2020年湖北省武汉市武昌区中考数学一模试题（解析版）

2020年湖北省武汉市武昌区中考数学一模试题一．选择题（每题3分，满分30分）1.的绝对值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的定义可直接得出.【详解】解：的绝对值是，故选D.【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题关键.2.若代数式有意义，则x的取值范围是()A.x＞﹣1且x≠1 B.x≥﹣1 C.x≠1 D.x≥﹣1且x≠1【答案】D【解析】【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．【详解】依题意，得x+1≥0且x-1≠0，解得x≥-1且x≠1．故选A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3.下列事件中，属于必然事件的是（）A.三角形外心到三边的距离相等B.某射击运动员射击一次，命中靶心C.任意画一个三角形，其内角和是180°D.抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.5.下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.③④【答案】B【解析】试题分析：长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩形；因此左视图为矩形的有①④．故选B．考点：简单几何体的三视图．6.小明乘车从甲地到乙地，行车的速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=，则v是t的反比例函数，且t＞0．【详解】解：∵v=（t＞0），

∴v是t的反比例函数，

故选B．【点睛】本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．7.已知点（－2，y1），（－1，y2），（1，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是A.y3＜y1＜y2 B.y3＜y2＜y1 C.y1＜y2＜y3 D.y1＜y3＜y2【答案】A【解析】【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数，，∴函数图象两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵-2＜0，-1＜0，

∴点（-2，y1），（-1，y2）位于第二象限，

∴y1＞0，y2＞0，

∵-2＜-1，

∴0＜y1＜y2．

∵1＞0，

∴（1，y3）在第四象限，

∴y3＜0，

∴．

故选A．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8.如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用甲所指的数字作为横坐标x，乙所指的数字作为纵坐标y，则点（x，y）在反比例函数y＝图象上的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：树状图如图所示．由树状图知，则点（2，3）和（3，2）在反比例函数y＝图象上，所以点（x，y）在反比例函数y＝图象上的概率为＝，故选B．【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数图像上点的坐标．9.如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞解集为()A.x＞2或﹣1＜x＜0 B.﹣1＜x＜0C.﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D.x＞2【答案】A【解析】【分析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．10.对于每个非零自然数n，抛物线y＝x﹣x+与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过解方程=0得x1=，x2=，则An，Bn两点为（，0），（，0），所以AnBn=-，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019=1-+-+-+…+-，然后进行分数的混合运算即可．【详解】解：当y＝0时，＝0，(x﹣)(x﹣)＝0，解得x1＝，x2＝，∴An，Bn两点为（，0），（，0），∴AnBn＝﹣，∴A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+-+-+…+-＝1﹣＝．故选D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．二．填空题（满分18分，每小题3分）11.算术平方根等于本身的实数是__________.【答案】0或1【解析】根据负数没有算术平方根，一个正数的算术平方根只有一个，1和0的算术平方根等于本身，即可得出答案．解：1和0的算术平方根等于本身.故答案为1和0“点睛”本题考查了算术平方根的知识，注意掌握1和0的算术平方根等于本身．12.某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是_____．【答案】85【解析】【分析】根据中位数求法,将学生成绩从小到大排列,取中间两数的平均数即可解题.【详解】解：将六位同学的成绩按从小到大进行排列为：75,75,84,86,92,99,中位数为中间两数84和86的平均数,∴这六位同学成绩的中位数是85.【点睛】本题考查了中位数的求法,属于简单题,熟悉中位数的概念是解题关键.13.计算：___________.【答案】1【解析】【分析】利用同分母分式的加减法则计算即可．【详解】解：=1．故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为______.【答案】(2.5，3)【解析】【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标.【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，∴A的坐标为：(2.5，3).故答案为(2.5，3).【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．15.四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝60°，点E在AB上，∠AED＝∠CEB，AD＝5，DE+CE＝，则BD的长为_____．【答案】7【解析】【分析】连接AC，延长DE至F，使EF=CE，作正三角形ADG，使B、G分别在AD两侧，连接AF、BF、BG，证明△BEF≌△BEC(SAS)，可证得△ABF是等边三角形，得出AF=AB，∠BAF=60°，证明△DAF≌△GAB(SAS)，得出BG=DF=DE+EF=DE+CE=，证明△ABC是等边三角形，得出AC=BC=DC，∠ACB=60°，得出点C是△ABD的外心，由圆周角定理得出∠ADB=∠ACB=30°，证出∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，由勾股定理即可得出答案．【详解】连接AC，延长DE至F，使EF=CE，作正三角形ADG，使B、G分别在AD两侧，连接AF、BF、BG，如图所示：∵∠AED=∠CEB，∠BEF=∠AED，∴∠BEF=∠AED=∠CEB，△BEF和△BEC中，，∴△BEF≌△BEC(SAS)，∴∠ABF=∠ABC=60°，BF=BC=AB，∴△ABF是等边三角形，∴AF=AB，∠BAF=60°，∵△ADG是等边三角形，∴∠ADG=∠DAG=60°=∠BAF，AG=AD=5，∴∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠DAB+∠DAG=∠GAB，在△DAF和△GAB中，，∴△DAF≌△GAB(SAS)，∴BG=DF=DE+EF=DE+CE=，∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=DC，∠ACB=60°，∴点C是△ABD的外心，∴∠ADB=∠ACB=30°，∴∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°，∴BD=；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识、三角形外心的性质、圆周角定理等；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．16.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE＝30°，则EP的长为_____．【答案】或4或2或2【解析】【分析】如图，连接AC，AE，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，求得BE=CE=2，AE⊥BC，∠EAC=30°，推出AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当⊙O与CD边交于，则，过C作于H，解直角三角形得到；当⊙O与AD交于，A()，由AD∥CE，推出四边形是矩形，得到，P3E=CE=2，当⊙O与AB交于，得到是等边三角形，求得，于是得到结论．【详解】如图，连接AC，AE，∵AB=BC=4，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为BC的中点，∴BE=CE=2，AE⊥BC，∠EAC=30°，∴AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当⊙O与CD边交于P1，则∠EP1C=∠EAC=30°，∵∠ECP1=105°，∴∠P1EC=45°，过C作CH⊥P1E于H，∴EH=CH=CE=，∴P1H=HC=，∴；当⊙O与AD交于P2、A(P3)，∵AD∥CE，∴∠ECP2=∠AP2C=90°，∴四边形AECP2是矩形，∴P2E=AC=4，P3E=CE=2，当⊙O与AB交于P4，∵∠AP4C=90°，∠EP4C=30°，∴∠BP4E=60°，∴△BP4E是等边三角形，∴P4E=BE=2，综上所述，若∠CPE=30°，则EP的长为或4或2或2，故答案为：或4或2或2．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题17.计算：（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a2）【答案】﹣2a6+a5【解析】【分析】先算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后合并同类项即可．【详解】==．【点睛】本题考查了幂的运算，涉及了积的乘方，同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．18.如图，要在长方形钢板ABCD的边AB上找一点E，使∠AEC＝150°，应怎样确定点E的位置？为什么？【答案】以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作∠DCF＝30°，射线CF与AB交于点E，则点E为所找的点，理由见解析【解析】【分析】利用量角器作∠DCF=30°，射线CF与AB交于点E，则∠DCF=∠DCE=30°，由平行线的性质得出∠DCE+∠AEC=180°，则∠AEC=150°．【详解】以CD为始边，在长方形的内部，利用量角器作∠DCF=30°，射线CF与AB交于点E，则点E为所找的点；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，∴∠DCE+∠AEC=180°，∵∠DCE=∠DCF=30°，∴∠AEC=180°﹣∠DCE=180°﹣30°=150°．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．19.某中学为了了解“校园文明监督岗”的值围情况，对全校各班级进行了抽样调查，过程如下：收集数据：从三个年级中随机抽取了20个班级，学校对各班的评分如下：92

71

89

82

69

82

96

83

77

8380

82

66

73

82

78

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70

74

59整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：分数段班级数12a8b说明：成绩90分及以上为优秀，分为良好，分为合格，60分以下为不合格分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数、极差如下表，绘制扇形统计图：平均数中位数众数极差79c82d请根据以上信息解答下列问题：填空：______，______，______，______．若我校共120个班级，估计得分为优秀的班级有多少个？为调动班级积极性，决定制定一个奖励标准分，凡到达或超过这个标准分的班级都将受到奖励如果要使得半数左右的班级都能获奖，奖励标准分应定为多少分？并简述其理由【答案】（1）6，3，37，81；（2）18个；（3）奖励标准分应定为81分..理由因为这组数据的中位数为81，见解析.【解析】【分析】根据学校对20个班的评分即可求出a、b，d，n的值；理由样本估计总体的思想解决问题即可；根据中位数的定义即可判断．【详解】由题意：，，，，故答案为6，3，37，81；个，估计得分为优秀的班级有18个；要使得半数左右的班级都能获奖，奖励标准分应定为81分，理由：因为这组数据的中位数为81．【点睛】本题考查了扇形统计图，平均数，中位数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.20.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点、均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出平行四边形，点和点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为12；（2）在图中画出以为腰的等腰直角，且点在小正方形的顶点上；（3）连接，直接写出的正切值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的面积=底×高=12，即可确定点C，D的位置，问题得解；（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；（3）设AE与CD交于F，根据平行线的性质得到∠AFD=∠BAF=90°，根据勾股定理得到AE=，求得DF=，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如图所示：四边形ABCD为所求；（2）△ABE即为所求；（3）设AE与CD交于F，∵AB∥CD，∠BAF=90°，∴∠AFD=∠BAF=90°，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∴的正切值为：.【点睛】本题考查作图——应用与设计，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会由数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连结OF并延长OF交⊙O于点E，连结BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连结BC．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】(1)连结OD，求出∠ABE+∠GBC=90°，根据切线的判定得出即可；

(2)解直角三角形求出AF、OF，证明，求出BC和AC，进而求出EF、FG，根据勾股定理可得EG的长．【详解】(1)证明：连结OD，∵OA=OD，F是弦AD的中点，∴OF⊥AD，∴∠EFG=90°，∴∠E+∠FGE=90°，∵BC=GC，∴∠BGC=∠GBC，∵∠FGE=∠BGC，∴∠GBC=∠FGE，∵OE=OB，∴∠ABE=∠E，∴∠ABE+∠GBC=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；(2)∵sinA=，OA=10，∴OF=OA·sinA=6，∴，∵∠OAF=∠CAB，∠OFA=∠CBA=90°，∴，∴，即，∴BC=GC=15，∴AC==25，∴AG=AC-GC=10，EF=OE-OF=10-6=4，∴FG=2，在中，∠EFG=90°，FG=2，EF=4，∴．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．22.某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？【答案】（1）该商品每件的的成本与售价分别是20元、30元；（2）；（3）推广费在1万元到2．5万元（包括1万元和2．5万元）时，公司获得的年利润随推广费的增大而增大．【解析】【分析】（1）根据售价−成本价＝利润，成本价乘以利润率＝利润，列方程即可求解；（2）根据每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数，代入所给数据即可求解；（3）根据年利润＝单件利润乘以销售量再减去推广费即可列出二次函数，根据二次函数的性质即可确定推广费的取值范围．【详解】（1）设该商品每件的的成本为a元，则售价为元1.5a元，根据题意，得1.5a﹣5﹣a＝25%a，解得a＝20，则1.5a＝30，答：该商品每件的的成本与售价分别是20元、30元．（2）根据题意每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数，设y＝ax2+bx+c∵不进行任何推广年销售量为1万件，即当x＝0时，y＝1（万件），当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．∴解得所以销售量y与推广费x的函数解析式为．所以设公司获得的年利润为w万元，答：年利润与年推广费x的函数关系式为w＝10y＝﹣x2+6x+10．（3）公司获得的年利润为w万元，根据题意，得w＝10y﹣x＝10（﹣x2+x+1）﹣x＝﹣x2+5x+10＝﹣（x﹣）2+∵1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，w随x的增大而增大，答：推广费在1万元到2.5万元（包括1万元和2.5万元）时，公司获得的年利润随推广费的增大而增大．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的等量关系．23.定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．【答案】(1)见解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．【解析】【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴△ABE∽△DCE，∴正方形自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，当∠AED=∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE=2，AB=AD=4，由(1)③得：△ABE∽△DEA，∴∴AE2=BE•AD=2×4=8，∴AE=2，DE===4，故答案为：AE=2；DE=4；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，设AM=x，则EN=DM=x+4，由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，解得：x=1