人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题7.4 离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测）（原卷版）

专题7.4离散型随机变量及其分布列（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．（3分）（2022·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（

）A．12，B．0.1，0.2，0.3，0.4C．p，1−pD．11×2，12×33．（3分）（2022·高二课时练习）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（

）A．抛掷一枚骰子，所得点数XB．某射击手射击一次，击中目标的次数XC．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X=D．某医生做一次手术，手术成功的次数X4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是（

）X3456Pa111A．16 B．112 C．15．（3分）（2022·高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中0<p<1）（

）A．X123Ppp−12−2pB．X123PpppC．X123Ppp−1−2p+D．X123Pp11−p−6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）随机变量X的概率分布列规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中aA．23 B．34 C．47．（3分）（2022春·河南·高二期中）已知ξ的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则1a+1ξ1234P11abA．12 B．6 C．83 D．8．（3分）（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n),i=1n命题1：若pi=1n(i=1,2,⋯,n)命题2：若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y=j)=pj+则以下结论正确的是（

）A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确C．两个命题都错误 D．两个命题都正确二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·高二课时练习）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（

）A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak，（A．15a=1 B．PC．P0.1<ξ<0.6=0.211．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（

）X－101PabcA．a＝13 B．b＝C．c＝13 D．P(|X|＝1)＝12．（4分）（2022春·全国·高二期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记PX=a,Y=b表示X=a，Y=b同时发生的概率，则（

A．当n=3时，PB．当n=4时，PC．当n=k（k≥2且k∈N∗D．当n=2时，Y的均值为5三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；③某一天中长江的水位X3；④某次大型车展中销售汽车的数量X4．其中，所有离散型随机变量的序号为14．（4分）（2022春·全国·高二专题练习）若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝.15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）设随机变量X的分布列如下表：X1234P11m1则PX−2=1等于16．（4分）（2022·高二课时练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·高二课时练习）判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；（3）某单位下个月的用水量ξ；（4）某家庭上个月的电话费ξ.18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m试求：(1)2X+1的分布列；(2)X−1的分布列.19．（8分）（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列PX=(1)求常数a的值；(2)求PX≥(3)求P120．（8分）（2023·全国·高三专题练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．(1)若一次考试中甲答对的题数是ξ，求ξ的概率分布列，并求甲合格的概率；(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记Y为乙所得分数，求Y的概率分布列．21．（8分）（2022·高二课时练习）某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标ω=x+y+z的值评定身体素质等级，若ω≥4，则为一级；若2≤ω≤3，则为二级；若0≤ω≤1，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：编号AAAAAx,y,z0,1,01,2,12,1,12,2,20,1,1编号AAAAAx,y,z1,1,22,1,22,0,12,2,10,2,1（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量X=m−n，求X的分布列．22．（8分）（2022·高二课时练习）甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中