信息安全数学基础 第2版 课件全套 第1-9章 整除、同余-密码学中的数学问题

第1章整除《信息安全数学基础（第2版）》整除主要内容本章主要介绍数论理论中的整除。涉及整除与带余除法、素数、公因数与公倍数、辗转相除、算术基本定理等概念与性质。另外，还会讨论连分数及其在公钥密码RSA攻击中的应用，最后讨论对于密码学有重要价值的完全数、梅森素数和费马素数等概念。学习要求：掌握整除和带余除法的概念与性质，以及相关的计算方法及应用；掌握最大公因子和辗转相除的概念与性质，以及相关的计算方法及应用；了解连分数的概念与性质及其在RSA的Wiener攻击中的应用；了解完全数、梅森素数和费马素数的概念及相关性质。2CONTENTS目录整除整除与带余除法1最大公因子与辗转相除法2算数基本定理3连分数4完全数、梅森素数和费马素数53第1节整除与带余除法整除与带余除法4整除与带余除法5主要内容本节主要介绍和整除与带余除法相关的基础定义和定理，涉及内容如下：倍数、因子和真因子的定义和相关定理；良序定理；整除中被除数、商和余数的定义和相关定理；奇数和偶数的定义和相关定理；素数和合数的定义和相关定理。

整除与带余除法6

整除与带余除法7

整除与带余除法8

整除与带余除法9第2节最大公因子与辗转相除法最大公因子与辗转相除法10最大公因子与辗转相除法11主要内容本节首先介绍最大公因子的概念，随后引出求两数最大公因子的辗转相除法，之后则介绍与最大公因子相关的定义和定理，最后则介绍最小公倍数。所涉及内容如下：公因子和最大公因子的定义；互素的概念；辗转相除法；线性组合等定义和定理；公倍数和最小公倍数的定义和相关定理。1.2最大公因子与辗转相除法

定义1.2.1

设a1,a2,…,an是n个不全为零的整数.若整数d是它们之中每一个数的因子,那么d就称为a1,a2,…,an的一个公因子.在整数a1,a2,…,an的所有公因子中最大的一个称为最大公因子,记作(a1,a2,…,an)或者gcd(a1,a2,…,an).特别地,若(a1,a2,…,an)=1,我们称a1,a2,…,an互素(或互质).

定理1.2.1

设a,b,c是任意三个不全为零的整数,且a=bq+c,其中q是整数,则(a,b)=(b,c).证明:（思路）

因为(a,b)|a,(a,b)|b,又c=a−bq,所以(a,b)|c=>(a,b)≤(b,c)……最大公因子与辗转相除法12

最大公因子与辗转相除法13最大公因子与辗转相除法

14

最大公因子与辗转相除法15

最大公因子与辗转相除法16

最大公因子与辗转相除法17第3节算术基本定理算术基本定理18算术基本定理19主要内容本节首先介绍与素数运算相关的定理和推论，随后引出算术基本定理，该定理用于整数的分解，最后介绍标准分解式和相关定理。所涉及的内容总结如下：素数运算的相关定理和推理；算术基本定理；素数的标准分解式及相关定理。

算术基本定理20

算术基本定理21

算术基本定理22

算术基本定理23第4节连分数连分数24连分数25主要内容本节主要介绍连分数，首先分别介绍有限连分数和无限连分数的相关定义，并介绍了它们的简单连分数和渐进分数。之后则介绍了相关定理，包括渐进分数和简单连分数在满足特定条件时的情况。最后则通过RSA算法中的Wiener攻击介绍了连分数在现实中的应用。内容总结如下：有限连分数和无限连分数，以及简单连分数和渐进分数的定义；渐进分数和简单连分数的相关定理；循环连分数；RSA公钥加密算法和Wiener攻击。

连分数26

连分数27

连分数28

连分数29

连分数30

连分数31

连分数32

连分数33

连分数应用34

连分数应用35第5节*梅森素数和费马素数梅森素数和费马素数36梅森素数和费马素数37主要内容本节分别首先引出完全数的概念，并介绍了相关背景定理，随后分别介绍梅森素数和费马素数的定义和相关定理。内容总结如下：完全数及其相关定理；梅森数和梅森素数；费马数和费马素数；

梅森素数和费马素数38

梅森素数和费马素数39

梅森素数和费马素数40小结本章小结数论与编码理论、密码学等信息科学领域具有紧密的联系，而整除是数论理论的重要基础.本章对整数整除的相关理论进行了详细的介绍。相关的概念和性质包括整除与带余除法、素数、公因数与公倍数、辗转相除、算术基本定理等。同时，本章还介绍了对于密码学有重要价值的连分数、完全数、梅森素数和费马素数等概念。41第2章同余《信息安全数学基础（第2版）》42同余主要内容本章将主要介绍数论中的同余理论，包括同余、同余关系、剩余类、完全剩余系和缩剩余系等基本概念和性质。另外，本章还将讨论欧拉定理、费马小定理、利用扩展欧几里得算法进行快速模逆运算和威尔逊定理等。学习要求掌握同余的概念与性质，以及相关的计算方法；掌握剩余类和剩余系的概念与性质，以及相关的计算方法；掌握欧拉定理和费马小定理及其相关的应用；掌握扩展欧几里德算法和威尔逊定理及其相关的应用。43CONTENTS目录同余同余的概念和性质1剩余类和剩余系2欧拉定理和费马小定理3扩展欧几里得算法和威尔逊定理

444同余的概念和性质第1节同余的概念和性质45同余的概念和性质46主要内容本节主要介绍同余的概念和性质。首先介绍了同余和同余式的定义，并介绍了同余的性质和一组同余式之间的关系。随后介绍了同余与整除、倍数和最大公因子等相关的运算定理。涉及内容总结如下：同余和同余式的定义；同余的性质，包括自反性、对称性和传递性；同余运算的相关定理。

同余的概念和性质47

同余的概念和性质48

同余的概念和性质49

同余的概念和性质50剩余类和剩余系第2节剩余类和剩余系51剩余类和剩余系52主要内容本节首先介绍剩余类和定义和相关定理。首先介绍了剩余类的定义和性质，随后介绍了可由剩余类组成的完全剩余系，并总结了其性质和相关定理。涉及内容可总结如下：剩余类及其代表元；完全剩余系及其相关定理。

剩余类和剩余系53

剩余类和剩余系54

定理2.2.3

设k是满足(k,m)=1的整数,b是任意整数,若a0,a1,…,am-1是模m的一个完全剩余系,则ka0+b,ka1

+b,…,kam-1+b也是模m的一个完全剩余系.即若x遍历模m的一个完全剩余系,则kx+b也遍历模m的一个完全剩余系.

定理2.2.4

若xi(i=0,1,…,m1-1)是模m1的完全剩余系,yj(j=0,1,…,m2-1)是模m2的完全剩余系,其中(m1,m2)=1,则m2xi+m1yj

(i=0,1,…,m1-1,j=0,1,…,m2-1)是模m1m2的完全剩余系.

剩余类和剩余系55欧拉定理和费马小定理第3节欧拉定理和费马小定理56欧拉定理和费马小定理57主要内容本节首先介绍欧拉函数和缩系的定义，随后介绍了相关定理，用于确认剩余类的缩系。接下来引出欧拉定理和费马小定理，并介绍了与二者相关的运算定理。内容可总结如下：欧拉函数；缩系；欧拉定理；费马小定理；与欧拉定理二者和费马小定理相关的运算定理。

欧拉定理和费马小定理58

欧拉定理和费马小定理59

欧拉定理和费马小定理60

欧拉定理和费马小定理61扩展欧几里得算法和威尔逊定理第4节扩展欧几里得算法和威尔逊定理6263主要内容本节首先介绍整数在模空间下逆元的概念，随后介绍求乘法逆元的扩展欧几里得算法。最后则讨论乘法逆元的一种特殊情况，并由此引出威尔逊定理。涉及内容总结如下：逆元；扩展欧几里得算法；乘法逆元的相关定理；威尔逊定理。扩展欧几里得算法和威尔逊定理

64扩展欧几里得算法和威尔逊定理

定理2.4.2设r0,r1是两个正整数,且r0>r1,设ri(i=2,…,n)是使用欧几里德算法计算(r0,r1)时所得到的余数序列且rn+1=0,则可以使用如下算法求整数sn和tn,使得(r0,r1)=snr0+tnr1.这里sn和tn是如下递归定义的序列的第n项.且s0=1,t0=0;s1=0,t1=1;si=si−2

−qi−1si−1,ti=ti−2

−qi−1ti−1,其中qi=ri−1/ri,i=2,3,…,n.定理2.4.2中给出的求乘法逆元的算法称为扩展欧几里德算法.证明：（思路）归纳法证明ri=sir0+tir1,i=0,1,…,n.65扩展欧几里得算法和威尔逊定理

66扩展欧几里得算法和威尔逊定理小结本章小结本章主要介绍同余、同余关系、剩余类、完全剩余系和缩剩余系等基本概念和性质。另外还介绍了欧拉定理、费马小定理、利用扩展欧几里得算法进行快速模逆运算和威尔逊定理等。同余理论在密码学，特别是公钥密码学中有着非常重要的应用。67第3章同余方程《信息安全数学基础（第2版）》68主要内容本章主要介绍同余方程和线性同余方程的基本概念和性质。然后讨论如何使用中国剩余定理求解线性同余方程组。接下去讨论二次同余方程的解法——二次剩余理论，并引入与二次剩余相关的运算函数，即勒让德符号与雅可比符号。最后讨论高次同余方程的解法。学习要求：掌握线性同余方程、线性同余方程组和中国剩余定理的概念与性质，以及相应的求解方法；掌握二次剩余的概念与性质，以及相关的计算方法和应用；掌握勒让德符号和雅可比符号的概念和性质，以及其相关的应用；了解高次同余方程的概念和性质，以及方程的求解方法.同余方程69CONTENTS目录同余方程线性同余方程1线性同余方程组与中国剩余定理2二次剩余3勒让德符号与二次互反律4雅可比符号5高次同余方程670第1节线性同余方程线性同余方程71线性同余方程72主要内容本节首先介绍同余方程和次数的定义，随后介绍同余方程的性质，作为后续内容的背景知识。所涉及内容总结如下：同余方程和次数的定义；同余方程的性质。

线性同余方程73

线性同余方程74线性同余方程组与中国剩余定理第2节线性同余方程组与中国剩余定理75线性同余方程组与中国剩余定理76主要内容本节首先介绍同余方程和次数的定义，随后介绍同余方程的性质，作为后续内容的背景知识。所涉及内容总结如下：同余方程和次数的定义；同余方程的性质；

线性同余方程组与中国剩余定理77

线性同余方程组与中国剩余定理78

线性同余方程组与中国剩余定理79

线性同余方程组与中国剩余定理80

线性同余方程组与中国剩余定理81二次剩余第3节二次剩余82二次剩余83

二次剩余84

二次剩余85

二次剩余86勒让德符号与二次互反律第4节勒让德符号与二次互反律87勒让德符号与二次互反律88

勒让德符号与二次互反律89

勒让德符号与二次互反律90

勒让德符号与二次互反律91

勒让德符号与二次互反律92雅可比符号第5节雅可比符号93雅可比符号94

雅可比符号95

雅可比符号96

雅可比符号97

雅可比符号98

雅可比符号99

雅可比符号100本章小结求解同余方程的各种方法对许多密码算法的设计和分析具有重要作用。本章我们首先介绍同余方程和线性同余方程的基本概念和性质。并且讨论了如何使用中国剩余定理求解线性同余方程组以及二次同余方程的解法——二次剩余理论，并引入与二次剩余相关的运算函数，即勒让德符号与雅可比符号。进一步地，我们介绍了如何求解高次同余方程。同余方程101第4章原根与指数《信息安全数学基础（第2版）》102原根与指数主要内容本章将主要介绍原根以及预期相关的基本知识。原根和指数是数论及其应用中一个重要的概念，在ElGamal密码算法、Diffie-Hellman密钥交换协议（简记DH）、椭圆曲线密码学和数字签名理论中有广泛的应用。学习要求掌握次数和原根的概念和性质，以及相关的计算方法和应用；掌握指数和高次剩余的概念与性质，以及相关的计算方法和应用。103CONTENTS目录原根与指数次数1指数与高次剩余3原根

2104原根与指数第1节次数105原根与指数106

原根与指数107

原根与指数

108

原根与指数109

原根与指数110原根与指数第2节原根111原根与指数112

原根与指数113

原根与指数114

原根与指数证明：（思路）

存在整数u,v满足u|ordm(a),v|ordm(b),并使得(u,v)=1,uv=[ordm(a),ordm(b)].

xu115

原根与指数证明：（思路）

数学归纳法，假设定理对l（l≥2）成立116

原根与指数117

原根与指数118指数与高次剩余第3节指数与高次剩余119指数与高次剩余120

指数与高次剩余121

指数与高次剩余122

指数与高次剩余123

指数与高次剩余124本章小结本章小结本章主要介绍原根以及与其相关的基本知识。

原根和指数是数论及其应用中一个重要的概念，是后续相关问题的基础。

抽象代数中循环群的概念，就与此紧密相关。同时，其在ElGamal密码算法、Diffie-Hellman密钥交换协议（简记DH）、椭圆曲线密码学和数字签名理论中有广泛的应用。125第5章群《信息安全数学基础（第2版）》126

群主要内容本章主要介绍群的相关内容、子群的概念、陪集与商群的若干性质，继而介绍重要的同态、同构概念以及同态基本定理,最后介绍两类重要的群——循环群和置换群。学习要求：掌握群的概念和性质；掌握陪集、商群等概念及其性质；掌握同态和同构的概念及其应用，特别是同态基本定理的应用；掌握循环群和置换群的概念和性质,了解循环群和置换群在编码与密码学等领域中的应用。127CONTENTS目录群映射与关系1群的概念与性质2陪集与商集3同态和同构4循环群5置换群6128第1节映射与关系映射与关系129

映射与关系130

映射与关系131

映射与关系132

映射与关系133

映射与关系134

映射与关系135

映射与关系136

映射与关系137

映射与关系138

映射与关系139

映射与关系140

映射与关系141第2节群的概念与性质群的概念与性质142

群的概念与性质143

群的概念与性质144群的概念与性质

145群的概念与性质

146

群的概念与性质147群的概念与性质

148

群的概念与性质149群的概念与性质

150

群的概念与性质151

群的概念与性质152群的概念与性质

153

群的概念与性质154群的概念与性质

155群的概念与性质

156第3节陪集与商群陪集与商群157

陪集与商群158

陪集与商群159

陪集与商群160

陪集与商群161

陪集与商群162

陪集与商群163

陪集与商群164

陪集与商群165

陪集与商群166

陪集与商群167第4节同态和同构同态和同构168

同态和同构169

同态和同构170

同态和同构171

同态和同构172

同态和同构173

同态和同构174第5节循环群循环群175

循环群176

循环群177

循环群178

循环群179

循环群180

循环群181

循环群182

循环群183

循环群184

循环群185第5节置换群置换群186

置换群187

置换群188

置换群189

置换群190

置换群191

置换群192

置换群193

置换群194群本章小结

群、环和域等代数理论是近世代数的基础,对当今数学乃至其它学科有非常重要影响,也推动了数论、几何学的发展.近世代数学发源于19世纪上半叶的方程理论,主要研究某一方程（组）是否可解,如何求出方程所有的根,以及方程的根有何性质等问题.法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（ÉvaristeGalois）在1832年运用群的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.与此同时,当代的编码与密码学等信息科学理论的建立与发展也以其（特别是有限域）为基础.

本章主要介绍了群的相关内容、子群的概念、陪集与商群的若干性质,以及重要的同态、同构概念以及同态基本定理,最后还介绍两类重要的群——循环群和置换群.195第6章环与域《信息安全数学基础（第2版）》主要内容本章将主要介绍环与域的基本定义和性质，然后讨论理想以及相应的商环，几种特殊类型的环，最后通过素理想和极大理想的概念，给出一种由已知的环构造域的方法。学习要求

学习本章之后，应该能够：掌握环和域的概念和性质；掌握子环、理想、商环、环同态与同构的概念和性质；理解唯一析因环、欧几里得环和主理想整环的概念和性质；掌握多项式环的概念和性质及其应用；理解素理想和极大理想的概念和性质，掌握两种理想在整环和域的构造中的应用。环与域环与域环交换环整环域环、交换环、整环与域之间的包含关系图CONTENTS目录环与域环与域的概念和性质1子环、理想和商环

2三类重要的环3多项式环4素理想和极大理想5环与域的概念和性质第1节环与域的概念和性质主要内容本节将主要介绍环与域的基本定义，并探究一些特殊类型的环和域的性质，例如交换环、高斯整数环和分式域等。此外，本节还将给出环同态与环同构的定义，并说明同态思想在公钥密码学中的实际应用。环与域的概念和性质环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

子环、理想和商环第2节子环、理想和商环主要内容本节将主要介绍子环和理想的基本定义，并承接子群与商群的概念，进一步介绍由环的理想生成的商环。子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环三类重要的环第3节三类重要的环主要内容本节将主要讨论三类重要的环——唯一析因环、主理想整环与欧几里得环，并对它们所具有的特殊性质进行详细地介绍。三类重要的环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

主理想整环

主理想整环

主理想整环

欧几里得环定理6.3.9欧几里得环是主理想整环.

推论6.3.2欧几里得环是唯一析因环.欧几里得环多项式环第4节多项式环主要内容本节将讨论多项式环，包括交换幺环上的多项式环与域上的一元多项式环，并给出有限域的构造方式。多项式环

交换幺环上的多项式环

交换幺环上的多项式环

交换幺环上的多项式环

交换幺环上的多项式环

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式素理想和极大理想第5节素理想和极大理想主要内容本节将主要讨论环的两类重要的理想——素理想与极大理想，并通过这两类理想的概念定义，给出一种由已知的环构造域的方法。素理想和极大理想素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想环与域本章小结

环与域是在群的基础上,引入第二种运算后产生的代数结构。较为常见的环有整数环、多项式环等。

本章首先介绍了环与域的基本定义和性质，然后讨论了理想以及相应的商环，几种特殊类型的环，

最后通过素理想和极大理想的概念，给出一种由已知的环构造域的方法。第7章有限域《信息安全数学基础（第2版）》有限域主要内容本章主要介绍了有限域的相关概念和性质。首先从域的扩张出发，给出有限域的一些重要性质，然后介绍有限域中的基，最后探讨有限域中多项式的相关问题。学习要求：掌握域扩张的概念与性质；掌握有限域的概念与性质及其应用；理解基的概念及其应用；理解有限域上的多项式分解的方法和理论,了解不可约多项式的概念和构造方法.268CONTENTS目录有限域域的扩张1有限域及其性质2基3有限域上的多项式4域的扩张第1节域的扩张主要内容本节将主要介绍域的扩张的相关概念与性质，为后续理解有限域的代数结构奠定基础。271域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张

域的扩张有限域及其性质第2节有限域及其性质主要内容本节将简要介绍有限域的结构及其若干代数性质。282有限域及其性质

2.1有限域及其子域

2.2有限域的群结构

2.2有限域的群结构

2.2有限域的群结构

2.2有限域的群结构（1）有限域中的非零元素表示为该有限域一个本原元的方幂（2）利用向量来表示有限域中的元素（3）利用矩阵表示有限域中的元素2.3有限域中元素的表示基第3节基主要内容本节将主要介绍有关基的内容。为了便于理解，本节将从迹和范数的基础概念入手，进一步详细地介绍基的定义和性质。290基

3.1迹和范数

3.1迹和范数

3.1迹和范数

3.2多项式基和对偶基

3.2多项式基和对偶基

3.3正规基*有限域上的多项式第4节有限域上的多项式主要内容本节将介绍有限域上的多项式的相关问题，其中包括有限域上的多项式分解和不可约多项式。298有限域上的多项式

有限域上的多项式

有限域上的多项式

4.1有限域上的多项式分解

4.1有限域上的多项式分解

4.1有限域上的多项式分解

4.2有限域上的不可约多项式

4.2有限域上的不可约多项式

4.2有限域上的不可约多项式小结本章小结有限域在通信、密码学和编码理论中有着广泛的应用。本章对有限域的相关概念和性质进行了详细介绍。从域的扩张出发，给出了有限域的一些重要性质，并介绍了有限域中的基，以及探讨了有限域中多项式的相关问题。307第8章椭圆曲线《信息安全数学基础（第2版）》椭圆曲线

CONTENTS目录椭圆曲线仿射平面和射影平面1Weierstrass方程与椭圆曲线2椭圆曲线上的群结构3有限域上的椭圆曲线4仿射平面和射影平面第1节仿射平面和射影平面主要内容本节主要介绍射影平面的概念及其性质，从而为后续椭圆曲线概念中涉及的无穷远点奠定基础。仿射平面和射影平面

仿射平面和射影平面

仿射平面和射影平面Weierstrass方程与椭圆曲线第2节Weierstrass方程与椭圆曲线主要内容本节主要讨论Weierstrass方程的性质。椭圆曲线就是由该方程确定的。316Weierstrass方程与椭圆曲线

Weierstrass方程与椭圆曲线

Weierstrass方程与椭圆曲线

Weierstrass方程与椭圆曲线

Weierstrass方程与椭圆曲线

Weierstrass方程与椭圆曲线椭圆曲线上的群结构第3节椭圆曲线上的群结构主要内容本节将主要介绍椭圆曲线与群结构的关联，通过巧妙地定义椭圆曲线上的点对运算构成Abel群。323椭圆曲线上的群结构

椭圆曲线上的群结构

椭圆曲线上的群结构

椭圆曲线上的群结构

椭圆曲线上的群结构有限域上的椭圆曲第4节有限域上的椭圆曲线

329有限域上的椭圆曲

有限域上的椭圆曲线

有限域上的椭圆曲线

有限域上的椭圆曲线小结本章小结椭圆曲线是算术代数几何中一类极为重要的曲线。有限域上椭圆曲线的离散对数计算等问题，构成了公钥密码学的一类主要问题，在信息科学中得到广泛地应用。本章对椭圆曲线进行了详细的介绍，包括仿射空间和射影空间、椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线等。333第9章密码学中的数学问题《信息安全数学