信息安全数学基础 第2版 课件 第5、6章 群、环与域

第5章群《信息安全数学基础（第2版）》1

群主要内容本章主要介绍群的相关内容、子群的概念、陪集与商群的若干性质，继而介绍重要的同态、同构概念以及同态基本定理,最后介绍两类重要的群——循环群和置换群。学习要求：掌握群的概念和性质；掌握陪集、商群等概念及其性质；掌握同态和同构的概念及其应用，特别是同态基本定理的应用；掌握循环群和置换群的概念和性质,了解循环群和置换群在编码与密码学等领域中的应用。2CONTENTS目录群映射与关系1群的概念与性质2陪集与商集3同态和同构4循环群5置换群63第1节映射与关系映射与关系4

映射与关系5

映射与关系6

映射与关系7

映射与关系8

映射与关系9

映射与关系10

映射与关系11

映射与关系12

映射与关系13

映射与关系14

映射与关系15

映射与关系16第2节群的概念与性质群的概念与性质17

群的概念与性质18

群的概念与性质19群的概念与性质

20群的概念与性质

21

群的概念与性质22群的概念与性质

23

群的概念与性质24群的概念与性质

25

群的概念与性质26

群的概念与性质27群的概念与性质

28

群的概念与性质29群的概念与性质

30群的概念与性质

31第3节陪集与商群陪集与商群32

陪集与商群33

陪集与商群34

陪集与商群35

陪集与商群36

陪集与商群37

陪集与商群38

陪集与商群39

陪集与商群40

陪集与商群41

陪集与商群42第4节同态和同构同态和同构43

同态和同构44

同态和同构45

同态和同构46

同态和同构47

同态和同构48

同态和同构49第5节循环群循环群50

循环群51

循环群52

循环群53

循环群54

循环群55

循环群56

循环群57

循环群58

循环群59

循环群60第5节置换群置换群61

置换群62

置换群63

置换群64

置换群65

置换群66

置换群67

置换群68

置换群69群本章小结

群、环和域等代数理论是近世代数的基础,对当今数学乃至其它学科有非常重要影响,也推动了数论、几何学的发展.近世代数学发源于19世纪上半叶的方程理论,主要研究某一方程（组）是否可解,如何求出方程所有的根,以及方程的根有何性质等问题.法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（ÉvaristeGalois）在1832年运用群的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.与此同时,当代的编码与密码学等信息科学理论的建立与发展也以其（特别是有限域）为基础.

本章主要介绍了群的相关内容、子群的概念、陪集与商群的若干性质,以及重要的同态、同构概念以及同态基本定理,最后还介绍两类重要的群——循环群和置换群.70第6章环与域《信息安全数学基础（第2版）》主要内容本章将主要介绍环与域的基本定义和性质，然后讨论理想以及相应的商环，几种特殊类型的环，最后通过素理想和极大理想的概念，给出一种由已知的环构造域的方法。学习要求

学习本章之后，应该能够：掌握环和域的概念和性质；掌握子环、理想、商环、环同态与同构的概念和性质；理解唯一析因环、欧几里得环和主理想整环的概念和性质；掌握多项式环的概念和性质及其应用；理解素理想和极大理想的概念和性质，掌握两种理想在整环和域的构造中的应用。环与域环与域环交换环整环域环、交换环、整环与域之间的包含关系图CONTENTS目录环与域环与域的概念和性质1子环、理想和商环

2三类重要的环3多项式环4素理想和极大理想5环与域的概念和性质第1节环与域的概念和性质主要内容本节将主要介绍环与域的基本定义，并探究一些特殊类型的环和域的性质，例如交换环、高斯整数环和分式域等。此外，本节还将给出环同态与环同构的定义，并说明同态思想在公钥密码学中的实际应用。环与域的概念和性质环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

环与域的概念和性质

子环、理想和商环第2节子环、理想和商环主要内容本节将主要介绍子环和理想的基本定义，并承接子群与商群的概念，进一步介绍由环的理想生成的商环。子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环

子环、理想和商环三类重要的环第3节三类重要的环主要内容本节将主要讨论三类重要的环——唯一析因环、主理想整环与欧几里得环，并对它们所具有的特殊性质进行详细地介绍。三类重要的环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

唯一析因环

主理想整环

主理想整环

主理想整环

欧几里得环定理6.3.9欧几里得环是主理想整环.

推论6.3.2欧几里得环是唯一析因环.欧几里得环多项式环第4节多项式环主要内容本节将讨论多项式环，包括交换幺环上的多项式环与域上的一元多项式环，并给出有限域的构造方式。多项式环

交换幺环上的多项式环

交换幺环上的多项式环

交换幺环上的多项式环

交换幺环上的多项式环

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式

域上的多项式素理想和极大理想第5节素理想和极大理想主要内容本节将主要讨论环的两类重要的理想——素理想与极大理想，并通过这两类理想的概念定义，给出一种由已知的环构造域的方法。素理想和极大理想素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想

素理想和极大理想环与域本章小