函数的单调性2023年

课题导入

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？xy02-22-2xy022-2-21.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性xyy=xO11··实例分析：画出函数y=x的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?xyy=xO11··实例分析：画出函数y=x的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?f(x1)x1xyy=xO11··实例分析：画出函数y=x的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?x1f(x1)xyy=xO11··实例分析：画出函数y=x的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?x1f(x1)xyy=xO11··实例1：画出函数y=x的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?x1f(x1)xyy=xO11··实例分析：画出函数y=x的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?x1f(x1)1.从左至右图象上升还是下降____? 2.在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．(-∞,+∞)增大上升Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象Oxy实例2：分析二次函数的图象观察函数图象,并指出函数的变化趋势?1.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．2.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．

(-∞,0](0,+∞)增大减小x01234…f(x)=x2014916…f(x2)x2x1f(x1)一、函数单调性定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

1．增函数x-4-3-2-10…f(x)=x2169410…f(x2)x2x1f(x1)

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数

3.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.1.如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].

二.典例精析特别注意：单调区间是定义域的子集，求单调区间时应先求定义域；单调区间应写成区间形式，不能写成不等式或集合形式；3函数有多个增（或减）区间时，只能用“，”或者用“和”，不能用“U”连接。

例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差结论变形p(V1)>p(V2)即例3.证明：函数在上是增函数.证明：在区间上任取两个值且

，且所以函数在区间上是增函数.思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？取值变形作差定号结论三、判断函数单调性的方法步骤

①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：强化训练：1.证明函数在上是增函数