重难专题06 将军饮马之两点一线模型（原卷版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破专题06将军饮马之两点一线模型一、异侧两点求线段和最小值条件：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。结论：连接AB交直线l与点P，此时PA+PB的值最小，最小值为AB的长。二、同侧两点求线段和最小值条件：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小结论：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为AB'的长。三、同侧两点求线段差最大值条件：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使|PA-PB|值最大。结论：连接AB并延长，与直线l交于点P，此时|PA-PB|的值最大，最大值为线段AB的长。四、异侧两点求线段差最大值条件：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得lPA-PB|值最大结论：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，与直线l交于点P，此时|PA-PBI的值最大，最大值为线段AB'的长。如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（

）A．4 B． C． D．5如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为．一、单选题1．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）A．B．C．D．2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．103．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．5．如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4.8 D．5二、填空题7．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是．8．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为．9．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．10．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为．三、解答题11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，．(1)请作出关于y轴对称的，并写出和的坐标；(2)在轴上找一点，使最小，在图中标出点．12．如图所示，牧马人从A地出发，到一条直的河流l边的C处饮马，然后到达B地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C，并用轴对称的性质说明理由．13．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；(3)如图3