高中数学《3.1.2函数的表示法》教学课件

3.1.2函数的表示法复习回顾函数的表示法，常用的有三种：解析法、列表法、图象法。解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关。

例如：y=2x–

1与u=2t-1表示同一个函数。函数解析式一定是方程；方程不一定是函数解析式。一次函数：y=kx+b

（k≠0）二次函数：y=ax2+bx+c

（a≠0）可看成关于x、y的方程。例如：x2+y2=1复习回顾(1)炮弹发射（解析法）h=130t-5t2

（0≤t≤26）(2)南极臭氧层空洞（图象法）(3)恩格尔系数(列表法)时间19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9函数的表示法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.解析式优点：函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性质.函数的表示法2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观地表示出函数的变化情况。注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。图象法：思考：初中画函数图象主要用什么方法？利用此法画图的主要步骤如何？初中画函数图象的主要方法是描点法。按描点法画函数图象的主要步骤有：（1）确定自变量x

的取值范围，对函数图象的整体性质有个把握；（2）列表：选取一些典型的点，将x与y的对应值用表列出；（3）描点：将表中点在直角坐标系中描出；（4）连线：用平滑直线或曲线依次连接各点。例如：一次函数图象：一条直线——两点确定一条直线——找两个典型的点——通常找与坐标轴的交点。二次函数图象：抛物线——开口方向，对称轴，顶点，与坐标轴交点。判断一个图形是否是函数图象：判断下列图象，哪些可以表示函数图象？xyOxyOxOxOyyABCD

平行于y轴（也即垂直于x轴）的直线，与函数图象至多有一个交点。-11函数的表示法3.列表法:

列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况缺点：经常不可能把所有的对应值列入数表中，而只能达到实际上够用的程度。函数的表示法解:(1)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,(2)用列表法可将函数表示为笔记本数x12345

钱数y510152025例1、某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})

个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).函数的表示法xyo51015202512345(3)用图象法可将函数表示为下图(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象为什么不是一条直线？

函数的定义域是函数存在的前提,在写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域.

列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).

函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.想一想函数的表示法例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6

表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才能更好的比较三个人的成绩高低?请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。函数的表示法解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高.123456060708090100......▲▲▲▲▲▲■■■■■♦♦♦♦♦♦xy王伟■张城班平均分赵磊函数的表示法练习.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()B分段函数解:由绝对值的意义,知例3.画出函数的图象.图像如下xyoxyo1函数图像变换专题y=|x-1|

比较例3的做图方法与例1、例2有何不同？

例1、例2采用的是描点法;

例3可借助于已知函数画图象.

描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.想一想分段函数例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里),票价2元；

(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象．

解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：分段函数解:函数解析式为y5x10152012345O

有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．2，3，4，5,y0<x≤5=ìïïíïïî5<x≤1010<x≤1515<x≤20分段函数里程x(km)票价y(元)2345问：此函数能用列表法表示吗？此分段函数的定义域为此分段函数的值域为③每段上的函数解析式是怎样求出的？①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？作函数图象：作出下列函数的图象，并求函数的值域：①y

=|1-x|

②y

=

x2+1

（x≥0）

-2x

（x＜0）③y

=x-n

（n∈Z，且-2≤n≤1，x∈[n,n+1)）作函数图象：①y

=|1-x|

①解：y

=|1-x|=函数的值域是[0,+∞）

x-1（x≥1）

1-x

（x＜1）|x-1|=xyO43211234作函数图象：①解：函数的值域是（0,+∞）

xyO43211234②y

=

x2+1

（x≥0）

-2x

（x＜0）-3-2-15分段函数的值域求法：分别把每段函数的值域求出，再取它们的并集。作函数图象：③解：函数的定义域是[-2,2）

xyO2112-2-1③y

=x-n

（n∈Z，且-2≤n≤1，x∈[n,n+1)函数的值域是[0,1）

y

=

x+2∵

n∈Z，且-2≤n≤1∴

n=-2，-1，0，1x+1xx-1

（n=-2，-2≤x＜-1）

（n=-1，-1≤x＜0）

（n=0，0≤x＜1）

（n=1，1≤x＜2）

分段函数注意：

1、有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。

分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数。

2、分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，值域是各段“值域”的并集。

3、函数图象不一定是光滑曲线（直线），还可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。分段函数1.已知函数若f(x)=3,则x的值是……………().A.1B.

C.

D.

D

分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”。【定义域】？【值域】？分段函数解：由题意知y=|x+5|+|x

－1|当x≤－5时，y=－(x+5)－(x

－1)=－2x－4当－5＜x

≤1时，y=(x+5)－(x

－1)=6当

x＞1时，y=(x+5)+(x－1)=2x+4xyo－5162.化简函数【定义域】？【值域】？分段函数3.函数，的值域是

。小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把各段的值域求出来，再取它们的并集；或把所求函数的值域转化成画函数图象，然后根据函数图象找到函数的值域。同学们，函数的表示方法有哪几种？你能谈谈它们的优缺点吗？解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式．列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中．图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像．用适当的方法表示函数，或者把几种方法结合起来，能够帮助我们更好的理解函数和运用函数解决问题小结：课堂小结1.理解函数的三种表示法及其各自的优点；3.分段函数的表示方法及其图象的画法.2.通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数作图的方法、步骤，体会函数的图象(数形结合)在解决数学问题时的直观效果.作业补充作业：求函数y=|2x+1|+|x

－2|值域求函数的解析式1.y=kx+b经过点(1,0),(0,－1),则y=_______;2.求满足下列条件的二次函数

f(x)的解析式:顶点坐标为(2,3),且图象经过(3,1)点,

则

f(x)=________________;x

－1－2(x－2)2+33.已知函数f(x)=x2+x-1,则f(2)=_____,若f(x)=5,则x=_______.52或-3求函数的解析式例1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x－1,求f(x)的解析式解:设f(x)=kx+b（k≠0）则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1.1.待定系数法必有(函数类型确定时用此法)求函数的解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0）由题意得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：因此：所求二次函数是：a=2,b=－3,c=5y=2x2-3x+5练习1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？求函数的解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)练习2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0,－5）求抛物线的解析式？解：设所求的二次函数为

y=a(x＋1)2－

3（a≠0)由条件得：点(0,－

5)在抛物线上a－

3=－

5,得a=－

2故所求的抛物线解析式为