第四节　条件概率与全概率公式、相互独立事件

1．相互独立事件2.条件概率(1)条件概率的计算公式1．(人教A版必修第二册P249·练习T3改编)天气预报表明在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为

(

)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.563．(湘教版选择性必修第二册P115·例6改编)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次击打，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次击打后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次再实施击打也没有受损的概率为0.80，则该构件经过质检的概率为(

)A．0.4 B．0.16C．0.68 D．0.17解析：设Ai表示第i次击打后该构件没有受损，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)·P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件经过质检的概率为0.68.答案：C

层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)相互独立事件的概念

[题点全训]1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地取球两次，每次取一个球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2 (

)A．是互斥事件

B．是相互独立事件C．是对立事件

D．不是相互独立事件2．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则

(

)A．甲与丙相互独立

B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立

D．丙与丁相互独立[一“点”就过]判断两个事件是否相互独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件．(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断．[一“点”就过]求条件概率的常用方法层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)事件的独立性的概率计算

[典例]

(2022·石家庄模拟)某课程考核分理论与实验两部分，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)[方法技巧](1)求相互独立事件同时发生的概率时，一般先求出每个事件发生的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．重难点(二)乘法公式与全概率公式

[典例]某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，求抽到不合格品的概率．[解]设A＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，Bi＝“任取一件这种产品，结果是第i条流水线的产品”(i＝1,2,3,4)，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥，根据题意P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.0315，故从该厂产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.[方法技巧]当事件A发生的概率不好直接求解时，可以采用化整为零的方式把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率．[针对训练]已知甲袋中装有6个红球、4个白球；乙袋中装有8个红球、6个白球，随机取一只袋子再从该袋中取一球，求该球是红球的概率．4．(体现数学应用)孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元．假设甲、乙、丙三人中，每一人在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为(参考数据：0.99360≈0.03,0.01360≈0,0.973≈0.912673) (

)A．0.0027% B．99.9973%C．0 D．91.2673%解析：一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为0.99360≈0.03，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为0.033＝0.000027，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为1－0.000027＝0.999973＝99.9973%.故选B.答案：B

5．(混淆独立事件与互斥事件