5.2.1基本初等函数的导数校本讲义高二上学期数学选择性

编号：034课题:§5.2.1基本初等函数的导数教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．本节重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程赏析基础知识积累1.几个常见函数的导数f(x)kx＋bC(C为常数)xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)_________________________3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常数的导数为0.2．基本初等函数的导数公式(xα)′＝_________(α为常数)(lnx)′＝________(ax)′＝_________(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝________(logax)′＝_________(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝________(ex)′＝_________【课前预习思考】(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？【课前小题演练】题1．下列求导运算正确的是()A．(cosx)′＝－sinx B．(x3)′＝x3lnxC．(ex)′＝xex－1 D．(lnx)′＝题2．函数y＝3x在x＝2处的导数为()A．9B．6C．9ln3D．6ln3题3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于()A．4B．－4C．5D．－5题4．若函数f(x)＝cosx，则f′＋的值为()A．0B．－1C．1D．2题5(多选题)．下列各式中正确的是()A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2C． D．(cos2)′＝－sin2题6(多选题)．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)题7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是．题8．设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝.题9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．题10．已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．【当堂巩固训练】题11．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于()A．8B．12C．8ln3D．0题12．已知f(x)＝，则f′(8)等于()A．0B．2C.D．－1题13.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于()A．2B．0C．1D．－1题14．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1题15．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx题16(多选题)．下列选项正确的是()A．y＝ln2，则y′＝B．f(x)＝，则f′(3)＝－C．y＝2x，则y′＝2xln2D．y＝log2x，则y′＝题17（多选题）．已知曲线f(x)＝eq\f(1,x)，则过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可能为()A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4题18.曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是．题19．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2021(x)＝.题20.函数y＝x2(x>0)的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是．题21．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值．题22．求曲线y＝eq\f(1,x)与y＝x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积．【课堂跟踪拔高】题23．已知函数f(x)=,则f'(3)= ()A. B.0 C. D.题24.已知f(x)=sin(x),则f'(x)= ()A.cosx B.cosx C.sinx D.sinx题25.球的体积V(单位:cm3)与半径R(单位:cm)的关系为V=πR3,则R=4cm时体积关于半径的瞬时变化率为 ()A.16πcm2 B.32πcm2 C.64πcm2 D.πcm2题26.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),f'(1)=1,则a= ()A.e B.e C. D.题27.已知函数f(x)=,g(x)=x3,则满足f'(1)+g'(x)=1的x的值为 ()A. B. C. D.题28.设f(x)=lnx,已知f(x)的图象上有且只有三个点到直线y=x+a的距离为,则a= ()A.1 B.3 C. D.2题29(多选题).下列曲线的切线中,不存在互相垂直的切线的曲线是 ()A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx题30(多选题)．以下运算正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．(cosx)′＝－sinxC．(2x)′＝2xln2 D．(lgx)′＝－eq\f(1,xln10)题31.下列结论正确的有.①若f(x)=x4,则f'(2)=32;②若f(x)=,则f'(2)=;③若f(x)=,则f'(1)=;④若f(x)=x5,则f'(1)=5.题32.已知函数f(x)=xn,数列{an}的通项公式为an=f'(2),则数列{an}的前n项和Sn=.题33.求下列函数的导数:(1)y=sin;(2)y=lgx;(3)y=x·;(4)y=2sincos.题34.求下列曲线在给定点的切线的方程:(1)y=3x5,(2,1); (2)y=x2+1,(1,2);(3)y=,(1,1).编号：034课题:§5.2.1基本初等函数的导数教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．本节重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程赏析基础知识积累1.几个常见函数的导数f(x)kx＋bC(C为常数)xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)k012x－eq\f(1,x2)3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常数的导数为0.2．基本初等函数的导数公式(xα)′＝αxα－1(α为常数)(lnx)′＝eq\f(1,x)(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝cosx(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝－sinx(ex)′＝ex【课前预习思考】(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna当a＝e时的特殊情况．(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝lnx的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.【课前小题演练】题1．下列求导运算正确的是()A．(cosx)′＝－sinx B．(x3)′＝x3lnxC．(ex)′＝xex－1 D．(lnx)′＝【答案】A题2．函数y＝3x在x＝2处的导数为()A．9B．6C．9ln3D．6ln3【答案】C【解析】y′＝(3x)′＝3xln3，故所求导数为9ln3.题3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于()A．4B．－4C．5D．－5【答案】A【解析】∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.题4．若函数f(x)＝cosx，则f′＋的值为()A．0B．－1C．1D．2【答案】A【解析】f′(x)＝－sinx，所以f′＋＝0.题5(多选题)．下列各式中正确的是()A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2C． D．(cos2)′＝－sin2【答案】AC【解析】∵B项，(x－1)′＝－x－2；D项，(cos2)′＝0.∴BD错误．题6(多选题)．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)【答案】BC【解析】y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．题7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是．【答案】4【解析】因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知＝2，所以a＝4.题8．设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝.【答案】－4x＋3【解析】∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.题9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.题10．已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．【解析】设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为，因为y′＝2x，所以k＝2x0，又点(x0，y0)在切线上，所以，解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，所以直线方程为或，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.【当堂巩固训练】题11．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于()A．8B．12C．8ln3D．0【答案】D【解析】f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(xf′(2)＝0.题12．已知f(x)＝，则f′(8)等于()A．0B．2C.D．－1【答案】C【解析】f(x)＝，得f′(x)＝，∴f′(8)＝.题13.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于()A．2B．0C．1D．－1【答案】C【解析】由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′＝－1得f′＝1，故选C.题14．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1【答案】D【解析】由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点，则l：x＋y＝4，∴f＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.题15．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx【答案】D【解析】若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(lnx)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.题16.(多选题)．下列选项正确的是()A．y＝ln2，则y′＝B．f(x)＝，则f′(3)＝－C．y＝2x，则y′＝2xln2D．y＝log2x，则y′＝【答案】BCD【解析】对于A，y′＝0，故A错；对于B，∵f′(x)＝－，∴f′(3)＝－，故B正确；显然C，D正确．题17（多选题）．已知曲线f(x)＝eq\f(1,x)，则过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可能为()A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4【解析】选AB.设过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))的直线与曲线y＝f(x)相切的切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，由f(x)＝eq\f(1,x)求导得f′(x)＝－eq\f(1,x2)，于是得切线方程为y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))(x－x0)，即y＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))x＋eq\f(2,x0)，则3＝eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＋eq\f(2,x0)，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,3)，因此得切线方程为y＝－x＋2或y＝－9x－6，所以所求切线的方程是y＝－x＋2或y＝－9x－6.题18.曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是．【答案】x＋y－6＝0【解析】∵y′＝－，∴k＝－1，∴在点(3,3)处斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.题19．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2021(x)＝.【答案】cosx【解析】由已知得，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2021(x)＝f1(x)＝cosx.题20.函数y＝x2(x>0)的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是．【答案】21【解析】∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点处的切线方程为y－＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.题21．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值．解导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为，则an＝lg＝lgn－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.题22．求曲线y＝eq\f(1,x)与y＝x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积．【解析】联立两条曲线方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故交点坐标为(1，1).因为k1＝－eq\f(1,x2)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝1＝－1，k2＝2x))|x＝1＝2，所以两条切线的方程分别为x＋y－2＝0，2x－y－1＝0，与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示．因为两条切线与x轴的交点分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).所以三角形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))×1＝eq\f(3,4).【课堂跟踪拔高】题23．已知函数f(x)=,则f'(3)= ()A. B.0 C. D.【解析】选A.f'(x)=⇒f'(3)==.题24.已知f(x)=sin(x),则f'(x)= ()A.cosx B.cosx C.sinx D.sinx【解析】选D.因为f(x)=sin(x)=cosx,因此,f'(x)=sinx.题25.球的体积V(单位:cm3)与半径R(单位:cm)的关系为V=πR3,则R=4cm时体积关于半径的瞬时变化率为 ()A.16πcm2 B.32πcm2 C.64πcm2 D.πcm2【解析】选C.由V=πR3,得V'=4πR2,所以R=4cm时体积关于半径的瞬时变化率为V'=4π×42=64π(cm2).题26.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),f'(1)=1,则a= ()A.e B.e C. D.【解析】选C.因为f'(x)=,所以f'(1)=.所以lna=1,即a=.题27.已知函数f(x)=,g(x)=x3,则满足f'(1)+g'(x)=1的x的值为 ()A. B. C. D.【解析】选B.因为f'(x)=()'=()'=,所以f'(1)=,又g'(x)=3x2,f'(1)+g'(x)=1,所以+3x2=1,解得x=±,又x>0,故x=.题28.设f(x)=lnx,已知f(x)的图象上有且只有三个点到直线y=x+a的距离为,则a= ()A.1 B.3 C. D.2【解析】选B.依题意,直线y=x+a与f(x)=lnx的图象相交,设平行于直线y=x+a的直线与f(x)=lnx的图象相切的切点为P(x0,lnx0),由f(x)=lnx求导得,f'(x)=,则有f'(x0)==1,解得x0=1,即P(1,0),切线方程为y=x1,由=,解得a=3或a=1,当a=1时,直线y=x+1在切线y=x1的左侧,与f(x)=lnx的图象无公共点,当a=3时,直线y=x3与f(x)=lnx的图象相交,所以a=3.题29(多选题).下列曲线的切线中,不存在互相垂直的切线的曲线是 ()A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx【解析】选ABC.若存在互相垂直的切线,则其斜率之积为1,或一条切线的斜率不存在,另一条切线的斜率为0.A中,f'(x)=ex>0,B中f'(x)=3x2≥0,C中f'(x)=(x>0),故A,B,CD中f'(x)=cosx,其可正可负,一定存在使cosx1·cosx2=1的情形.题30(多选题)．以下运算正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co