第一节　导数的概念及其意义、导数的运算

第三章

|一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算1.通过实例分析，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即

，切线方程为

．k0＝f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)3．基本初等函数的导数公式5．复合函数的定义和导数(1)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))′是函数值f(x0)的导数且(f(x0))′＝0.(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．(3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．(4)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．(6)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．(7)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．(8)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆．1．(北师大版选择性必修第二册P57·T1改编)设f(x)＝e＋ln2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为

(

)2．(人教A版选择性必修第二册P81·T1改编)

下列导数的运算中不正确的是

(

)A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋x3．已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝alnx＋2在点(1,2)处的切线平行，则a＝

(

)A．1 B．2C．e D．2e答案：x＋2y－2＝05．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则f′(1)＝________.答案：－2层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)导数的运算

[题点全训]4．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为________．[一“点”就过](1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．2．已知函数f(x)＝g(x)·x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程是y＝2x－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是

(

)A．y＝x＋1 B．y＝4x－3C．y＝3x－2 D．y＝5x－4解析：由题意得，g(1)＝2×1－1＝1，g′(1)＝2，∴f(1)＝g(1)×12＝1，∵f′(x)＝g′(x)·x2＋2x·g(x)，∴f′(1)＝g′(1)＋2g(1)＝4，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4(x－1)＋1，即y＝4x－3.答案：B

层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)求曲线过某点的切线方程

[典例]若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为

(

)A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0[解析]

①易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，y′＝3x2，k＝12，切线方程为12x－y－16＝0.过点的切线方程的求解方法设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)[提醒]在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

[针对训练]1．设曲线y＝x＋lnx的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为

(

)2．(2022·合肥八中模拟)曲线y＝xlnx的一条切线过点(0，－3)，则该切线的斜率为________．重难点(二)求切点坐标或参数

[典例]

(1)(2022·开封一模)设函数f(x)＝alnx＋bx3在点(1，－1)处的切线经过点(0,1)，则实数a＋b的值为

(

)A．－2 B．－1C．0 D．1求切点、参数问题的方法通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．

[典例]

(2021·衡阳二模)若函数f(x)＝1－ax2(a>0)与g(x)＝1－lnx的图象存在公切线，则实数a的最小值为

(

)确定两曲线的公切线问题，切点是切线的核心，解决这类问题的关键是设出切点的坐标，用好相切的特征，即若两个函数的图象有相同的切线，则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等，构建方程(组)加以求解．

[针对训练]1．若曲线y＝ax2与曲线y＝lnx在它们的公共点处具有公共切线，则实数a的值为(

)2．(不理解瞬时变化率的意义)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________．解析：∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9)．答案：(－2,9)二、融会贯通应用创新题4．(体现数学应用)在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为R(t)．若圆柱的体积以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径

(

)A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为c2C．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为c25．(创新命题形式)(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(

)A．eb＜a B．ea＜bC．0＜a＜eb D．0＜b＜ea解析：当x→－∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于0，当x→＋∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于＋∞，结合图象可知，两切线的交点应该在x轴上方，且在曲线y＝ex的下方，∴0<b<ea，故选D.答案：D

6．(借助数学文化)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝e

，则f′(x)＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．解析：∵f(x)＝e

，故f′(x)＝(x2)′e

＝2xe

，则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝1.答案：2xe

y＝18．(强化开放思维)请写出与曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处具有相同切线的