2019年广东省中考数学模拟试卷（解析版）

2019年广东省中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数 B．正数的倒数比自身小 C．任何有理数都有倒数 D．﹣1的倒数是﹣12．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A． B． C． D．4．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21 B．22 C．23 5．在直角坐标系中，点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）6．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（）A．75° B．50° C．35° D．30°7．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2a）28．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣9．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC＝50°，则∠CDB等于（）A．25° B．30° C．40° D．50°10．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．分解因式：4m2﹣16n2＝12．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°．则∠CAB＝．13．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是．14．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．15．若方程组（m为常数）的解满足5x+3＝﹣y，则m＝．16．如图，在正n边形A1A2A3…An中（n≥5），连接A1A3A1An﹣1，则∠A3A1An﹣三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）17．计算：|2﹣|+2sin45°﹣（）0．18．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．求的值．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）20．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？21．为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：成绩（分）363738394041424344454647484950人数123367581591112864成绩分组频数频率35≤x＜3830.0338≤x＜41a0.1241≤x＜44200.2044≤x＜47350.3547≤x≤5030b请根据所提供的信息解答下列问题：（1）样本的中位数是分；（2）频率统计表中a＝，b＝；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？22．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；（2）∠EFG＝∠EGF．五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）23．如图，抛物线与x轴的交点分别为A、B，与y轴的负半轴交于点C．已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），点B的坐标（3，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）在该函数图象上能否找到一点P，使PO＝PC？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC＝CE；（2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若＝，求BC的长；②当为何值时，AB•AC的值最大？25．如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE＝2，AB＝1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．解答问题：（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为；②在平移过程中，的值为（用含k的代数式表示）；（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算的值（用含k的代数式表示）．

2019年广东省中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数 B．正数的倒数比自身小 C．任何有理数都有倒数 D．﹣1的倒数是﹣1【分析】根据倒数的定义可知．【解答】解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误；B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误；C、0没有倒数，选项错误；D、﹣1的倒数是﹣1，正确．故选：D．【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质．乘积是1的两个数互为倒数，除0以外的任何数都有倒数，倒数等于它本身的数是±1．2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A． B． C． D．【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．【解答】解：A、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；B、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图相同，故此选项符合题意；C、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；D、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和俯视图的画法．4．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21 B．22 C．23 【分析】根据5个相异自然数的平均数为12，得到5个自然数的和，又因为中位数为17，求数据中的最大数，所以可得出这组数据，即可求得这5个自然数中最大一个的值．【解答】解：∵5个相异自然数的平均数为12∴5个相异自然数的和为60；∵中位数为17，∴这5个数中有2个数比17小，有两个数比17大；又∵求这5个数中的最大一个的可能值的最大值，∴设这5个数中两个最小的数为0和1，而比17大的最小的自然数是18，∴剩下的第5个数是：60﹣0﹣1﹣17﹣18＝24，即第5个数是24，∴这5个数为0，1，17，18，24．∴这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是24；故选：D．【点评】考查中位数和平均数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．在直角坐标系中，点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，﹣2）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于x轴对称的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．6．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（）A．75° B．50° C．35° D．30°【分析】根据平行线的性质得出∠DEC＝140°，进而利用三角形内角和解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠ACF＝140°，∴∠AED＝180°﹣140°＝40°，∵∠ADE＝105°，∴∠A＝180°﹣105°﹣40°＝35°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC＝140°．7．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2a）2【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、3a2﹣a2＝2aC、a6÷a2＝a4，故此选项错误；D、（﹣2a）2＝4a故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠解得a＞﹣1且a≠0，故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．9．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC＝50°，则∠CDB等于（）A．25° B．30° C．40° D．50°【分析】连接OB，根据垂径定理即可推出∠BOC＝∠AOC＝50°，然后根据圆周角定理即可推出∠CDB的度数．【解答】解：连接OB，∵⊙O的半径OC垂直于弦AB，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝∠AOC＝50°，∴∠CDB＝∠BOC＝25°．故选A．【点评】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的做出辅助线，求出∠BOC＝∠AOC＝50°．10．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A＝α，点M运动的速度为a，则AM＝at，当点N在AD上时，MN＝tanα×AM＝tanα•at，此时S＝×at×tanα•at＝tanα×a2t2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，此时S＝×at×MN＝a×MN×t，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．分解因式：4m2﹣16n2＝4（m+2n）（m﹣2n【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°．则∠CAB＝20°．【分析】连接AD．根据直径的性质求出∠DAB，再证明∠CAD＝∠DAB即可解决问题；【解答】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝80°，∴∠DAB＝10°，∵D是中点，∴＝，∴∠CAD＝∠DAB＝10°，∴∠CAB＝20°，故答案为20°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是10．【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得，＝144°，解得n＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．14．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有2个．【分析】根据若从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，列出关于n的方程，解方程即可．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，∴＝，解得：n＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．15．若方程组（m为常数）的解满足5x+3＝﹣y，则m＝5．【分析】方程组两方程相加表示出5x+y，结合已知方程得出关于m的方程，计算即可求出m的值．【解答】解：将方程组两个方程相加可得10x+2y＝﹣1﹣m，两边都除以2，得：5x+y＝，∵5x+3＝﹣y，∴5x+y＝﹣3，∴＝﹣3，解得：m＝5，故答案为：5．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出2（5x+y）＝2×是解题关键．16．如图，在正n边形A1A2A3…An中（n≥5），连接A1A3A1An﹣1，则∠A3A1An﹣1＝【分析】根据多边形的内角解答即可．【解答】解：正n边形中∠A3A1An﹣1＝．故答案为：．【点评】此题考查多边形问题，熟练掌握多边形的性质是解题关键．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）17．计算：|2﹣|+2sin45°﹣（）0．【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，非零数的零指数幂计算即可；【解答】解：原式＝2﹣+2×﹣1＝1﹣+＝1．【点评】本题考查绝对值的性质，特殊角的三角函数值，非零数的零指数幂等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．求的值．【分析】先将已知条件化简，可得：（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0．因为x，y，z均为实数，所以x＝y＝z．将所求代数式中所有y和z都换成x，计算即可．【解答】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2＝0，∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）＝0，∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝0，∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0．∵x，y，z均为实数，∴x＝y＝z．∴＝＝1．【点评】本题中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，要仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质可知：AD＝CD，求出AB、BC即可解决问题；【解答】解：（1）点D如图所示；（2）∵DE垂直平分线线段AC，∴AD＝DC，∴△CDB的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB，∵AB+AC+BC＝21，BC＝5，∴AB＝AC＝8，∴△CDB的周长为13．【点评】本题考查基本作图、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）20．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：成绩（分）363738394041424344454647484950人数123367581591112864成绩分组频数频率35≤x＜3830.0338≤x＜41a0.1241≤x＜44200.2044≤x＜47350.3547≤x≤5030b请根据所提供的信息解答下列问题：（1）样本的中位数是44.5分；（2）频率统计表中a＝12，b＝0.30；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？【分析】（1）根据题意可知中位数是第50个数和51个数的平均数，本题得以解决；（2）根据表格和随机抽取了100名学生的成绩，可以求得a、b的值，本题得以解决；（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；（4）根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数．【解答】解：（1）∵随机抽取了100名学生的成绩，由表格可得，1+2+3+3+6+7+5+8+15＝50，50+9+59，∴中位数为：＝44.5，故答案为：44.5；（2）由表格可得，a＝100×0.12＝12，b＝30÷100＝0.30，故答案为：12，0.30；（3）补全的频数分布直方图如右图所示，（4）由题意可得，1200×（0.20+0.35+0.30）＝1020（人），即该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人．【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；（2）∠EFG＝∠EGF．【分析】（1）先由四边形ABCD是矩形，得出AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°．由EA＝ED，得出∠EAD＝∠EDA，根据等式的性质得到∠EAB＝∠EDC．然后利用SAS即可证明△EAB≌△EDC；（2）由△EAB≌△EDC，得出∠AEF＝∠DEG，根据三角形外角的性质得出∠EFG＝∠EAF+∠AEF，∠EGF＝∠EDG+∠DEG，即可证明∠EFG＝∠EGF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°．∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EAB＝∠EDC．在△EAB与△EDC中，，∴△EAB≌△EDC（SAS）；（2）∵△EAB≌△EDC，∴∠AEF＝∠DEG，∵∠EFG＝∠EAF+∠AEF，∠EGF＝∠EDG+∠DEG，∴∠EFG＝∠EGF．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及等式的性质，证明出△EAB≌△EDC是解题的关键．五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）23．如图，抛物线与x轴的交点分别为A、B，与y轴的负半轴交于点C．已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），点B的坐标（3，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）在该函数图象上能否找到一点P，使PO＝PC？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）可设出抛物线的顶点式，再利用B点坐标可求得抛物线解析式；（2）由PO＝PC可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式则可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线过点B（3，0），∴0＝a（3﹣1）2﹣4，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，∵PO＝PC，∴点P在线段OC的垂直平分线上，在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0可得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴P点纵坐标为﹣，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝﹣可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解得x＝1±，∴P点坐标为（1+，﹣）或（1﹣，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用顶点式求得抛物线解析式是解题的关键．24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC＝CE；（2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若＝，求BC的长；②当为何值时，AB•AC的值最大？【分析】（1）由菱形知∠D＝∠BEC，由∠A+∠D＝∠BEC+∠AEC＝180°可得∠A＝∠AEC，据此得证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF＝CG＝AC＝CE＝CD，证△BEF∽△BGA得＝，即BF•BG＝BE•AB，将BF＝BC﹣CF＝BC﹣AC、BG＝BC+CG＝BC+AC代入可得；（3）①设AB＝5k、AC＝3k，由BC2﹣AC2＝AB•AC知BC＝2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC＝AC＝3k、MC＝BC＝k求得DM＝＝k，可知OM＝OD﹣DM＝3﹣k，在Rt△COM中，由OM2+MC2＝OC2可得答案．②设OM＝d，则MD＝3﹣d，MC2＝OC2﹣OM2＝9﹣d2，继而知BC2＝（2MC）2＝36﹣4d2、AC2＝DC2＝DM2+CM2＝（3﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC＝BC2﹣AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D＝∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D＝180°，又∠BEC+∠AEC＝180°，∴∠A＝∠AEC，∴AC＝AE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF＝CG，由（1）知AC＝CE＝CD，∴CF＝CG＝AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF＝180°，又∵∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠G＝∠BEF，∵∠EBF＝∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴＝，即BF•BG＝BE•AB，∵BF＝BC﹣CF＝BC﹣AC、BG＝BC+CG＝BC+AC，BE＝CE＝AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）＝AB•AC，即BC2﹣AC2＝AB•AC；（3）设AB＝5k、AC＝3k，∵BC2﹣AC2＝AB•AC，∴BC＝2k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC＝AC＝3k，MC＝BC＝k，∴DM＝＝k，∴OM＝OD﹣DM＝3﹣k，在Rt△COM中，由OM2+MC2＝OC2得（3﹣k）2+（k）2＝32，解得：k＝或k＝0（舍），∴BC＝2k＝4；②设OM＝d，则MD＝3﹣d，MC2＝OC2﹣OM2＝9﹣d2，∴BC2