2020年河北省唐山市九年级升学考试二模数学试题（解析版）

唐山市初中毕业生升学文化课考试第二次模拟测试数学试卷卷Ⅰ（选择题，共42分）一、选择题（本大题共16个小题，共42分，1~10小题，每小题3分；11~16小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列四个数中，是正整数的是（）A.﹣1 B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．【详解】A、-1是负整数，故选项错误；B、0既不是正整数，也不是负整数；故选项错误；C、是分数，不是整数，错误；D、1是正整数，故选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．2.下列图形中不具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三角形具有稳定性，根据三角形的性质，四边形的性质可得答案．【详解】解：B选项中含有长方形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故B符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了多边形和三角形的稳定性，解决问题的关键是利用了四边形的不稳定性．3.分式可变形为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分式的基本性质进行变形即可.【详解】=.故选B.【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．4.如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（）A.80° B.90° C.100° D.105°【答案】A【解析】【分析】根据题意得出∠FBD的度数以及∠FBC的度数，进而利用平行线的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AN∥FB，EC∥BD，

∴∠NAB=∠FBD=75°，

∵∠CBF=25°，

∴∠CBD=100°，

则∠ECB=180°-100°=80°．

故选：A．【点睛】本题考查方向角，正确得出平行线，利用平行线的性质是解题关键．5.计算：=（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【详解】解：∵cos45°=sin45°=，∴=．故选B．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．6.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（﹣x﹣y）（x﹣y） B.（﹣x+y）（﹣x﹣y）C.（x+y）（﹣x+y） D.（x﹣y）（﹣x+y）【答案】D【解析】【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；D、含y的项符号相反，含x的项符号相反，不能用平方差公式计算．故选：D．【点睛】此题考查平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．7.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点【答案】D【解析】解：根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得P点是CD与∠AOB的平分线的交点，故选D．8.如图，在长方形中，，，为的中点，点分别在上，若，为等腰直角三角形，则四边形的面积为（）A.10 B.9 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质证得△AEG≌△DGF，从而得到AE=DG=２，AG=DF=３，从而求得CF的长度，然后利用梯形面积公式求解．【详解】解：∵△GEF为等腰直角三角形，∴GE=GF，∠EGF=90°，∴∠AGE+∠DGF=90°，又∵在长方形中∠AEG+∠AGE=90°，∴∠AEG=∠DGF，∴△AEG≌△DGF，∴AE=GD，AG=DF，∵AB=4，AD=5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，∴BE=AE=GD=2，AG=DF=3，∴CF=1，∴四边形的面积为故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的知识，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等，难度不大．9.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】D【解析】【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D．原来数据的方差==，添加数字2后的方差==，故方差发生了变化．故选D．10.解分式方程﹣3=时，去分母可得（）A.1﹣3（x﹣2）=4 B.1﹣3（x﹣2）=﹣4C.﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D.1﹣3（2﹣x）=4【答案】B【解析】【分析】方程两边同时乘以（x-2），转化为整式方程，由此即可作出判断．【详解】方程两边同时乘以（x-2），得1﹣3（x﹣2）=﹣4，故选B．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.11.已知关于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，则a的范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】由得,由得,∵关于x的不等式的解都是不等式的解，∴解得即a的取值范围是：故选:C.【点睛】考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.12.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C是符合要求的．【详解】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．

故选C．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，仔细观察图形是正确解答本题的关键．13.一渔船在海岛南偏东方向的处遇险，测得海岛与的距离为海里，渔船将险情报告给位于处的救援船后，沿北偏西方向向海岛靠近，同时，从处出发的救援船沿南偏西方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A.海里/小时 B.15海里/小时 C.里/小时 D.30海里/小时【答案】D【解析】【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．【详解】解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°-20°=60°，∴∠C=90°，∵AB=10海里，∴AC=AB•cos30°=15海里），∴救援船航行的速度为：15÷=30（海里/小时）．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件．14.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（）A.400 B.401 C.402 D.403【答案】D【解析】【分析】由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n-1）=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．【详解】解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，第2个图形边长为1小正方形有9+5=14个，第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，…第n个图形边长为1的小正方形有9+5×（n-1）=5n+4个，当5n+4=2019时，解得n=403所以第403个图形中边长为1的小正方形的个数为2019个．故选：D．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．15.如图，反比例函数的图象经过点，直线与双曲线在第二四象限分别相交于两点，与轴、轴分别相交于两点连接，当时，的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=-4，然后表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为-b，利用直线解析式可得到Q（-b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到-b•2b=-4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．【详解】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（-1，4）∴k=-1×4=-4；当y=0时，-x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为-b，当x=-b时，y=-x+b=2b，则Q（-b，2b），∵点Q在反比例函数y=的图象上，∴-b•2b=-4，解得b=-或b=（舍去），∴b的值为-．故选：B【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，利用数形结合思想解题是关键．16.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y＝3x2 B.y＝4x2 C.y＝8x2 D.y＝9x2【答案】C【解析】【分析】设正方形的边长为2a，易证四边形AFCE是平行四边形，所以四边形EHFG是矩形，由∠AEG＝∠BCE得到等式，从而可用x表示出EG，接着用x表示EH，从而可求出y与x之间的关系式.【详解】解：设正方形的边长为2a，

∴BC＝2a，BE＝a，

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE＝CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AF∥CE，

∵EG⊥AF，FH⊥CE，

∴四边形EHFG是矩形，

∵∠AEG＋∠BEC＝∠BCE＋∠BEC＝90°，

∴∠AEG＝∠BCE，

∴tan∠AEG＝tan∠BCE，

∴，

∴EG＝2x，

∴由勾股定理可知：AE＝x，

∴AB＝BC＝x，

∴CE＝5x，

易证：△AEG≌△CFH，

∴AG＝CH，

∴EH＝EC－CH＝4x，

∴y＝EG•EC＝8x2，

故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角函数解题．卷Ⅱ（非选择题，共78分）二、填空题（本大题有3个小题，共12分，17~18小题各3分；19小题有2个空，每空3分，把答案写在题中横线上）17.已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是____________________．【答案】m>3.【解析】试题分析：因为点P在第二象限，所以，，解得：考点：（1）平面直角坐标；（2）解不等式组18.若，，则代数式的值为______．【答案】【解析】【分析】将原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可．【详解】解：当，时原式=故答案为：-6．【点睛】本题考查提公因式法、公式法进行因式分解，掌握公式结构正确计算解题关键．19.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是_____，第2019个阴影三角形的面积是_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，即可得出OA1、A2B1、A3B2、A4B3的值，根据边的长度的变化即可找出变化规律“An+1Bn=BnBn+1=2n+1”，再根据三角形的面积即可得出Sn+1=×（2n+1）2=22n+1，分别代入n=4、2018即可求出结论．【详解】解：当x=0时，y=x+2=2，∴OA1=OB1=2；当x=2时，y=x+2=4，∴A2B1=B1B2=4；当x=2+4=6时，y=x+2=8，∴A3B2=B2B3=8；当x=6+8=14时，y=x+2=16，∴A4B3=B3B4=16．∴An+1Bn=BnBn+1=2n+1，∴Sn+1=×（2n+1）2=22n+1．当n=4时，S5=22×4+1=29；当n=2018时，S2019=22×2018+1=24037．故答案为：29；24037．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，找出等腰直角三角形的直角边长为“An+1Bn=BnBn+1=2n+1”是解题的关键．三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；；以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1）化简：；（2）化简：；（3）化简：．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）二次根式的乘法，将二次根式分母化简后进行二次根式分母有理化的计算；（2）将二次根式分母有理化进行计算；（3）利用平方差公式的结构特点对二次根式的进行分母有理化的计算，然后探索规律求解．【详解】解：（1）（2）（3）==．【点睛】本题考查二次根式的分母有理化的计算，掌握利用平方差公式的结构进行分母有理化的计算方法，正确计算是解题关键．21.某销售公司年终进行业绩考核，人事部门把考核结果按照A，B，C，D四个等级，绘制成两个不完整的统计图，如图1，图2．参加考试的人数是______，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是______，请把条形统计图补充完整；若公司领导计划从考核人员中选一人交流考核意见，求所选人员考核为A等级的概率；为推动公司进一步发展，公司决定计划两年内考核A等级的人数达到30人，求平均每年的增长率精确到，【答案】(1)50,36;(2);(3)12%.【解析】【分析】根据A等级的人数和所占的百分比求出总人数；用D等级所占的百分比乘以即可求出D部分所对应的圆心角的度数；用总人数减去其它等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图；用A等级的人数除以总人数即可得出所选人员考核为A等级的概率；设平均每年的增长率是x，根据两年内考核A等级的人数达到30人列出方程，然后求解即可．【详解】解：参加考试的人数是：人；

扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是：；

C等级的人数是：人，补图如下：

故答案为50，36；

因为参考人数是50，考核为A等级的人数是24，

(考核为A等级)；

设增长率是x，依题意列方程得：

，

解得：，(舍去)，

答：每年增长率为．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率公式以及一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22.如图，某公路局施工队要修建一条东西方向的公路，已知点周围100米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走400米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，）（1）是否穿过古建筑保护群？为什么？（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？【答案】（1）不穿过，理由见解析；（2）30天【解析】【分析】（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解．【详解】解：（1）不穿过．理由：过点作于，设由已知，，则，在中，在中，整理化简得，解得米米不会穿过古建筑保护群（2）设原计划完成这项工程需要天，则实际完成工程需要天．根据题意得：解得：经检验：是原方程的根答：原计划完成这项工作需要30天．【点睛】本题考查了构造直角三角形解斜三角形方法和分式方程的应用．23.一次函数的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积.【答案】（1）；（2）阴影部分面积为【解析】【分析】(1)作，由垂径定理可和为中点，从而得MN=OA，继而可得点A坐标，再根据sin∠ABO=，可得∠ABO=60°，继而可求得点B坐标，然后利用待定系数法进行求解即可；(2)连接OM，由S阴影=S扇形MAO-S△AMO代入相关数据进行求解即可得.【详解】(1)作，∵M为圆心，∴为中点，ON=OB，∴MN=OA，∵MN=3，∴OA=6，即A(-6，0)，∵sin∠ABO=，∴∠ABO=60°，∵tan∠ABO=，OA=6，∴OB==，即B(0，)，设，将A、B代入得，解得：，所以直线AB的解析式为：；(2)连接OM，∵∠ABO=60°，∴∠AMO=120°，∠BAO=30°，∴AB=2OB=4，∴AM=2，∴S阴影=S扇形MAO-S△AMO==.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，扇形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.24.已知，在中，，，点为的中点．（1）如图①，若点分别为上的点，且，试探究和的数量关系；并说明四边形的面积是定值吗？若是，请求出；若不是，请说明理由．（2）若点分别为延长线上的点，且，那么吗？请利用图②说明理由．【答案】（1），四边形的面积是定值，为4；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，然后利用ASA定理证得，从而求得BE与AF的数量关系，然后结合全等三角形的性质求得四边形面积为定值；（2）连接AD，根据等角的补角相等，同角的余角相等求得，，然后理由ASA定理证得，从而是问题得解．【详解】解：（1）如图①所示，连接．，，为等腰直角三角形，．点为的中点，，，，，．在和中，，，；四边形的面积是定值，总为4．（2），证明如下：连接如图②所示．，．，，．和中，，，．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握ASA定理证明三角形全等，正确添加辅助线解题是关键．25.实践操作如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，和相交于点，连接．解决问题（1）在图1中，①和的位置关系为__________；②将剪下后展开，得到的图形是_____；（2）若图1中的矩形变为平行四边形时，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；拓展应用（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为_________．【答案】（1）①；②菱形；（2）成立，证明见解析；（3）或【解析】【分析】（1）①利用AAS定理求证△≌△CDE，从而得到DE=，CE=AE，然后根据等腰三角形的性质求得，然后根据内错角相等两直线平行即可判断；②根据菱形的判定方法即可解决问题；（2）只要证明AE=EC，即可证明结论②成立；只要证明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC；（3）①当AB：AD=1：1时，符合题意．②当AD：AB=时，也符合题意【详解】解：（1）①由折叠性质可知：，又∵∴△≌△CDE∴DE=，CE=AE，∴，又∵∴∴；②由①可知AE=CE，又由折叠性质可知将剪下后展开，得到的图形是四条边都相等的四边形，又∵∠AEC为钝角∴将剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为：；菱形；（2）若选择①证明如下，四边形是平行四边形，，将沿翻折至，，，，，，，若选择②证明如下：四边形是平行四边形，，，将沿翻折至，，，，是等腰三角形；将剪下后展开，得到的图形四边相等，将剪下后展开，得到的图形是菱形．（3）如图中，①当AB：AD=1：1时，四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠CAD=∠EAB′=45°，∵AE=AE，∠B′=∠AFE=90°，∴△AEB′≌△AEF（AAS），∴AB′=AF，此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．

②当AD：AB=时，也符合题意，∵此时∠DAC=30°，∴AC=2CD，∴AF=FC=CD=AB=AB′，∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．26.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）当m＝-时，PQ最长，最大值