纸片展开;

第二步：如图3,将图2中的矩形纸片沿过点8的直线折叠，使得点A落在MN上的点4处，折

痕与40交于点E,然后展开纸片，连接44,BA',

EA'.

A

B

问题解决

(1)请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；(保留作图痕迹)

(2)请你判断图3中A的形状，并说明理由；

(3)如图4,折痕BE与MN交于点F,BA的延长线交直线CD于点P,若MF=1,BC=7,请你

直接写出PD的长.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：一3的绝对值：|一3|=3,

故选：B.

a,(a>0)

0,a=0即可得出答案.

1-CL,(0<0)

本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义.

2.【答案】D

【解析】解：396.1亿元=39610000000元=3.961xIOI。元.

故选：D.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中n为整数，且n比原来的

整数位数少1,据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10n,其中1<|a|<10,确定a与n的

值是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：这个几何体的主视图如下:

故选：B.

根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可.

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前

提.

4.【答案】B

【解析】解：-.-AB//CD,

：.2LAEC=41=65°.

•••EC平分"ED,

Z.AED=2乙4EC=130°.

.•・N2=180。-〃EO=50。.

故选：B.

根据平行线的性质，由4B〃CD,得4EC=41=65。根据角平分线的定义，得EC平分乙4ED,那

么乙AED=2乙AEC=130°,进而求得42=180°-Z.AED=50°.

本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的

关键.

5.【答案】C

【解析】解：4了解国内外观众对电影而浪地球少的观影感受，适合抽样调查；

8、了解太原市九年级学生每日睡眠时长，适合抽样调查；

C、“长征-3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；

检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；

故选：C.

由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比

较近似.

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵

活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽

样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

6.【答案】D

【解析】解：••・关于x的一元二次方程a/-6x+9=0有两个不相等的实数根，

a0,A=(-6)2—4xax9=36—36a>0,

解得：a<1且a*0.

故选：D.

根据方程的系数结合根的判别式A>0,即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取

值范围.

本题考查了根的判别式，牢记“当/>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：二次函数y=x2-2%+1=(x-1)2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位,

二平移后解析式为：y=(x-1+3)2+2=(%+2)2+2=x2+4x+6,

则b=4,c=6.

故选：D.

根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式即可.

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得出平移后解析式是解题关键.

8.【答案】B

【解析】解：如图，连接4C交BD于点。,

设4D=x,则DE=AD=x,

•••四边形4BCD是菱形，BD=8,

OB=0D=^BD=4,AC1BD,

JLAOE=UOD=90°,

222

在Rt^/ioE和中，由勾股定理得：。/12=AE2-OE2,OA=AD-OD,

•••AE2-OE2=AD2-OD2,

222

BP(AHO)2-(x-4)=X-4,

整理得：x2—4x—5=0>

解得：%!=5,x2=-1(不符合题意舍去)，

x=5,

:.AD=5,

故选：B.

连接4c交BC于点0,设则DE=4D=x,由菱形的性质得08=。。=4,AC1BD,

LAOE=/.AOD=90°,再由勾股定理得。42=AE?—OE2,OA2=AD2-0D2,贝必E2—。E2=

AD2-OD2,得出方程，解方程即可.

本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题

的关键.

9.【答案】A

【解析】解：由作图方法可得，直线"N垂直平分。4

则CO=4C,

又40c4=60°,

•••△40C是等边三角形，

:.0A=0C=AC=6,

・•・将0C绕点。逆时针旋转60。，

乙COD=60°,OC=OD,

•••△OCD是等边三角形,

：.Z.DCO=Z.COA=60°,

/.DC//AO,

•••DE=EC=^DC=3,

EO=V62-32=3A/-3,

AD(-3,3<3)，

.••点。关于x轴对称的点的坐标是(一3,-3/耳).

故选：A.

直接利用基本作图方法得出直线MN垂直平分04再利用等边三角形的判定与性质，结合旋转的

性质、勾股定理得出答案.

此题主要考查了基本作图以及等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确学

握等边三角形的判定与性质是解题关键.

10.【答案】D

【解析】解：・•・近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的关系式为y=手,

.••当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；

将x=0.2代入，y值为500,故8正确，不符合题意；

将久=0.3.代入，y值约为333,故C正确，不符合题意；

将y=400代入，％值为0.25,故。错误，符合题意.

故选：D.

根据反比例函数的性质可以判断4利用已知解析式代入相关数据可以判断B,C,D.

本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键.

11.【答案】x>5

【解析】解：•••二次根式有意义，

•••x-5>0,

解得：%>5.

故答案为：x>5.

直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关犍.

12.【答案】=50

【解析】解：「CD是。。的直径，

•••ADAC=90°,

乙D+Z.ACD=90°,

•••/-ACD=40°,

4=50°,

Z.B==50°.

故答案为：=50.

根据CD是。。的直径，贝叱n4。=90。，从而有4。+乙4CD=90。，从而求得ND,再根据圆周角

定理即可求解.

本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握

直径所对的圆周角为直角是解题的关键.

13.【答案】1

【解析】解：根据题意列表如下:

Si

S2S3

Si

Si，S2Si，S3

S2S?'S]$2,S3

S3，

S3S]S3，s2

共有6种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有2种，

即能让灯泡发光的概率是鲜上

o5

故答案为:

采用列表法列出所有情况，再根据不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解.

本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的

结果，列表法是一利。但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用树形图.

14.【答案】兀+1

【解析】解：如图，连接0C.

-AC=我，

・•・0C1AB,

•••08是小圆的直径，

・•・乙0DB=90°,

・・・OD1BC,

・•.CD=BD,

•・・OA=OB=OC=2,

BC=2V_2>

・•・OD=CD=DB=A/--2,

2

S阴=S扇形AOC+SbCDO=360+2XX=TT+1，

故答案为：7T+1.

IoB

连接。C.根据S矽=S扇形AOC+SACDO,求解即口」.

本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面积.

15.【答案】y/~~3—1WCV-6—V-2

【解析】解：①当CP-B时，如图1所示,

.c1

vsinB=

・・・=30°.

vOB=OC,

・・・乙POC=24B=60°.

在RMPCQ中，OC=^AB=2,Z-POC=60°,

:,CP=CO•sin600=PO=CO,cos600=1,

vpc=PQ=C，PO=1,

:.OQ=V-3—1;

②当CPIBC时；如图2所示，过点Q作QD1AB于点O.

vZ-CPQ=90°,Z.ACB=90°,

:,AQIICB.

・・・Z,OAQ=30°.

1j-2

•••QD=-AQ=1,AD=宁4Q=V-3.

OD=AO-AD=2-

在RtAODQ中，OQ=4O£）2+DQ2=J（2_^）2+12=8-4V~3=<7-yfl-

综上，线段OQ的长为，有一1或4石

故答案为：—1或V石—VI.

根据CP1AB和CP1BC两种情况进行讨论，当CP1AB时，根据sinB=；得到乙B=30°,在Rt△

PCQ中根据直角三角函数计算出PC和P。，从而计算出0Q,当CPJ.BC时，证明AQ〃CB,得到

/.OAQ=30°,得到。。=4。-40=2-/?,再根据勾股定理计算出。Q.

本题考查直角三角形的性质和直角三角函数，解题的关键是掌握直角三角函数的相关知识.

16.【答案】解：（l）2cos60。一4x2-2一（兀一3.14）°

=2xi-4xi-1

24

=1一1一1

=-1;

（2）（%+y）（x-3y）+（2x2y+6xy2）+2x

=x2—3xy+xy—3y2++3y2

=—xy.

【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数累的性质、负整数指数幕的性质分别化简，进

而得出答案；

（2）直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算，进而得出答案.

此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解

题关键.

17.【答案】B（书法社团）11

【解析】解：（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是8（或法社团）：

样本容量为：24+40%=60,

故m=60-10-24-15=11.

故答案为：B（书法社团）；11；

（2）由题意得，a=360。x"=90。；

oU

⑶1500x40%=600（名），

答：估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有600人.

（1）根据众数的定义可得众数是B（书法社团）；利用24+40%即可求出参加问卷调查的学生人数为

60；根据m=60-10-24-15可得答案；

（2）a=360°x磊即可得出答案；

(3)用该校总人数乘以样本中最喜欢“书法社团”的占比即可.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

18.【答案】解：(1)作4cBe于点D,

sin37°=—=0.6,

AB

•••AD-ABX0.6=150x0.6—90(m),

即风筝离地面90m；

(2)vADA.AC,AB=150m,AD=90m,"=60。，

BD=VAB2-AD2=71502-902=120(m).CD==券=30c-51.9(m),

BC=BD+CD=120+51.9=171.9(m),

即BC是171.9m.

【解析】(1)作4D■!AC，然后根据AB=150巾，ABAD=37°,即可计算出BD的长；

(2)根据题意和⑴中的结果，利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出8。和CD的长，然后将它们

相加，即可得到BC是多少米.

本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

19.【答案】解:(1)♦.•点4(l,n)在一次函数y=-％+5的图象上,

・•・当％=1时，y=-1+5=4

即：A点的坐标为：(1,4)

•・•点4(1,4)在反比例函数丫((上丰0)的图象上

・•・Ze=1x4=4,

・•.反比例函数的解析式为：y=±；

JX

(2)如下图所示:

(4：

解方程组：(y：L+5<H：t

B点的坐标为(4,1)

直线与x轴的交点C为(5,0)

由图象可知：当1<x<4时一次函数y=—x+5的值大于反比例函数y=*(k丰0)的值.

【解析】(1)将点2的横坐标代入直线的解析式求出点4的坐标，然后将的4的坐标代入反比例函数

的解析式即可.

(2)一次函数y=-x+5的值大于反比例函数y=g(kH0)的值时，双曲线便在直线的下方，所以

求出直线与双曲线及x轴的交点后可由图象直接写出其对应的x取值范围.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点

与它们的解析式的关系.

20.【答案】（1）证明：连接OP,如图2,

••・P。是O。的切线，

OP1PD,

■：PD1BC,

OP//BC,

:.Z.OPA=乙C,

vOA=OP,

・•.Z.OPA=

Z.A=Z.C；

(2)解:连接PB,如图2,

在RMPBD中，vPD=2BD=4,

・•・PB=V22+42=2-/-5»

•・T8为直径，

・•・乙4PB=90°,

v(BDP=乙BPC,Z-DBP=乙PBC,

BDPs二BPC,

:.BP：BC=BD：BP,B|J2V_5：BC=2：2<5.

解得BC=10,

vZ-A=ZC,

:.BA=BC=10,

••.o。的半径为5.

【解析】(1)连接OP，如图2,先根据切线的性质得到OP1PD,则可判断。P〃BC,所以N0P4=NC,

然后利用NOP力=乙4可得到结论；

(2)连接PB,如图2,先利用勾股定理计算出PB=2，石，再根据圆周角定理得到44P8=90。，接

着证明△BDPsABPC,则利用相似比可计算出BC=10,然后利用N4=NC得到B4=10,从而

得到。。的半径.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定理和相

似三角形的判定与性质.

21.【答案】解：(1)设4种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，

由题意可得:

解得忆跣

答：4种品牌的足球单价为80元，8种品牌的足球单价为120元；

(2)若购买4品牌的足球x个，则购买8品牌的足球(20-%)个，

由题意可得：80x+120(20-x)=-40x+2400,

・••整式随x的增大而减小，

•••购买4品牌的足球不少于3个且不多于7个，

•••3<x<7,

二当x=7时，式子取得最小值，原式=2120,

答：学校最少需要花费2120元.

【解析】(1)根据购买6个4品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个4品牌的足球和2个

B品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

(2)设购买4种品牌的足球X个，则8两种品牌的足球(20-％)个，然后根据购买4品牌的足球不少于

3个且不多于7个，可以得到光的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到学校最少需要花多

少钱.

本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是

明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值.

a+b+c=0(a=1

22.【答案】解：(1)由题意得9a+3b+c=0,解得b=-4,

、c=3(c=3

该抛物线的表达式为y=X2-4X+3；

(2)m=0时，由图象得直线y=x+n与图象W有三个交点时，存在两种情况:

①当直线〉=x+n过点4时，与图象W有三个交点，此时n=-l；

②当直线y=x+般与图象W位于线段4B上方部分对应的函数图象相切时，

x+n=-x2+4x-3,

x2—3x+n+3=0,

4=(-3)2-4xlx(n+3)=0,

3

••Tl——

4

综上，九的值是一1或—［；

(3)将该抛物线位于直线y=为常数，m20)下方的部分沿直线y=m翻折，得到y=-/+

4%—3+2m,

令％=—X2+4%—3+2m,则—3%+3—2m=0,

4=(-3)2-4xlx(3-2m)=0,

3

・•.m=-,

7

由p—x1,解得Y-v-5±1言

出(y=%2_4%+3,腑付工一丫一2

••・若直线y