第2章第03讲 估算、实数(11类热点题型讲练)（原卷版）

第2章第03讲估算、实数1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小2、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类;3、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小;4、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义（同有理数的意义完全一样）.知识点01估算【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小误差，方法要科学．估算法：（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．知识点02实数概念及分类【微点拨】无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数.题型01无理数的估算【典例】（2023春·重庆潼南·七年级校联考期中）估算的值在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【变式1】（2023·天津东丽·统考一模）估计的值在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【变式2】（2023·浙江·七年级假期作业）若a和b为两个连续整数，且，那么，．题型02实数概念理解【典例】（2023春·七年级课时练习）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（）A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）关于实数，下列说法错误的是（

）A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数题型03实数的分类【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数填入相应的横线上：正有理数集合：整数集合：负分数集合：无理数集合：【变式1】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)．有理数集合：｛

…｝无理数集合：｛

…｝【变式2】（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中．，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）．(1)有理数集合：{

…}；(2)无理数集合：{

…}；(3)正实数集合：{

…}；(4)负实数集合：{

…}．题型04实数的性质【典例】（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）的绝对值是（

）A． B． C． D．【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·江苏·八年级假期作业）的相反数是（

）A． B． C． D．题型05实数与数轴【典例】（2023·福建泉州·统考二模）如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（

）

A． B． C． D．【变式1】（2023秋·七年级单元测试）如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）

A．点M B．点N C．点P D．点Q【变式2】（2023春·上海普陀·七年级统考期中）如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（

）

A． B． C． D．题型06实数的大小比较【典例】（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小：______，______；【变式1】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．【变式2】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小：_____．（填写“”、“”或“”）题型07实数的混合运算【典例】（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【变式1】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）计算：(1)；(2)．【变式2】（2023春·河南安阳·七年级统考期末）计算：(1)(2)题型08程序设计与实数运算【典例】（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【变式1】（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________【变式2】（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．题型9无理数整数部分的有关计算【典例】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知a是的小数部分，则．【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）的整数部分为a，小数部分为b，则的值为．【变式2】（2023春·黑龙江双鸭山·七年级校考期末）的小数部分是，的小数部分为．则．题型10新定义下的实数运算【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【变式2】（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是___________．题型11与实数运算相关的规律题【典例】（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：(1)计算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：．【变式1】（2023春·福建莆田·七年级统考期中）阅读下列解题过程：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．(2)利用这一规律计算：．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值一、选择题1．（2023春·广西防城港·七年级统考期末）的相反数是（）A． B． C． D．2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(

)

A．点P B．点Q C．点R D．点S3．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）下列各式中计算正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·陕西安康·七年级统考期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（

）

A．8 B． C． D．45．（2023春·安徽池州·七年级统考期末）设的整数部分用表示，小数部分用表示；的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题6．（2023春·天津东丽·七年级统考期末）计算的绝对值是．7．（2023春·重庆忠县·七年级统考期末）实数，，，中最小的数是．8．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为.9．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在数轴上，点为原点，点在数2位置上，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，则点表示的数为．

10．（2023·浙江·七年级假期作业）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为．

三、解答题11．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）计算：12．（2023春·安徽黄山·七年级统考期末）计算13．（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）计算：(1)；(2)．14．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，若点表示数，设点所表示的数为．

(1)实数的值是______；(2)求的值．15．（2023春·河南商丘·七年级统考期末）【阅读材料】∵，，∴的整数部分为1，小数部分为．【解决问题】(1)的整数部分是______，小数部分是______．(2)已知，其中x是整数，且，求的相反数．16．（2023春·河南周口·七年级统考期末）同学们学过数轴知道，数轴上的点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，，如图，设点A，B，C所对应数的和是P．

(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值．(2)若原点О在点C的右侧，且，求P的值．17．（2023·浙江·七年级假期作业）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…