高考数学一轮复习-等差数列及其前n项和课件

2022高考一轮复习7.2等差数列及其前n项和课程标准解读关联考点核心素养1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系．1.等差数列的基本运算．2.等差数列的判定与证明．3.等差数列的性质及应用．1.逻辑推理．2.数学运算．课前自测1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(

)(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(

)×√×√√×2．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于(

)A．32B．39C．42D．45设公差为d，

a2＝2

S4＝14

B3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(

)A．6B．7C．8D．9

n＝8(负值舍去)C

5．(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝____________．

通解设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，255．(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝____________．优解25设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，

考点梳理1．等差数列与等差中项若三个数a，A，b组成等差数列，则_____叫做a，b的等差中项．(1)等差数列的定义一个数列从_______起，每一项与它的前一项的____都等于____一个常数；①文字语言第2项差同②符号语言_______________(n∈N*，d为常数)．an＋1－an＝d(2)等差中项A(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

2．等差数列的通项公式与前n项和公式

3．等差数列的性质(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(n－m)d(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则______________．ak＋al＝am＋an(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为_____．2d(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．常用结论(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．等差数列与函数的关系

常用结论

两个常用结论

(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

常见误区!1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．典例剖析考点1等差数列的基本运算

方法一设等差数列{an}的公差为d，

A

方法二A设等差数列{an}的公差为d，

选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；

(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若3S5－5S3＝135，则数列{an}的公差d＝________．9

15d＝135d＝9方法总结(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．等差数列的基本运算的解题策略跟踪训练1.(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(

)A．18B．16C．14D．12所以a10＝－4＋9×2＝14.C设{an}的公差为d，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，又a1＝1，所以d＝2，2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.(1)求数列{an}的通项公式；2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．m＝5am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝18010am＋45d＝20m＋80＝180考点2等差数列的判定与证明

证明：

整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.

变式探究

证明：

所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，

方法总结等差数列的判定与证明方法[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．跟踪训练1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于(

)A．13B．49C．35D．63

由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，

则an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，B2．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(

)A．S4＜S3B．S4＝S3C．S4＞S1D．S4＝S1B数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，设等差数列{an}的公差为d.因为a2＝－6，a6＝6，所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.考点3等差数列的性质及应用角度一等差数列项的性质

A因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，(2)(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是(

)A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．ABD方法总结

角度二等差数列前n项和的性质[例4](1)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(

)A．100B．120C．390D．540设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.A设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，

所以n＝20，即这个数列的项数为20.B方法总结在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an；(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．等差数列前n项和的性质角度三等差数列的前n项和的最值[例5]

(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(

)A．5B．6C．7D．8所以Sn取得最大值时n的值是8.方法一设数列{an}的公差为d，

所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，D角度三等差数列的前n项和的最值[例5]

(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(

)A．5B．6C．7D．8所以当n＝8时，Sn取得最大值.方法二设数列{an}的公差为d，

D方法总结求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法跟踪训练1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，则S9＝(

)A．27B．36C．45D．54

a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20a5＝4B

D3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(

)A．6B．7C．12D．13所以满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.因为在等差数列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，C1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(

)A．a9＝17B．a10＝18C．S9＝81D．S10＝90随堂训练

因为对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以an＋1－an＝2.所以数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，B2．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.设等差数列{an}的公差为d，

S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，163．(应用型)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．

设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60