课时验收评价(四十二) 空间几何体的结构特征及表面积与体积

PAGE第4页共5页课时验收评价(四十二)空间几何体的结构特征及表面积与体积1．如果把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍解析：选B由题意知球的半径扩大到原来的eq\r(2)倍，由体积V＝eq\f(4,3)πR3知，体积扩大到原来的2eq\r(2)倍．2．下列说法错误的是()A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥解析：选C易知A、B正确；根据棱锥的定义，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故C错误；若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确．3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：选B由题意知圆锥的底面周长为2eq\r(2)π.设圆锥的母线长为l，则πl＝2eq\r(2)π，即l＝2eq\r(2).故选B.4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形解析：选C如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．5.(2021·淄博二模)碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为()A．12 B．25C．30 D．36解析：选B根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数为37，设有正五边形x个，正六边形y个，则x＋y＝37,5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25，故选B.6.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：选C设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m依题意得h2＝eq\f(1,2)×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝eq\f(1＋\r(5),2)a，所以eq\f(m,2a)＝eq\f(\f(1＋\r(5),2)a,2a)＝eq\f(1＋\r(5),4).故选C.7.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为eq\r(3)的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为()A．144 B．72C．36 D．24解析：选B如图，由正六边形的每个内角为eq\f(2π,3)，按虚线处折成高为eq\r(3)的正六棱柱，即BF＝eq\r(3)，所以BE＝eq\f(BF,tan60°)＝1，可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，所以正六棱柱体积V＝6×eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝72.8．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.eq\f(6,7)解析：选C易知所截去的8个三棱锥的体积相同，因此剩下的凸多面体的体积为V＝13－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(5,6).9．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，体积为2eq\r(3)，M为A1B的中点，则点M到平面A1B1C的距离为()A.eq\f(\r(21),7) B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(\r(7),7) D.eq\f(2\r(3),3)解析：选A直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，设棱长为a，因为体积为2eq\r(3)，所以V＝S△ABC·AA1＝eq\f(\r(3),4)a2·a＝2eq\r(3)，解得a＝2，设点M到平面A1B1C的距离为d，因为A1B1＝2，CB1＝CA1＝2eq\r(2)，所以在△CA1B1中，A1B1边上的高为eq\r(2\r(2)2－12)＝eq\r(7)，则Seq\a\vs4\al(△CA1B1)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝eq\r(7)，取AB的中点H，连接CH，则CH⊥AB，因为AA1⊥面ABC，CH⊂面ABC，所以AA1⊥CH，因为AA1∩AB＝A，所以CH⊥面ABB1A1，在△ABC中，CH＝eq\r(3)，由Veq\a\vs4\al(M­A1B1C)＝Veq\a\vs4\al(C­A1B1M)，即eq\f(1,3)·d·Seq\a\vs4\al(△CA1B1)＝eq\f(1,3)·CH·Seq\a\vs4\al(△A1B1M)，即eq\f(1,3)·d·eq\r(7)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×1，解得d＝eq\f(\r(21),7)，故点M到平面A1B1C的距离为eq\f(\r(21),7).10．(2022·江南十校一模)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体A.eq\f(5,12) B.eq\f(5,6)C.eq\f(5\r(2),12) D.eq\f(5\r(2),6)解析：选B如图所示，连接BD交MN于点Q，连接PQ，连接OD1，由正方体的特点可知，MN⊥BD，MN⊥DD1，则根据线面垂直的判定定理可知MN⊥平面BDD1O，则VO-PMN＝VM-OPQ＋VN-OPQ＝eq\f(1,3)S△OPQ·MN，又S△OPQ＝Seq\a\vs4\al(梯形D1OQD)－Seq\a\vs4\al(△OD1P)－S△QDP＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(3\r(2),2)))×2－eq\f(1,2)×1×eq\r(2)－eq\f(1,2)×1×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(5\r(2),4)，故VO-PMN＝eq\f(1,3)×eq\f(5\r(2),4)×eq\r(2)＝eq\f(5,6).11．已知圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，则下列说法错误的是()A．圆柱的母线长为2π B．圆柱的侧面积为4π2C．圆柱的体积为2π2 D．圆柱的表面积为6π2解析：选D设底面半径为r，母线长为l，因为圆柱的底面直径为2，所以r＝1，又其侧面展开图为一个正方形，所以母线长为l＝2πr＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrl＝4π2，圆柱的体积为V＝πr2l＝2π2，圆柱的表面积为S′＝2πrl＋2πr12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法不正确的是()A．该圆台轴截面ABCD面积为3eq\r(3)cm2B．该圆台的体积为eq\f(7\r(3)π,3)cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm解析：选C由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4cm，高O1O2＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))2)＝eq\r(3)cm，则圆台轴截面ABCD面积为eq\f(1,2)(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)cm2，故A正确；圆台的体积为V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3)πcm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为eq\f(\r(3),2)，所以∠ADO1＝60°，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为θ＝eq\f(2π·2,4)＝π，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4cm，OP＝2＋1＝3cm，则CP＝eq\r(42＋32)＝5cm，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．13．(2022·淄博一模)已知某圆锥底面圆的半径r＝1，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为________．解析：圆锥底面圆的半径r＝1，则圆锥的底面圆周长为2πr＝2π，在圆锥的展开图中，底面圆的周长为展开扇形的弧长，由展开图为半圆可得，设展开后半圆的半径为R，则eq\f(1,2)×2πR＝2π，解得R＝2，又由圆锥的结构可知，圆锥的母线长为l＝R＝2，所以圆锥的高为h＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)，则圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).答案：eq\f(\r(3)π,3)14.如图，已知圆柱底面圆的半径为eq\f(2,π)，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行路线的最短长度是________．解析：展开圆柱的侧面如图所示，由图可知小虫爬行路线的最短长度是AC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×\f(2,π)))2＋22)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)15．四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样的四面体的体积是________；这样的不同四面体的个数为________．解析：显然可以构成一个底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，该三棱锥的高h＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(11),\r(3))，则体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(11),\r(3))＝eq\f(\r(11),12).边长1或2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1,2,2的三角形．除了已求体积的正三棱锥外，还可以是四个边长为1,2,2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个边长为1,2,2的三角形拼成的三棱锥．所以共3个．答案：eq\f(\r(11),12)316．已知正六棱锥的侧面积为36，则此六棱锥的体积最大值为________．解析：设此六棱锥顶点为S，其中一个侧面的三角形为△SAB，S在底面的投影为O，作SP⊥AB于P，连接OA，OB，OP，设AP＝a，∠SPO＝θ.由正六棱锥的性质可得AP＝BP＝a，OP＝eq\r(3)a，SP＝eq\f(OP,cosθ)＝eq\f(\r(3)a,cosθ)，又S△SAB＝eq\f(36,6)＝6，故eq\f(1,2)×2a×eq\f(\r(3)a,cosθ)＝6，即eq\f(a2,cosθ)＝2eq\r(3)，所以cosθ＝eq\f(a2,2\r(3))，又正六棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2a×eq\r(3)a×OPtanθ＝6a3tanθ＝eq\