2023-2024年江苏省数学竞赛初赛试题(原题 详解)

2023年全国中学数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题(每小题7分，共70分)

1.已知sinacos£=1,贝!Jcos(a+Q)=.

2.已知等差数列｛%｝的前11项的和为55,去掉一项像后，余下10项的算术平均值为4.若0=-5,则上=_.

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e=

3*+11

4.已知江7=丁齐，则实数.

5.如图，在四面体ABC。中，P、。分别为棱8c与8上的点，且8P=2PC,CQ

=2QD.R为棱AO的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为.

6.设.x)=log3X—#4一x,则满意/(x)20的龙的取值范围是.

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为

3000cm3的长方体，长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高

分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存

水cm3.

8.设点。是△ABC的外心，AB=13,AC=12,则就•笳=.

9.设数列｛”“｝满意：an+\an=2an+1-2(n=1,2,­••),(12023=小，则此数列的前

2023项的和为

10.设a是整数，0Wb<l.若次=2仇a+b),则6=.

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11.在直角坐标系xOy中，直线x—2y+4=0与椭圆，+：=1交于4,8两点，尸是椭圆的左焦点.求以O,

F,A,B为顶点的四边形的面积.

12.如图，设。、E是△48C的边上的两点，已知NACC=NBCE,AC

=14,AD=1,48=28,CE=\2.求BC.

13.若不等式山+石£续不对于随意正实数x,y成立，求k的取值范围.

14.(1)写出三个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘枳与10的和都是完全平方数，请予以验证:

⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结

论.

2023年全国中学数学联赛江苏赛区初赛

(2023年5月3日8：00-10：00)

一、填空题(每小题7分，共70分)

1.已知sinacos^?=1,则cos(a+P)=.填().

解：由于|sina|WL|cos£|WL现sinacos6=1,故sin(z=Lcos戒=1或sina=­1,cos/ff=—1,

a=2k7t+^fi=2ln或a=2kn—与£=2反+兀a+4=2(2+/)乃+5&，/£Z).

cos(a+夕)=0.

2.已知等差数列｛斯｝的前11项的和为55,去掉一项四后，余下10项的算术平均值为4.若的=-5,则

k=.填11.

解：设公差为d,则得

55=-5XH+|x11X10J55d=110d=2.

四=55—4*10=15=一5+2d-1)Jt=ll.

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e=.填—产

—1~|~\/5

解：由(26)2=2CX2〃/—/=讹/+e—1=0e----?丫.

3X+11

4.已知丁，，则实数元=.填1.

歹—13-3----------------

134

解：即TT~7==32、_4X3、+3=03、=1(舍去)，3，=3x=l.

3—13(3—।1、)

5.如图，在四面体48C。中，尸、。分别为棱8c与CO上的点，且8P=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的

中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为.填;.

解：A、8到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR

为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.

VAPQR-^VAPQD=^^VAPCD-2X^XIVABCD--^VABCDI

124

-

R『--

股

-狈3

39SBCD，

4|44

---

VSB929

18CD

：.A、B到平面PQR的距离的比=1：4.

又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：

在面8c。内，延长P。、8。交于点M,则例为面PQR与棱8D的交点.

由Menelaus理知，丽,企,丽而虎=》~PB~2'故而=今

在面A3。内，作射线例/?交A3于点M则N为面尸QR与A8的交点.

8C

P

.当何人BMDRAN_,…BM_DR_生AN_1

m4,t},

由Menelaus/t理知'MDRAN[i-^MD~RA~故'NBF

：.A、8到平面P0?的距离的比=1：4.

6.设y（x）=10gM—产*,则满意火x）20的x的取值范围是.填[3,4].

解：定义域（0,4],在定义域内及v）单调增，且火3）=0.故y（x）20的x

的取值范围为[3,4|.

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、

体积为3000cm3的长方体，长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的

长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水，则净水水

箱中最少可以存水cm3.填78000.

解：设净水器的长、高分别为x,ycm,则

个=300,

V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+2()y+xy)

>30(1200+2^60xX20^+300)=30(1500+1200)

=30X2700.

至少可以存水78000cm3.

25

8.设点。是△ABC的外心，AB=13,AC=12,JJ'ijBC-AO=填一爹.

解：设|AO|=|BO|=|OC|=R.则

~BC-AO=(BO+OC)-AO^HO-AO+OC•布=/?2cos(万一20+R2cos28

=7?2(2sin2C_2sin2B)=^(2/?sinB)2—^(2/?sinC)2=5(122—132)=-^7.

9.设数列｛斯｝满意：斯+i斯=2a〃+i—2（”=1,2,…），“2023=也，则此数列的前

2023项的和为.填2023+小.

22

解：若01+1WO,则。〃=2—一■,故〃2023=2—北，02023=2-0_爽=-虫,3)23=2+啦，〃2023=也.

一般的，若a〃W0,1»2,则a〃=2一,则a〃-1=r,-2=^，a”3=a〃+i，故%-4=a〃.

如+i如+1-12—

2023

于是，£[〃=502(0+(72+^3+^4)+^2023=502(^2023+<22023+^2023+<22023)+^2023=2023+\2.

*=1

10.设a是整数，0Wb<l.若々2=263+6),则8=.填0,亚F，y/3-l.

解：若。为负整数，则/>o,2b(a+b)<0f不行能，故“20.

于是/=2"a+b)V2(a+l)a2-2a-2<00W.V1+/a=0,1,2.

〃=0时，6=0；

—1

a=l时，26+26—1=0b=^—；

”=2时，b2+2h~2=0h=y[3~\.

说明：本题也可以这样说：求实数x,使印2=2{X}X.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11.在直角坐标系xOy中，直线》-2>+4=0与椭圆5+^=1交于A,8两点，F是椭圆的左焦点.求以

O,F,A,B为顶点的四边形的面积.

解：取方程组代入得，25^—64y+28=0.『

此方程的解为y=2,丫=余

即得8（0,2）,A（一养3，又左焦点长（一小，0）.1X

连04把四边形AFOB分成两个三角形.

得，5=：*2义会+—小义圣=472+7小）.

也可以这样计算面积：

直线与工轴交于点c（—4,0）.所求面积=3><4X2—^X（4一小）乂品=&（72+7/）.

也可以这样计算面积：

1id7272l14l114414

所求面积=]（0X2—0义0+0乂不一（一芯）*2+（一后田0—（一小）*芯+（一4）*0—0><0）=2（-^~+石

小）={72+7小）..

12.如图，设。、E是△ABC的边AB上的两点，已知NAC£>=N8CE,/7

AC=14,AO=7,48=28,CE=12.求2C.-A2-~~/-----------—»

DE

AnAQ

解：k=,=>A4COsA4BCZABC^ZACD^ZBCE.

/iCAo

：.CE=BE=T2.4E=AB-8E=16.

.AC2+AE2—CE214?+162—122142+284”

cosA=2ACAE=-2-1416-=2-14-16=76'

222222BC=2\.

/.BC=AC+AB-Z4CA«COSA=14+28-2-14-28-ITo7=7-9

13.若不等式对于随意正实数x,y成立，求&的取值范围.

解法一：明显%>0.（/+妙）2（2x+y）（23—l）x—2[^+（3—l）y20对于x,y>0恒成立.

令t=y卜0,则得.々）=（23-1*-2/+（二一1）20对一切f>0恒成立.

当2F—1W0时，不等式不能恒成立，故20一1>0.

此时当仁士时,就取得最小值而匕一/+必—1=#7=条/

当2斤一1>0且2M—320,即左三当时，不等式恒成立，且当x=4y>0时等号成立.

J咐苗+8).

及n、4_n口口,e门、(G+⑴/x+2yfxy+y.[x「一)、产+2/+11,4/+1

解法二：明显女>0,故去A'笠点=—点:・令，则去N2?+]=乎1+i?¥7).

令〃=今+1>1,则「=丁.只要求s(“)=-2二;+0的最大值.

+13

Q

于是，;(14r手-

$(〃)=QW2r+2

〃+一一2

u

即乎时，不等式恒成立(当x=4y>0时等号成立).

人4/+18f2+4-4/(4/+1)-8及一4f+4..1.1

又：令5(A)=2^2_|_j>则s(。=(20+])2=―(2:十])2-，7>0时有驻H^=2«且在0<fV爹时,

413

+S--

s⑺>0,在时，s⑺V0,即s⑺在时取得最大值2,此时有(?2

解法三：由Cauchy不等式，(5+5)2<(；+l)(2x+y).

x,y成立.

当&<坐时，取x=：,y=I,有也+,=|,而,2r+y=P^〈乎即不等式不能恒成立.

而当上》坐时，由于对一切正实数x,y,都有率x/Zx+yWh/M+y，故不等式恒成立.

kW[坐,+<»).

14.⑴写出三个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结

论.

解：对于随意〃GN*,/三0,l(mod4).

设“，〃是两个不同的自然数，①若a三O(mod4)或6三O(mod4),或〃三〃三2(mod4),均有“〃三O(mod4),

此时，ah+10三2(mod4).故ah+10不是完全平方数；②若a=/>=l(mod4),或a三匕三3(mod4),则“6三l(mod

4),此时H+10三3(mod4),故帅+10不是完全平方数.

由此知，ab+W是完全平方数的必要不充分条件是。羊仇mod4)且a与b均不能被4整除.

(1)由上可知，满意要求的三个自然数是可以存在的，例如取“=2,b=3,c=13,则2X3+10=42,2x

13+10=62,3X13+10=72.

即2,3,13是满意题意的一组自然数.

⑵由上证可知不存在满意要求的四个不同自然数.

这是因为，任取4个不同自然数，若其中有“4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数,

假如这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数.

故证.

2023年全国中学数学联赛江苏赛区■初赛

一、填空题(本题满分70分，每小题7分)

1.方程9'+|1—3'|=5的实数解为.

2.函数y=kinx|+|cosx|(jceR)的单调减区间是.

3.在△ABC中，已知AB-AC=4,ABBC=-U,则„=.

4.函数f(x)=(x—2)(x+iy在区间［0,2］上的最大值是,最小值是.

5.在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点0、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，

其中A=(4,0)、3=(6,8)、C=(2,4),则R的取值范围为.

6.设函数“X)的定义域为R,若/(x+1)与/(无一1)都是关于x的奇函数，则函数

y=在区间［0,100］上至少有个零点./

7.从正方体的12条棱和12条面对角线中选出“条，使得其中随意!

两条线段所在的直线都是异面直线，则”的最大值为.上---------

(第7题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍宝，每颗珍宝镀金、银两色中的一种.其中

镀2金2银的概率是.

9.在三棱锥A—88中，已知NACB=NCBD,ZACD=ZADC=ZBCD=ZBDC=0,

且.已知棱A8的长为6百，则此棱锥的体积为.

10.设复数列｛七｝满意怎7a—1,0,且.若对随意〃eN*都有x“+3=x”，

则a的值是.

二、解答题(本题满分80分，每小题20分)

11.直角坐标系xOy中，设4、8、M是椭圆上的三点.若,

证明：A8的中点在椭圆上.

12.已知整数列｛a,,｝满意由=-1，%=4,前6项依次成等差数列，从第5项起依次

成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵求出全部的正整数s，使得am+am+t+am+2=«„,a„,+1n,

13.如图，圆内接五边形ABCDE中，是外接圆的直径，BEX.AD,垂足”.

过点”作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点尸、G.

证明：⑴点A、B、F、H共圆；

(2)四边形BFCG是矩形.

14.求全部正整数x,y,使得龙？+3y与V+3x都是完全平方数.

参考答案

1、xVO无解;当XNO时,原方程变形为3%3*—6=0,解得3'=2,x=log32.

2、与/(x)=)2=l+|sin2x|的单调减区间相同，［与+；,与+，，keZ.

3、ABAC-4880=网-=16,得网=4.

4、微小值-4,端点函数值以2）=0,犬0）=-2,最小值一4,最大值0.

5、画图视察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B.[半，10].

6、/（2hl）=0,k&Z.又可作一个函数/（X）满意问题中的条件，且“X）的

一个零点恰为X=2左一1,ZG乙所以至少有50个零点.

7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以.

8、穷举法，留意可翻转，有6种状况，2金2银有两种，概率为g.

9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为144.

10、由,

恒成立,即+。+1卜“（当+1-。）=（）.因为x,产或0,故。2+。+1=0,所以.

11、解:设A（X1，力），8（X2，N2），则号+y/=l,年+”2=].

得M电+$2，|）什多2）.

由,

因为M是桶圆C上一点，所以

4

22

A34

5+X26分

4⑷亨2J

即盘'+靖）（|）2+信+焚2）$2+2（飘）（詈+）u2）=1，

得崩+（守+2（,）电詈+%"）=1，故

竽+》丫2=0...............14分

又线段AB的中点的坐标为（3要，丐生），

（*+与2

所以一|-+2（%当2=3（牛+寸）+；（管+”2）+竽+yi>2=1，

从而线段A8的中点（若工，好型）在椭圆弓+2尸=1上.............20分

12、解：⑴设数列前6项的公差为d,则的=-1+24,“6=T+3d,d为整数.

又〃5,〃6,〃7成等比数列，所以（3d—l）2=4（2d—1）,

即9屋—14d+5=0,得d=L..............6分

当〃W6时，an=/?—4,

由此〃5=1，4/6=2,数列从第5项起构成的等比数列的公比为2,

所以，当〃25时，an=2小5.

〃一4,〃W4,

故斯=b"-5,“25...............10分

(2)由(1)知，数列｛《,｝为：一3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,•••

当机=1时等式成立，g|J-3-2-1=-6=(-3)(-2)(-1)；

当机=3时等式成立，即-1+0+1=0；

当帆=2、4时等式不成立；..............15分

3m-12ra-5!15

当N5时，ama,n+1a,n+2=2,a,n+am+i+aHl+2=2(2-1)=7X2"',

7X2"5H23'"巴

所以a,"+a,"+i+a,"+2#"，"a，"+ia，"+2"

故所求m-1,或机=3...............20分

13、证明：(1)由4G〃CE,得NBHF=NBEC,

又同弧的圆周角/BAF=NBEC,：.NBAF=NBHF,

二点A、B、F、，共圆；..............8分

(2)由(1)的结论，得NBHA=NBFA,.；BELAD,：.BFLAC,

又A。是圆的直径，...CG，AC,..............14分

由A、8、C、。共圆及A、B、F、H共圆，.,./BfG=/OAB=N8CG,

8、G、C、尸共圆.二ZBGC=NAFB=900,/.BG

±GC,/.所以四边形BECG是矩形...............20分

14、解：若工=»则f+3x是完全平方数.X2<X2+3X<JC2+4JC+4=(X+2)2,

,F+3X=(X+1)2,；.x=y=l.............5分

若x>y,则/〈*2+3卜Vf+SxVr+dx+du(x+2>./+3)，是完全平方数，

/./+3)=(x+1尸，得3y=2x+l,由此可知),是奇数，设y=24+1,则43&+I,A是正整数.

又9+3工=442+4%+1+"+3=4%2+13/+4是完全平方数，且

(2k+2>=4严+8k+4V4R+13k+4<4标+16k+16=(2k+4>,

/.y2+3x=4lc+13k+4=(2k+3)2,

得k^5,从而求得k16,y=ll...............15分

若x<y,同x>y情形可求得x=l1,y=16.

综上所述,(x,y)=(l,1),(11,16),(16,11)...............20分

2023年全国中学数学联赛江苏赛区初赛题

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求干脆将答案写在横线上）

1.复数(l+i)4+(l-i)4=

2.已知直线“一根y+l=0是圆C:d+）2-4九+4y-5=0的一条对称轴，则实数〃z=

3.某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率

是（结果用最简分数表示）.

4.已知cos4e=1，则sin"O+cos"。=.

5

5.已知向量“，满意|a|=|@=2,<a,Z>>=；,则以向量2«+，与3a-b表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为.

6.设数列｛〃“｝的前〃项和为S,.若｛a｝是首项及公比都为2的等比数列，则数列｛斯3｝的前

n项和等于.

7.设函数2卜若加）=的），且OVaVb,则必的取值范围是-

8.设/（机）为数列｛〃“｝中小于，"的项的个数，其中eN*,则/"（2011）］=.

9.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是.

10.已知“是正整数，且方程知-，局10-x-〃?+10=0有整数解,则〃，全部可能的值是

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11.已知圆V+y2=l与抛物线y=x2+%有公共点，求实数〃的取值范围.

12.设f（x）=x2+法+cS,ceR）.若因》2时，/（力20,且手。）在区间（2,3］上的最大值为

1,求从+/的最大值和最小值.

13.如图，P是.ABC内一点.

(1)若2是_45c的内心，证明：ZBPC=90+-ZBAC；

2

(2)若NBPC=90+-ABACS.ZAPC=90+-ZABC,

22

证明：P是ABC的内心.

14.已知a是实数，且存在正整数〃o,使得瓜了£为正有理数.

证明：存在无穷多个正整数人使得而9为有理数.

2023年全国中学数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求干脆将答案写在横线上）

1.复数（l+i）4+（l-i）4=.答案：一8基础题，送分题，高考难度

2.已知直线％-"2了+1=0是圆C：%2+y2-4x+4y_5=0的一条对称轴，则实数机二.答案：

基础题，送分题，高考难度

3.某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率

1O

是(结果用最简分数表示).答案：—

145

基础题，送分题，高考难度，但须要仔细审题，否则很简洁有错

14

4.已知cos48=—,则sin"e+cos".答案：一

55

计算量挺大的，要留意计算的方法，对于打酱油的同学有肯定难度

5.已知向量m6满意向=M[=2,<a,b>=],则以向量2a+6与—表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为,答案：10百

可以用特别法，把向量放在直角坐标系中，很简洁可以得出答案

6.设数列｛如｝的前〃项和为S”.若｛S“｝是首项及公比都为2的等比数列，则数歹Ha/｝的前

〃项和等于,答案：^8"+48)

高考难度级别，基础好的同学可以做出来

7.设函数/(x)=,-2[.若加)=加)，且0<a<b,则曲的取值范围是.答案：(0,2)

这是一道高考题

8.设人机)为数列｛。“｝中小于，*的项的个数，其中eN*,则/"(2011)]=.答案：6

这也是一道高考题

9.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是.答案：4小还是一道高考题

10.已知〃?是正整数，且方程2x-g/i不7-加+10=0有整数解，则机全部可能的值

是.答案：3,14,30这是2023年苏州市一模的第十四题。

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11.已知圆/+9=1与抛物线、=/+人有公共点，求实数力的取值范围.

解：设公共点(cos0,sin，)，代入抛物线方程，^/?=sin-cos20=sin20+sin-1=(sin0+—)2-—

24

因为所以简洁，很简洁

12.^f(x)=x2+bx+c(b,ceR).若国》2时，，。)20,且/。)在区间(2,3]上的最大值为

1,求的最大值和最小值.

解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f(x)在区间(2,3]上的最大值只能在闭端点取得，

故有f(2)Wf(3)=1,从而6三-5且c=-3b-8.

若f(x)=0有实根，则△=从-4°，0,

在区间[-2,2]有即消去c,解出

即/?=这时c=4,且A=0.

若/(x)=0无实根，则△=6一4。<0,将c=—3人一8代入解得一8<b<T.

综上.

所以〃+=〃+(-3b-8)2=10从+4助+64,单调递减

故（从+。2）==32,（从+C2）M=74.

留意分类探讨

13.

（2）因为是大于90°的定角，BC是定线段，

所以点P在以BC为弦的圆上，其中NBPC=90。+；/艮4（；,且劣弧前与4在

这其BC的同仰.......12分实是平面几何一个很重要的结

论，在1~<一般的平面几何的参考书上都

十同理，点P在以4c为弦的圆上，其中/"C=9（r+/4BC且劣弧APC与B在

14.4C的同傀

证明：所以P是这两个圆的公共点.......................16分设，其中p,q为互质的正整数,

则

由（1）可推知，A/BC的内心也是这两个圆的公共点.

设k为随意的正整数，构

又C是此两圆的另一个公共点，但不在A4BC内，

造n=p2k2+2qk+n„,

所以P是内心.......................20分

贝lj

2222

>jn+a=Jpk+2qk+n0+a=pk+2qk+^-=pk+—eQ.

P-P

特别非经常规的一道数论题，不须要数论的预备学问

总结：这张试卷大约90分以上应当可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平常基础好，不马虎,

填空题应当可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1,2两题还是可以

做做的。

尤其提示一点，大题目不管会不会做，肯定要写写，写写总是有分的，而且分许多。比如最终一题，只要

把他设出来，就有8分。

2023中学数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当xw[-3,3]时，函数/（尤）=|%3一3刈的最大值为.

2、在AABC中，已知AC­BC=12,AC-E4=T〃|JAC=.

3、从集合｛3,4,5,6,7,8｝中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为一.

4、已知a是实数，方程％2+(4+，)％+4+出=0的一个实根是匕(，是虚部单位)，贝U|a+初|的值为

5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:的右焦点为尸，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线/与双曲线C

交于A,B两点.若\FAB的面积为8月，则直线的斜率为.

6、已知a是正实数，左=。也”的取值范围是.

7、在四面体A3CD中，AB=AC=AO=DB=5,BC=3,CQ=4该四面体的体积为

8、已知等差数列｛”“｝和等比数列满意：q+4=3,出+4=7,/+4=15,%+2=35,则

an+bn=.(〃GN*)

9、将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使随意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有

一种.

10、三角形的周长为31,三边a,b,c均为整数，且则满意条件的三元数组(a,仇c)的个数为

二、解答题(本题80分，每题20分)

11、在AABC中，角4,3,C对应的边分别为a,ac,证明:

(1)bcosC+ccosB=a

2sin

cosA+cosB\

(2)

a+bc

ae

12、已知a,/?为实数，a〉2,函数/(%)=|In%——|+优%>0).若/(l)=e+l,/(2)=—In2+1.

x2

(1)求实数a,b；(2)求函数/(%)的单调区间;

(3)若实数c,d满意c>d,cd=l,求证：/(c)<f(d)

13、如图，半径为1的圆。上有肯定点M,A为圆。上的动点.在射线OM上有一动点8,AB^\,OB>\.

线段AB交圆。于另一点C,D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.

14、设是a,b,c,d正整数，是方程尤2一（4一°）%+〃=0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为

的直角三角形.

2023年全国中学数学联赛江苏赛区试题解析

1.解：设8。)=/-3元、€[-3,3]g'(x)=3x2-3=3(x-l)(x+l)

■g(—1)=2,g⑴=—2,g⑶=18,g(—3)=—18,依据g(x)的单调性结合肯定值的性质知/(x)=W-3x|的

最大值为18评析：本题主要考查导数与肯定值的有关学问，较基础

2.解：ACBC-ACBA=\6,ACAC=16.平。卜4

评析：本题主要考查向量的有关概念与运算，有肯定的敏捷性

3.解：考虑取出三数从小到大成数列

当d=l时，有3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8四组

当d=2时，有3,5,7；4,6,8两组，所以有6种情形，

从6个元素中随机选取3个不同的元素共有C；=20种情形，故概率为

评析：本题以集合与数列为载体，考查排列组合与概率的学问，本题数据较小，可用枚举法处理，体现文理科

学生的公允性

4.已知aeR,方程/+(4+i)x+4+ai=0的一个实数根是〃，则|a+例的值为

解：b2+(4+i)b+4+ai=0即(/+4b+4)+(b+a)i=0

b2+4b+4-0fa=2

=><\a+bi\=242评析：本题全面考查复数的概念与运算和方程等学问

a+b=0b=-2

5.解：由题可设斜率为&(%>0),

将旷=心^弋入C：x2-3y2-12=0得

(1一3公)f=12,,k2^=12

S=gx4x^一%|=4M=86.♦.yj=12

,k2=1-3k2

评析：本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等学问

检测学生数学的基本素养和运算实力

6.设为。正实数，k=^a,则上的取值范围是

解：两边取对数得lg%=(lga)220,,即&的取值范围是［1,+(»)

评析：本题考查指对数运算等学问，较为基础，考查学生的敏捷性

7.在四面体ABCD中,AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为

解：由平面儿何学问知底面三角形为直角三角形，且A点在底面上的射影

为三角形的外心所以即为BD中点，故丫=」工・3.4•迪=5石

322

评析：本题是立体几何试题，主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算

8.已知等差数列｛4｝和等比数列也“｝满意：4+4=3,a2+b2=l,G+/=15，a4+b4=35,则

a“+》=-------

解：设公差为d,公比为q,则

(4)-(3)得d+L\q3—刎2=20,(3)-(2)得d+_刎=8

如3_2b、q?+b}q=12(5)

(1)+(4)得24+3。+a2+(=38,(2)+(3)得24+34+伪陵+b闻=22

两式相减得，+々-刖2-优〃=16(6)

得4=2,d=2,4=1

l

a„-2n力“=3"T,an+bn-2n+3"~

评析：本题以等差、等比数列为载体，全面考查学生解方程组和代数推理等运算实力，本题运算要求较高

9.解：将7个数分成3类：

(1)3人的数为27,48,75,有.3个

(2)3k八的数为47,71,有2个

(3)3Z+1的数为37,55,有.2个

要使排列的一列数中随意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，第2和第6

位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第(1)类共有3种排法，三类数排到三类位置共有

种，每一类位置各有用种排法，故共有3(&)3用=144种排法。

评析：本题是一个排列组合与数论结合的问题，重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类探讨的实力，要求

较高，有较好的区分度

10、

a+b+c=31,a,b,ceZ,：.c>11

解:

又a+b>c,:.c<\5

的取值为11,12,13,14,15

当c=ll时,(a,b)的取值为(9,11)(10,10)有2组

c=12时,(a,b)的取值为(7,12)(8,11)(9,10)有3组

c=13时,(a,b)的取值为(5,13)(6,12)(7,11)(8,10)(9,9)有5组

c=14时,(a,b)的取值为(3,14)(4,13)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9)有6组

c=15时,(«,&)的取值为(1,15)(2,14)(3,13)--(8,8)有8组

故满意要求的三元(a,b,c)的个数为24

评析：本题是以三角形为背景的整数问题,考查学生分类探讨和分析问题和解决问题的实力，对学生背景公允

但又有较高的区分度，是一个相等精彩的好题

11、.在AABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:

(1)bcosC+ccosB=a；(2)

证法一：(余弦定理法)

212

小，-〃+厅Ia2+c2-tr2a2

(1)0cosC+ccosB=b----------1-c

lab2ac

+.2b2+c2―〃2

cosA+cosB=24c+2bc~

(2)a+ba+b

_ab1+ac2-a34-crb+be2-b3_lab-er-b2+c2

2abe(a+b)2abc