2023-2024学年重庆实验中学等七校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆实验中学等七校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．计算6a2×a3的结果是（）A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a52．如图所示图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，则DE的长度是（）A．1 B． C．2 D．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝92°，则∠D的度数是（）A．92° B．88° C．98° D．108°5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣16．估计的结果应该在（）A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间7．用黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑点，第②个图案中有8个黑点，第③个图案中有13个黑点，第④个图案中有19个黑点，⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案中黑点的个数为（）A．43 B．44 C．53 D．548．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车4S店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（）A．15% B．20% C．25% D．30%9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点（1，n），其中说法正确的是（）A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．点（x1，y1）和（x2，y2）都在该二次函数图象上，若x1＜﹣1，且2＜x2＜3，则y1＞y2 D．方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有实数根10．乙是一个求和符号，英文名称：sigma，汉语名称西格玛．例如：i＝1+2+3+⋯+n，当n＝5时i＝1+2+3+4+5＝15；ix＝x+2x+3x+⋯+nx，当n＝5时ix＝x+2x+3x+4x+5x＝15x；ix1＝x1+x2+x3+⋯+xn，当n＝5时xi＝x1+x2+x3+x4+x5；下列说法正确的个数是（）①当n＝5时，；②当n＝3时，若ix2＝54，则x＝±3；③如果＝2022，（xi﹣）＝2024，那么xi•＝﹣2023．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接11．计算：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝．12．若x＝2是方程x2﹣bx+c＝0的其中一根，则4b﹣2c+1的值为．13．在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为．14．已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若AB＝4，BC＝3，∠AOB＝108°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）16．若关于x的分式方程＝3有非负整数解；且数a使关于m的二次函数y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，当m＜﹣2时，y随m的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和是．17．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝．18．对于一个四位自然数A，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称A为“五三数”．如：四位数6714，∵6﹣1＝5，7﹣4＝3，∴6714是“五三数”；四位数8821，∵8﹣2≠5，∴8421不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为；一个“五三数”A的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记M（A）＝a+c+2（b+d），N（A）＝b﹣3，若能被5整除，则满足条件的A的值为．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．计算：（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；（2）．20．在学习了平行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积＝底×高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．请根据他的思路完成以下作图和填空：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC，垂足为E．用直尺和圆规作图，过点D作DF垂直BC，交BC的延长线于点F．（只保留作图痕迹）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥①．∴∠ABE＝②．∵AE垂直BC，DF垂直BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠DFC，∴DA∥BC，AE∥DF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵∠DFC＝90°．∴四边形AEFD是③．∴S平行四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD＝S△DCF+S四边形AECD＝S矩形AEFD＝AD×AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴④．∴S平行四边形ABCD＝BC×AE．即平行四边形的面积＝底×高．21．某校对七、八年级进行了普法知识问答测试，现从七、八年级各抽取了20人的成绩进行整理，描述和分析，成绩用x表示，共分为四个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D．x＜70．下面给出了部分信息．抽取的七年级20人的成绩：68，70，73，75，79，80，82，82，85，86，86，86，88，88，90，91，93，94，96，98；抽取的八年级B等级包含的所有数据为：89，85，87，83，84，88，81，82抽取的七、八年级学生成绩统计表学生平均数中位数众数七年级84.586b八年级84.5a79根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的普法知识问答测试，哪个年级成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）若该校七、八年级共有1800人参加普法知识问答测试，请估计两个年级成绩合格（大于或等于80分）的有多少人．22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，动点E和F分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿A→B方向运动，到达点B即停止运动，点F沿A→C方向运动，到达点C即停止运动．设运动时间为t秒，S1＝FC，S2＝S△EFC．（1）请直接写出S1和S2关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数S1和S2的图象，并写出函数S2的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出S1＝S2时t的值，保留1位小数，误差小于0.2．23．杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛绒玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元．（1）求玩偶套装的进价是多少元？（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出50套，第二天卖出40套，随着亚运会结束，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，每下降5元，在第二天的销量上增加10套，到第三天结束时，这批玩偶已卖出的部分获利3900元，为了在第四天内全部卖出，应降价多少元？24．某海域上，码头A处的海警同时接到B处和C处的求救信号，海警一组前往B处，海警二组前往C处，B在A的北偏东45°方向，C在A的南偏东30°方向，C在B的正南方向，AC＝10海里．（1）求AB的距离（结果精确到0.1）；（2）B处的人员得到解救后，C处还未完成解救任务，海警一组决定前往C处协助二组完成任务，若海警一组的快艇速度为每小时65海里，问海警一组能否在15分钟内到达C处？请说明理由．（参考数据：≈1.414，25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C是直线AB上方抛物线上的一个动点．过点C作CD∥x轴，交AB于点D，过点C作CE∥y轴，交AB于点E，当△DCE的周长取得最大值时，求点C的坐标和△DCE周长的最大值；（3）在（2）中△DCE的周长取得最大值时，把抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移个单位得到新的抛物线，点M是点C的对应点，新抛物线交y轴于点N，G为新抛物线对称轴上一点，H在新抛物线上，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点H的坐标．26．在△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转至BE的位置，使得∠ABC+∠DBE＝180°，连接AE，交BC于点F，连接CE．（1）如图1，当∠DBE＝90°时，若AE平分∠BAC，求证：CF＝CE；（2）如图2，取AE的中点M，连接BM．猜想BM与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DM．若∠DBE＝60°，当AD＞CD，∠BEC＝150°时，请直接写出的值．

参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．计算6a2×a3的结果是（）A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，进而得出答案．解：6a2×a3＝3a5．故选：D．【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．如图所示图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．解：选项A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，则DE的长度是（）A．1 B． C．2 D．2【分析】由旋转的性质可得BC＝DE，AD＝AB＝1，由直角三角形的性质可求BC的长，即可求解．解：∵将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，∴BC＝DE，AD＝AB＝1，又∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴BC＝，∴DE＝BC＝，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝92°，则∠D的度数是（）A．92° B．88° C．98° D．108°【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝92°，∴∠D＝180°﹣92°＝88°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣1【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可．解：将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是y＝（x+3）2﹣1．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．6．估计的结果应该在（）A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间【分析】先计算出结果，再估算的大小，即可得到结果．解：＝＝，∵，即，∴，∴，即的结果应该在6和7之间，故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，得出的取值范围是解题的关键．7．用黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑点，第②个图案中有8个黑点，第③个图案中有13个黑点，第④个图案中有19个黑点，⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案中黑点的个数为（）A．43 B．44 C．53 D．54【分析】根据所给图形，依次求出黑点的个数，发现规律即可解决问题．解：由所给图形可知，第①个图案中黑点的个数为：4＝1+2+3﹣2；第②个图案中黑点的个数为：8＝1+2+3+4﹣2；第③个图案中黑点的个数为：13＝1+2+3+4+5﹣2；…，所以第n个图案中黑点的个数为：1+2+3+…+n+2﹣2＝；当n＝8时，（个），即第⑧个图案中黑点的个数为53个．故选：C．【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图案中黑点的个数是解题的关键．8．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车4S店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（）A．15% B．20% C．25% D．30%【分析】设新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份4S店新能源汽车的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌新能源汽车销售量的月增长率为20%，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点（1，n），其中说法正确的是（）A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．点（x1，y1）和（x2，y2）都在该二次函数图象上，若x1＜﹣1，且2＜x2＜3，则y1＞y2 D．方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有实数根【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，结合所给图象逐个进行判断可以得解．解：由题意，抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，a＜0，c＞0，∴b＞0．∴abc＜0，故A错误．∵﹣＝1，∴b＝﹣2a．∴2a﹣b＝2a+2a＝4a＜0，故B错误．∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴x1＜﹣1对应的函数值与x＞3时对应的函数相对应．∵在对称轴直线x＝1的右侧，开口向下，∴y随x的增大而减小．又2＜x2＜3，∴y1＜y2，故C错误．∵抛物线y＝ax2+bx+c图象的一部分，顶点（1，n），∴当令y＝n﹣10时，必存在两个自变量与之对应．∴方程ax2+bx+c＝n﹣10一定有实数根．∴方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有实数根．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．10．乙是一个求和符号，英文名称：sigma，汉语名称西格玛．例如：i＝1+2+3+⋯+n，当n＝5时i＝1+2+3+4+5＝15；ix＝x+2x+3x+⋯+nx，当n＝5时ix＝x+2x+3x+4x+5x＝15x；ix1＝x1+x2+x3+⋯+xn，当n＝5时xi＝x1+x2+x3+x4+x5；下列说法正确的个数是（）①当n＝5时，；②当n＝3时，若ix2＝54，则x＝±3；③如果＝2022，（xi﹣）＝2024，那么xi•＝﹣2023．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】首先根据题目给出的定义列出展开式，①进行计算即可．②列出方程解之即可．③根据已知分别列出展开式，再用加减法得出xi，的值，就可以得出结果了．解：①当n＝5时，＝＝＝，故①正确；②∵当n＝3时，＝x2+2x2+3x2＝54，∴6x2＝54，∴x2＝9，∴x＝±3，故②正确；③∵＝2022，∴++……+＝2022①，∵（xi﹣）＝2024，∴＝2024②，∴①+②得：2x1+2x2+……+2xn＝4046，①﹣②得：＝﹣2，∴＝﹣1，x1+x2+……+xn＝2023，∴xi•＝（x1+x2+……+xn）（）＝x1（）+x2（）+……+xn（）＝﹣x1﹣x2﹣……﹣xn＝﹣2023．故③正确．故选：D．【点评】本题考查整式加减，分式化简，规律探究，定义运算．解题关键是能够根据已知的定义列出展开始．二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接11．计算：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．解：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝+1﹣1＝，故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．12．若x＝2是方程x2﹣bx+c＝0的其中一根，则4b﹣2c+1的值为9．【分析】先把x＝2代入一元二次方程得到2b﹣c＝4，再把4b﹣2c+1变形为2（2b﹣c）+1，然后利用整体代入的方法计算．解：把x＝2代入方程x2﹣bx+c＝0得4﹣2b+c＝0，∴2b﹣c＝4，∵4b﹣2c+1＝2（2b﹣c）+1＝2×4+1＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为48°．【分析】n边形的内角和＝（n﹣2）180°，正多边形的各内角都相等．解：正三角形的每一个内角为60°，正五边形的每一个内角为＝108°，∠ABF＝∠FBC﹣∠ABC＝108°﹣60°＝48°．故答案为：48°【点评】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每一个内角都相等．关键是求出多边形的内角的度数．14．已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为12．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝﹣1，再根据三角形三边的关系可判断三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长即可．解：x2﹣5x+4＝0，（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，当三角形第三边长为4时，3+4＞5，符合三角形三边的关系，此时三角形的周长为3+4+5＝12；当三角形第三边长为1时，3+1＜5，不符合三角形三边的关系，舍去；综上所述，该三角形的周长为12．故答案为：12．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若AB＝4，BC＝3，∠AOB＝108°，则图中阴影部分的面积为π．（结果保留π）【分析】先根据勾股定理求出AC的长，由矩形的性质得出OA的长，由等腰三角形的性质得出∠OAE的度数，利用扇形的面积公式即可得出结论．解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝，∵∠AOB＝108°，∴∠OAE＝＝36°，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE＝36°，∴S阴影＝S扇形OAE+S扇形OCF＝2S扇形OAE＝2×＝π．故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及矩形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．16．若关于x的分式方程＝3有非负整数解；且数a使关于m的二次函数y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，当m＜﹣2时，y随m的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和是0．【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．解：由分式方程＝3解得x＝，∵关于x的分式方程＝3有非负整数解，∴a+4是3的非负整数倍，且≠2，∵关于m的二次函数y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝，∴当x＜时，y随x的增大而增大，∵当m＜﹣2时，y随m的增大而增大，∴≥﹣2，解得a≤5，综上可知满足条件的a的值为﹣4，﹣1，5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣4﹣1+5＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a的值是解题的关键．17．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝45°．【分析】由正方形的性质得到BC＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，由DF＝CE，得到BE＝CF，由SAS证明△ABE≌△BCF，得到∠CBF＝∠BAE，由角平分线定义得到∠CBF＝∠BAC＝22.5°，求出∠ABG＝90°﹣∠CBF＝67.5°，由三角形内角和定理得到∠AGB＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝67.5°，因此∠AGB＝∠ABG，推出AG＝AB，得到AG＝AD，因此∠AGD＝∠ADG，由等腰直角三角形的性质得到∠DAG＝45°，因此∠AGD＝×（180°﹣45°）＝67.5°，由平角定义得到∠DGF＝180°﹣∠AGB﹣∠AGD＝45°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵DF＝CE，∴BE＝CF，∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠BAE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∴∠CBF＝22.5°，∴∠ABG＝90°﹣∠CBF＝67.5°，∵∠BAG＝45°，∴∠AGB＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝67.5°，∴∠AGB＝∠ABG，∴AG＝AB，∴AG＝AD，∴∠AGD＝∠ADG，∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAG＝45°，∴∠AGD＝×（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DGF＝180°﹣∠AGB﹣∠AGD＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，关键是证明△ABE≌△BCF（SAS），得到∠CBF＝∠BAE＝22.5°．18．对于一个四位自然数A，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称A为“五三数”．如：四位数6714，∵6﹣1＝5，7﹣4＝3，∴6714是“五三数”；四位数8821，∵8﹣2≠5，∴8421不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为4646；一个“五三数”A的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记M（A）＝a+c+2（b+d），N（A）＝b﹣3，若能被5整除，则满足条件的A的值为5401．【分析】最大的“五三数”先确定千位数字最大为9，可得十位数字，确定百位数字最大为9，可得个位数字，最小的“五三数”同理可得，最大的“五三数”减去最小的“五三数”即为所求；先确定a与c、b与d的关系，化简，能被5整除，所以其尾数是0或5，试得满足的c、d的值，得到a、b的值，可得满足条件的A的值．解：9﹣4＝5，9﹣6＝3，最大的“五三数”是9946，5﹣0＝5，3﹣0＝3，最小的“五三数”是5300，最大的“五三数”和最小的“五三数”之差＝9946﹣5300＝4646，a＝5+c，b＝3+d，能被5整除，则＝+4的尾数是0或5，∵A是“五三数”，∴0≤c≤4，0≤d≤6，∵d在分母上，∴d≠0，∴c＝0，d＝1满足，则a＝5，b＝4，满足条件的A的值为5401，故答案为：4646，5401．【点评】本题考查了整式的加减、代数式，关键是根据a与c、b与d的关系，化简．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．计算：（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；（2）．【分析】（1）先展开，再合并同类项；（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．解：（1）原式＝﹣2ab+b2+a2+2ab+b2＝a2+2b2；（2）原式＝•＝•＝．【点评】本题考查整式，分式的混合运算，解题的关键是掌握掌握整式，分式相关运算的法则．20．在学习了平行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积＝底×高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．请根据他的思路完成以下作图和填空：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC，垂足为E．用直尺和圆规作图，过点D作DF垂直BC，交BC的延长线于点F．（只保留作图痕迹）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥①AB．∴∠ABE＝②∠DCF．∵AE垂直BC，DF垂直BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠DFC，∴DA∥BC，AE∥DF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵∠DFC＝90°．∴四边形AEFD是③矩形．∴S平行四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD＝S△DCF+S四边形AECD＝S矩形AEFD＝AD×AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴④AD＝BC．∴S平行四边形ABCD＝BC×AE．即平行四边形的面积＝底×高．【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可．（2）由平行四边形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定可得答案．解：如图，DF即为所求．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ABE＝∠DCF，∵AE垂直BC，DF垂直BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠DFC，∴DA∥BC，AE∥DF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵∠DFC＝90°，∴四边形AEFD是矩形．∴S平行四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD＝S△DCF+S四边形AECD＝S矩形AEFD＝AD×AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S平行四边形ABCD＝BC×AE．即平行四边形的面积＝底×高．故答案为：①AB；②∠DCF；③矩形；④AD＝BC．【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识点是解答本题的关键．21．某校对七、八年级进行了普法知识问答测试，现从七、八年级各抽取了20人的成绩进行整理，描述和分析，成绩用x表示，共分为四个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D．x＜70．下面给出了部分信息．抽取的七年级20人的成绩：68，70，73，75，79，80，82，82，85，86，86，86，88，88，90，91，93，94，96，98；抽取的八年级B等级包含的所有数据为：89，85，87，83，84，88，81，82抽取的七、八年级学生成绩统计表学生平均数中位数众数七年级84.586b八年级84.5a79根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝82.5，b＝86，m＝20；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的普法知识问答测试，哪个年级成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）若该校七、八年级共有1800人参加普法知识问答测试，请估计两个年级成绩合格（大于或等于80分）的有多少人．【分析】（1）先计算八年级C组和D组的人数，进而求出A组的人数，即可确定中位数a和m；根据众数的定义求出b即可；（2）比较平均数、中位数和众数可得结论；（3）求出七、八年级学生竞赛成绩为A、B等级的百分比可得答案．解：（1）C组的人数：＝6（人），D组的人数：20×10%＝2（人），∵B组有8人，∴A组有4人，∴m%＝×100%＝20%，∴m＝20；B组数据排序：89，88，87，85，84，83，82，81，∵数据有20个，∴中位数是第10个和第11个数据的平均数：＝82.5（分），故答案为：82.5，86，20；（2）七年级竞赛成绩较好，理由为：两个年级平均数相同，七年级的中位数和众数高于八年级；（3）七年级A、B等级人数是15人，八年级A、B等级人数是12人，1800×＝1215（人），答：估计两个年级成绩合格（大于或等于80分）的有1215人．【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确求解的前提．22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，动点E和F分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿A→B方向运动，到达点B即停止运动，点F沿A→C方向运动，到达点C即停止运动．设运动时间为t秒，S1＝FC，S2＝S△EFC．（1）请直接写出S1和S2关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数S1和S2的图象，并写出函数S2的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出S1＝S2时t的值，保留1位小数，误差小于0.2．【分析】（1）由题意得：AF＝4t，则S1＝FC＝AC﹣AF；S2＝S△EFC＝FC×AE，即可求解；（2）取点、描点、连线即可绘制函数图象，即可求解；（3）观察函数图象即可求解．解：（1）由题意得：AF＝4t，则S1＝FC＝AC﹣AF＝8﹣4t（0≤t≤2）；S2＝S△EFC＝FC×AE＝（8﹣4t）×3t＝﹣6t2+12t（0≤t≤2）；（2）当t＝0，S1＝8，当t＝2时，S1＝0，当x＝0时，S2＝0，当x＝2时，S2＝0，S2的顶点坐标为：（1，6）；对上述点描点、连线绘制函数图象如下：从S2的图象看，其对称轴为x＝1，顶点坐标为：（1，6）（答案不唯一）；（3）从（2）中图象看，其交点坐标横坐标约为0.7，即t＝0.7（答案不唯一）．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积的计算、一次函数和二次函数的图象和性质和应用等知识，深入理解题意是解决问题的关键．23．杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛绒玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元．（1）求玩偶套装的进价是多少元？（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出50套，第二天卖出40套，随着亚运会结束，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，每下降5元，在第二天的销量上增加10套，到第三天结束时，这批玩偶已卖出的部分获利3900元，为了在第四天内全部卖出，应降价多少元？【分析】（1）设玩偶套装的进价是x元，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设应降价y元，则每套的销售利润为（90﹣y﹣60）元，第三天可售出（40+2y）套，根据“到第三天结束时，这批玩偶已卖出的部分获利3900元”，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要在第四天内全部卖出，即可确定结论．解：（1）设玩偶套装的进价是x元，根据题意得：100（108﹣x）+150（90﹣x）＝10500，解得：x＝60．答：玩偶套装的进价是60元；（2）设应降价y元，则每套的销售利润为（90﹣y﹣60）元，第三天可售出40+10×＝（40+2y）套，根据题意得：（90﹣60）×50+（90﹣60）×40+（90﹣y﹣60）（40+2y）＝3900，整理得：y2﹣10y＝0，解得：y1＝0，y2＝10，又∵随着亚运会结束，该玩偶开始滞销，且要在第四天内全部卖出，∴y＝10．答：应降价10元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．某海域上，码头A处的海警同时接到B处和C处的求救信号，海警一组前往B处，海警二组前往C处，B在A的北偏东45°方向，C在A的南偏东30°方向，C在B的正南方向，AC＝10海里．（1）求AB的距离（结果精确到0.1）；（2）B处的人员得到解救后，C处还未完成解救任务，海警一组决定前往C处协助二组完成任务，若海警一组的快艇速度为每小时65海里，问海警一组能否在15分钟内到达C处？请说明理由．（参考数据：≈1.414，【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，由题意得：∠B＝45°，∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性质待定AH＝AC＝5（海里），由等腰直角三角形的性质得到AB＝AH＝5≈7.1（海里）；（2）由直角三角形的性质求出CH的长，而BH＝AH＝5海里，即可求出BC的长，从而求出海警一组到达C的时间，即可解决问题．解：（1）过A作AH⊥BC于H，由题意得：∠B＝45°，∠C＝30°，∴AH＝AC＝×10＝5（海里），∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AB＝AH＝5≈7.1（海里），∴A、B的距离约是7.1海里．（2）∵∠AHC＝90°，∠C＝30°，∴CH＝AH＝5≈8.7（海里），∵△AHB是等腰直角三角形，∴BH＝AH＝5海里，∴BC＝BH+CH＝13.7（海里），∵海警一组的快艇速度为每小时65海里，∴海警一组到达C的时间是13.7÷65≈0.21小时＝12.6（分钟），∴海警一组能在15分钟内到达C处．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是过A作AH⊥BC于H，构造直角三角形．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C是直线AB上方抛物线上的一个动点．过点C作CD∥x轴，交AB于点D，过点C作CE∥y轴，交AB于点E，当△DCE的周长取得最大值时，求点C的坐标和△DCE周长的最大值；（3）在（2）中△DCE的周长取得最大值时，把抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移个单位得到新的抛物线，点M是点C的对应点，新抛物线交y轴于点N，G为新抛物线对称轴上一点，H在新抛物线上，使得以M，N，G，H为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点H的坐标．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）由A（0，3），B（3，0）求出直线AB函数表达式为y＝﹣x+3，设C（t，﹣t2+t+3），则E（t，﹣t+3），可得CE＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t；由A（0，3），B（3，0），可知△CDE是等腰直角三角形，有DE＝CE＝﹣t2+t，CD＝CE＝﹣t2+t，故△DCE周长＝DE+CD+CE＝﹣t2+t﹣t2+t﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，根据二次函数性质可得答案；（3）将抛物线y＝﹣x2+x+3向右平移个单位得到新的抛物线y＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+3＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，故新抛物线对称轴为直线x＝2，与y轴交于N（0，），M（3，），设G（2，m），H（n，﹣n2+2n+），分三种情况：①当MN．GH为对角线时，MN，GH的中点重合，有，②当NG，MH为对角线时，NG，MH的中点重合，，③当NH，MG为对角线时，NH，MG的中点重合，有，分别解方程组可得答案．解：（1）把A（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）由A（0，3），B（3，0）可得直线AB函数表达式为y＝﹣x+3，设C（t，﹣t2+t+3），则E（t，﹣t+3），∴CE＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t；∵A（0，3），B（3，0），∴OA＝OB，∴△AOB的等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵CD∥x轴，CE∥y轴，∴∠CDE＝∠ABO＝45°，△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CE＝﹣t2+t，CD＝CE＝﹣t2+t，∴△DCE周长＝DE+CD+CE＝﹣t2+t﹣t2+t﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，△DCE周长取最大值，此时C（，），∴点C的坐标为（，），△DCE周长的最大值为；（3）将抛物线y＝﹣x2+x+3向右平移个单位得到新的抛物线y＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+3＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，∴新抛物线对称轴为直线x＝2，与y轴交于N（0，），∵点M是点C（，）的对应点，∴M（3，），设G（2，m），H（n，﹣n2+2n+），①当MN．GH为对角线时，MN，GH的中点重合，∴，解得n＝1，∴H（1，）；②当NG，MH为对角线时，NG，MH的中点重合，∴，解得n＝﹣1，∴H（﹣1，﹣）；③当NH，MG为对角线时，NH，MG的中点重合，∴，解得n＝5，∴H（5，﹣）；综上所述，H的坐标为（1，）或（﹣1，﹣）或（5，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和