初中数学+胡鹏程+《函数考法分析及复习策略》

函数考法分析及复习策略福州第十一中学胡鹏程对函数本质的理解对函数考查的分析对函数复习的思考函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型。函数的本质特征是联系和变化，强调自变量与因变量之间的依存关系。对函数本质的理解初中阶段初步的抽象化：现实背景——函数的描述性定义（“变量说”）高中阶段的进一步抽象研究中发现的问题：现实中的许多运动变化规律不能用解析式来表达（例如世界人口随时间的变化而变化）；拘泥于“变化过程”、“变量”等，对数学理论的发展也不利；等等。“对应关系说”

新的定义方式带来的好处：强调实数集与实数集间的对应关系，注重对应的结果；拓展了函数的内涵；扩展了函数的应用范围；不同的函数可以进行各种运算（包括极限运算）；等等。图形的变化图形的性质图形与坐标数与式方程与不等式函数课程内容抽样与数据分析事件的概率数与代数图形与几何统计与概率综合与实践2.抛物线≠二次函数题目涉及“抛物线”≠题目考查二次函数需要指出的问题1.坐标系≠函数题目涉及“坐标系”≠题目考查函数1.坐标系≠函数平面直角坐标系属于“图形与坐标”，归于“图形与几何”领域。函数归于“数与代数”领域2.抛物线≠二次函数二次函数的图象是抛物线，但抛物线并不都是函数图象。抛物线属于圆锥曲线，在解析几何的研究范畴内。平面向量，复数，立几预备知识

函数几何与代数统计与概率数学建模活动与数学探究活动必修课选择性必修课函数几何与代数统计与概率数学建模活动与数学探究活动数列，导数空间向量，立几，解几高中总复习知识版块划分一、集合与常用逻辑用语二、函数的概念与基本初等函数三、导数及其应用四、三角函数、解三角形五、平面向量六、数列七、不等式八、立体几何九、直线与圆的方程十、圆锥曲线十一、计数原理十二、概率与统计十三、算法初步十四、推理与证明十五、数系的扩充与复数的引入对函数考查的分析平面直角坐标系的有关概念（图形与坐标）由点的位置写出它的坐标（图形与坐标）曲线上的点的坐标与曲线方程的关系通过此类题目的解答，学生在哪些方面得到训练或提升？是否体现变量之间的制约关系？解析几何尽量避免将图形与几何知识及其相关思想方法的考查放到平面直角坐标系中，而应该用平面几何的背景考查学生对几何基本知识的认识，考查学生的空间观念、几何直观和推理能力。数形结合≠代数几何两张皮虽然函数的性质着眼于函数中的数量特征，函数的图象着眼于图形的几何特征，但图象要为性质服务，学生借助图象直观理解性质。图象的“走势”增减性（单调性）图象的对称性奇偶性图象的顶点最大（小）值结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析对函数复习的思考既要注重对函数“自身体系”的梳理，也要关注函数与其它知识的联系。对函数三种表示法应平均“用力”。应关注“函数思想”、“数形结合思想”以及“模型思想”等重要数学思想。函数的一般概念三个基本函数分析异同定义表示性质（2018•嘉兴）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？关注“概念”1.已知平行四边形的面积为6，一边长为x，这条边上的高为y，请写出y与x之间的函数关系式。2.已知平行四边形的面积为6，一边长为x，这条边上的高为y，请你用图象刻画出y与x之间的函数关系。3.已知平行四边形的面积为6，一边长为x，这条边上的高为y，请你用两种不同的方法表示出y与x之间的关系。两个多边形的边数分别是m和n，已知m＞n≥3,且m边形的内角和是n边形内角和的2倍。（1）请写出m,n的一组值；（2）请用两种不同的方法表示出m与n之间的关系，并求当6＜m≤15时,n的取值范围。通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习，积累函数学习的经验，形成函数研究的基本套路。

关于函数思想

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典型错误2：无从入手。函数意识不强

函数思想淡薄过渡依赖几何直观函数思想，是指用运动和变化的观点，分析和研究问题中的数量关系，建立函数关系（或构造函数），并运用函数的概念、图象或性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的一种思维策略。心理学上认为意识是人们对外界和自身的觉察与关注程度，意识具有自觉性、目的性和能动性三大作用特性。学生对“函数”的关注程度，以及在解决问题时能否自觉的运用函数可以看做是对函数意识的考量。

2016年福州一检第24题已知矩形ABCD中，AD=2AB，AB=6，E为AD中点，M为CD上的一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK，KG，求DK+KG+PG的最小值.

由于最值（或取值范围）主要是在运动变化过程中产生的，所以此类问题往往与动态几何问题或函数问题相结合，并蕴含其中。函数是揭示变量之间的制约关系的有力工具，为我们研究最值（或取值范围）在数学上提供了支持。所以就方法而言，在初中阶段，“函数”是解决最值（或取值范围）问题的有效工具。利用“函数”解决最值（取值范围）问题关于模型思想模型思想主要指，抽象出数学模型的思维活动，或是在实际问题中，通过分析、联想，建立（或选择）恰当的模型，并运用该模型的性质分析问题，使问题得以解决的思维策略。数学模型是一种数学结构。现阶段，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及图表、图形等都是数学模型。实际问题分析、联想建立数学模型数学结果实际结果抽象、转化数学推演还原答1.分析问题中的量，初步发现有常量还有变量；2.所要解决的“租车费”是变量，我们所学过的什么模型可以研究变量问题？3.进一步分析这些量之间的关系，问题中哪个变量的取值能影响“租车费”？5.运用一次函数的知识解决问题。4.选定自变量，建立函数关系，发现是一次函数；怎么分析？看图某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）运用给出的模型解决问题运用模型以技能为主由“一次函数”，想到“直线”或“y=kx+b(k≠0)”由“二次函数”，想到“抛物线”或“y=ax2+bx+c(a≠0)”

（2017厦门质检）为节约能源，某市众多车主响应号召，将燃油汽车改装为天然气汽车.某日上午7:00－8:00，燃气公司给该市城西加气站的储气罐加气，8:00加气站开始为前来的车辆加气.储气罐内的天然气总量y（立方米）随加气时间x（时）的变化而变化.（1）在7:00－8:00范围内，y随x的变化情况如图13所示，求y关于x的函数解析式；（2）在8:00－12:00范围内，y的变化情况如下表所示，请写出一个符合表格中数据的y关于x的函数解析式，依此函数解析式，判断上午9：05到9：20能否完成加气950立方米的任务，并说明理由.题目已知“是函数关系”，但没给出具体的模型分析、联想选择恰当的函数模型应用模型解决问题识别“模型”

关于“数形结合思想”数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为