高三上学期第一次联合考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高三上学期第一次联合考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．已知（其中i为虚数单位），若是的共轭复数，则（

）A． B．1 C． D．i3．在的展开式中，含的项的系数是（

）A．5 B．6 C．7 D．114．若函数的图象关于原点对称，则（

）A． B． C． D．5．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．6．已知f(x)为偶函数，且在上为增函数，，满足不等式的x取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知tana=2，则=（

）A．2 B． C．-2 D．8．已知等比数列的前项和为，，，则（

）A．29 B．31 C．33 D．36二、多选题9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（

）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的体积为 B．正四棱锥的侧面积为16C．外接球的表面积为 D．外接球的体积为11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）A．若轴，则 B．若，则的面积为C．长度的最小值为 D．若，则12．设函数，则下列说法正确的是（

）A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点三、填空题13．若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为．14．某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为．15．已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则．16．在棱长为的正方体中，是底面内动点，且平面，当最大时，三棱锥的体积为．四、解答题17．在中，已知角，，的对边分别为，，，且(1)求角的大小(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．五、问答题18．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过x的最大整数，如，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项的和.六、证明题19．已知在多面体中，，，，，且平面平面.

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．七、解答题20．为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后会有的可能性种植的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.(1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；(2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明不等式恒成立.22．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.(1)求双曲线的方程；(2)若的外心为，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为，则，因为，则，所以.故选：A2．D【分析】根据复数的除法运算可求得，再根据共轭复数的定义即可求得，进而求解即可．【详解】由，则，则，所以．故选：D．3．C【分析】先求解和中含的项的系数，然后求和可得答案.【详解】因为中只有和中含的项，的含的项为，的含的项为，所以的展开式中含的项的系数是.故选：C.4．C【分析】根据题意知函数为奇函数，化简可得，据此可求出值.【详解】因为函数的图象关于原点对称，即，所以可得，即，，即，，.故选：C5．C【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．故选：C6．C【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为，即可得到结论.【详解】解：由题意：f(x)为偶函数，且在上为增函数，，可得f(x)在上为减函数，且，等价于，即，则，解得：或，故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.7．B【解析】利用二倍角公式，转化为，再利用商数关系求解.【详解】因为tana=2，所以，，，故选：B8．B【分析】根据，可求出首项，公比，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列是等比数列，，所以，即，则.又因为，故有.所以，则，所有，所有，故B项正确.故选：B.9．CD【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】A：且，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；C：，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；故选：CD10．ACD【分析】根据锥体的体积公式计算可判断选项A；先利用勾股定理计算出侧面的高，再根据侧面积公式计算可判断选项B；先计算出外接球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式计算即可判断选项C、D.【详解】如图所示：对于选项A：因为该棱锥的高，底面边长为2，所以正四棱锥的体积为，故选项A正确；对于选项B：因为侧面三角形的高为，所以正四棱锥的侧面积为，故选项B错误；对于选项C：设外接球的球心为，半径为，则，.因为，所以在中，有，解得.所以该球的表面积为，故选项C正确；对于选项D：因为球半径，所以体积为，故选项D正确.故选：ACD.11．ABD【分析】由抛物线的焦半径公式可求得A正确；由抛物线焦半径公式可求得，根据可知B正确；通过反例可知C错误；设，，利用可求得，进而得到，结合两点间距离公式可得，利用基本不等式可求得D正确.【详解】对于A，由抛物线方程知：，则，，A正确；对于B，，，，解得：，，B正确；对于C，当，时，，最小值不是，C错误；对于D，设，，由知：，即，解得：（舍）或，，，（当且仅当时取等号），，D正确.故选：ABD.12．BC【分析】根据，求得的符号，即可判断B；利用导数求出函数的单调区间，即可判断C；再结合零点的存在性定理即可判断A；再根据极值点的定义即可判断D.【详解】函数的定义域为，，令，则，所以函数在上递减，又，所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，当时，，即，函数递增，故C正确；当时，，即，函数递减，所以为函数的极大值点，无极小值点，即有且仅有一个极值点，故D错误；所以，又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；当时，，所以，即当时，的图象位于轴下方，故B正确.故选：BC.13．【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.【详解】因为，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故答案为：.14．0.4/【分析】易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案【详解】由题意知，，∴∴正态分布曲线的对称轴为直线，因为，∴，故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4，故答案为：0.415．2【分析】根据圆的方程得出圆心和半径，由圆的性质，得到四边形的面积，再确定的面积的最小值,得出当取最小值时，最小；根据点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果.【详解】圆的圆心为，半径为，

由圆的性质可知，四边形的面积，又四边形的最小面积是2，则的最小值为，则，因为，所以当取最小值时，最小；又点是直线上的动点，当垂直于直线时，最小，即为圆心到直线的距离；所以，解得，因为，所以．故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于常考题型.16．【分析】根据面面平行的判定可证得平面平面，由此可得点轨迹为线段；根据，可知当时，最大；利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】，平面，平面，平面，同理可得：平面，又，平面，平面平面，平面平面，点轨迹为线段，平面，平面，，，则当最小时，最大；四边形为正方形，当，即为中点时，最小；当为中点时，最大，平面，平面，

，，平面，平面，，，.故答案为：.17．(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，（2）利用余弦定理结合已知条件求出，然后利用面积公式可求出三角形的面积.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得因为，所以所以，所以，因为，所以或．（2）因为三角形为锐角三角形，所以，由余弦定理得，，因为，，所以，所以，，所以三角形的面积为．18．（1）；（2）3842.【分析】（1）由已知得，即，再利用可得答案；（2）分、、、、时得的值可得答案.【详解】（1）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得，当时，，当时，，又也适合上式，所以.（2），当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故数列的前2020项和为.【点睛】本题考查了数列求通项公式、新定义性质的运用，解题的关键点是利用求得通项公式，考查了学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由四边形为平行四边形.∴，再结合平面，即可证明平面；（2）由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.∵，分别为，的中点，∴，且.又，，∴，且.∴四边形为平行四边形.∴，∴平面.（2）∵平面，平面，所以，又因为，所以三者两两互相垂直，∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.∵平面，∴直线与平面所成的角为.∴.∴.可取平面的法向量，设平面的法向量，，，则，取，则，.∴，∴，∴二面角的余弦值为.

20．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3，由全概率公式可得，代入即可得出答案.（2）求出的可能取值及每个变量对应的概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出的期望.【详解】（1）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3.在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为：；（2）由已知条件，在第1次种植的前提下：，，，，，，因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，-，，所以的分布列为：12.21．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证.【详解】（1），当时，，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，，单调递增，当，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）设函数，则，可知在上单调递增.又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，结合，知，所以，则，即不等式恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明的最小值大于0.22．(1)；(2).【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；(2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.【详解】（1）设双曲线的半焦距为，因为双曲线的右焦