第五节　二次函数与一元二次方程、不等式

第五节二次函数与一元二次方程、不等式1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．三个“二次”间的关系(1)绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．(3)不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．2．(苏教版必修第一册P62·T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________.答案：R4．(人教A版必修第一册P58·T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________．层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)一元二次不等式的解法

[题点全训]1．已知集合A＝{x|－x2＋x＋2＞0}，B＝{x|x2＋3x－4>0}，则A∩B＝

(

)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<1}C．{x|－4<x<2} D．{x|x<－4或x>－1}解析：集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|x<－4或x>1}，则A∩B＝{x|1<x<2}．答案：A

4．不等式0<x2－x－2≤4的解集为_____________________________________．[一“点”就过]解一元二次不等式的4个步骤基础点(二)三个“二次”关系的应用

[题点全训]1．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是{x|－1<x<2}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是

(

)[一“点”就过](1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)因没有掌握分类讨论的标准错解含参不等式——————————————————————————————————[典例]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．

[针对训练]解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.解：∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1.①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2；②当2a>a＋1，即a>1时，解得x<a＋1或x>2a；③当2a<a＋1，即a<1时，解得x<2a或x>a＋1.综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}；当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}；当a>1时，不等式的解集为{x|x<a＋1或x>2a}．重难点(一)一元二次不等式恒成立问题

考法1在R上的恒成立问题[例1]若关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，则实数m的取值范围为

(

)[解析]因为关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，所以关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1<0的解集为R，当m＝0时，原不等式为－x－1≥0，即x≤－1，不符合题意，舍去；考法2在给定区间上的恒成立问题[例2]当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是

(

)考法3给定参数范围的恒成立问题[例3]若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．[针对训练]1．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为

(

)2．函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________________________________________________________．重难点(二)一元二次不等式的实际应用

[典例]某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．求解不等式应用题的步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(2)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．

[针对训练]某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为________元．层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为

(

)2．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是

(

)A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]4．(创新命题形式)三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”．丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a的取值范围是

(

)A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[－1,4) D．[－1,6]7．(强化开放思维)已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一