直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d、弦长l的一半eq\f(1,2)l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))2.eq\a\vs4\al(考点一直线与圆的位置关系)考法(一)直线与圆的位置关系的判断[典例]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定[解析]法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋y－12＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝因为Δ＝16m2＋所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．[答案]A[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．[提醒]上述方法中最常用的是几何法．考法(二)直线与圆相切的问题[典例](1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.[解析](1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.(2)圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝eq\r(13－4)＝3.[答案](1)C(2)3考法(三)弦长问题[典例](1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)(2)(2019·海口一中模拟)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为()A．4π B．2πC．9π D．22π[解析](1)因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|c|,\r(2)|c|)＝eq\f(\r(2),2)，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以弦长为eq\r(2).(2)易知圆C：x2＋y2－2ay－2＝0的圆心为(0，a)，半径为eq\r(a2＋2).圆心(0，a)到直线y＝x＋2a的距离d＝eq\f(|a|,\r(2))，由直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，|AB|＝2eq\r(3)，可得eq\f(a2,2)＋3＝a2＋2，解得a2＝2，故圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π，故选A.[答案](1)D(2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则经过圆上一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))的切线方程是________．解析：因为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))是圆x2＋y2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x＋y＋a＝0，所以eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋a＝0，得a＝－eq\r(2)，故切线方程为x＋y－eq\r(2)＝0.答案：x＋y－eq\r(2)＝02．若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1,0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＞2，即eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＞2，解得0＜k＜eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))3．设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则|AB|＝________.解析：因为点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1.又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(m,2)))在直线l：x＋y＝0上，所以m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r＝eq\r(2)，所以圆心到直线y＝x＋1的距离d＝eq\f(\r(2),2)，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)eq\a\vs4\al(考点二圆与圆的位置关系)[典例](2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离[解析]法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0，))得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋－a2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝eq\r(0－12＋2－12)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq\r(2)，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案]B[变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．从而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故选C.2.eq\a\vs4\al(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4y＝0，,x－12＋y－12＝1，))两式相减得，2x－2y－1＝0，因为N(1,1)，r＝1，则点N到直线2x－2y－1＝0的距离d＝eq\f(|－1|,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，故公共弦长为2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(\r(14),2).答案：eq\f(\r(14),2)[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])A级1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为()A．±eq\r(5) B．±5C．3 D．±3解析：选B圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有eq\f(|a|,\r(5))＝eq\r(5)，即a＝±5.故选B.2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝eq\r(7－32＋[1－－2]2)＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则直线的倾斜角为()A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)解析：选A由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1.即d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝1，所以k＝±eq\f(\r(3),3)，由k＝tanα，得α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).故选A.4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为()A．±1 B．±eq\f(\r(2),4)C．±eq\r(2) D．±eq\f(\r(3),2)解析：选B由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即eq\f(|－1＋3a＋1|,\r(1＋a2))＝1，解得a＝±eq\f(\r(2),4).6．(2018·嘉定二模)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－eq\f(\r(3),4) B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2) D．y＝－eq\f(1,4)解析：选B圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).故选B.7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r＝2，故圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2×－1－3|,\r(12＋22))＝eq\f(3\r(5),5)，弦长为2eq\r(r2－d2)＝eq\f(2\r(55),5).答案：eq\f(2\r(55),5)8．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB的斜率等于eq\f(－1,\f(1－0,2－1))＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝09．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．解析：因为P(－3,1)关于x轴的对称点的坐标为P′(－3，－1)，所以直线P′Q的方程为y＝eq\f(－1,－3－a)(x－a)，即x－(3＋a)y－a＝0，圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\f(|－a|,\r(1＋3＋a2))＝1，所以a＝－eq\f(5,3).答案：－eq\f(5,3)10．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝eq\r(4＋22＋2＋12)＝3eq\r(5)＞5.故圆C1与圆C2相离，所以|PQ|的最小值是3eq\r(5)－5.答案：3eq\r(5)－511．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝eq\r(11)，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和圆C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦长为2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).12．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)则eq\r(a－22＋－2a＋12)＝eq\f(|a－2a－1|,\r(2)).化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝eq\r(1－22＋－2＋12)＝eq\r(2).∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x，即3x＋4y＝0.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.B级1．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线，与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：选C设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则有xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，且切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令y＝0，x＝0得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,y0)))，则|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y0)))2)＝eq\f(1,x0y0)≥eq\f(1,\f(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0),2))＝2，当且仅当x0＝y0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，则点A的横坐标为________．解析：因为eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝