第四节　直线、平面垂直的判定与性质

第四节直线、平面垂直的判定与性质1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题.1．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的

一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理任意(2)判定定理与性质定理(1)两个重要结论①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)三种垂直关系的转化1．(人教A版必修第二册P161·T2改编)已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是

(

)A．α⊥β且m⊂β

B．α⊥β且m∥βC．α∥β且m⊥β D．m⊥n且n∥α解析：对于A，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故A不能判断．对于B，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故B不能判断．对于C，由于一条直线m垂直于两个平行平面中的一个，那么直线m也垂直于另一个平面，故C正确．对于D，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故D不能判断．综上所述，选C.答案：C2．(人教A版必修第二册P158·T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是

(

)A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β答案：D3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对.答案：74．(湘教版必修第二册P173·T2改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________.答案：45°5．(人教A版必修第二册P152·T4改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案：(1)外(2)垂层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点与线、面垂直有关命题的判定

[题点全训]1．(2021·太原三模)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是

(

)A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β解析：对A，若m∥n，m∥α，n∥β，则α，β平行或相交，故A错误；对B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行或异面，故B错误；对C，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β平行或相交，故C错误；对D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．答案：D

2.(2021·浙江高考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则

(

)A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1解析：如图，连接AD1.因为四边形ADD1A1是正方形，且M是A1D的中点，所以点M是AD1的中点，A1D⊥AD1.又AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABD1.又D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，所以B错误．由图易知直线A1D与直线D1B异面，所以C错误．因为M，N分别是AD1，D1B的中点，所以MN∥AB.又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，所以A正确．取AA1的中点E，连接NE，EB，ED1，ED，EB1，B1D，则B1D交D1B于点N.易证EB＝ED1，ED＝EB1.又N是D1B，B1D的中点，所以EN⊥D1B，EN⊥B1D.又D1B∩B1D＝N，所以EN⊥平面BDD1B1.而MN∩NE＝N，所以MN与平面BDD1B1不垂直，所以D错误．故选A.答案：A

3.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论错误的是

(

)A．AD∥平面PBC B．平面PAC⊥平面PBDC．平面PAB⊥平面PAC D．平面PAD⊥平面PDC解析：由四边形ABCD为正方形，可得AD∥BC，∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴A正确．在正方形ABCD中，AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD，∴B正确．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，显然∠BAC＝45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立，∴C不正确．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC，∴D正确．答案：C

[一“点”就过]解决空间中线面、面面垂直问题的方法(1)依据定理得出结论；(2)可结合符合题意的图形作出判断；(3)否定命题时只需举一个反例．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)直线与平面垂直的判定与性质

[典例]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．(1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1-ADF的体积．[解]

(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.又B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.由题意，可知C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∠B1C1F＝∠FCD＝90°，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.又AD⊥B1F，AD，FD⊂平面ADF，且AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF.[方法技巧]判定线面垂直的四种方法[方法技巧]1．证明面面垂直的方法2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决[针对训练]如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱锥P-ABC的体积．重难点(三)平行、垂直关系的综合应用

[典例]如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.[证明]

(1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP.又AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.(2)由(1)知CD⊥AP，又因为CD⊥PD，PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD

①.因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD.又AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD

②.由①②得CD∥AB，因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.[方法技巧]有关立体几何综合问题的解题方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过做辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直的性质及判定的综合应用．

[针对训练]如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°.M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．(1)求证：CD∥平面MNQ；(2)求证：平面MNQ⊥平面CAD.证明：(1)在△ACD中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以CD∥平面MNQ.(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，所以MN⊥AD.因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面CAD，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面CAD.垂直关系中的折叠问题在解决折叠问题时，容易混淆折叠前后变化的量与不变的量，出现这一情况的原因就是空间想象能力不足．——————————————————————————————————[典例]如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．解决折叠问题的关键有两点：①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；②分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变．[针对训练]如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且AE＝BF＝AB＝1，将△ADE沿AD折起，同时将△BCF沿BC折起．使得E，F两点重合为点P.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求点D到平面PBC的距离h.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB，又AD⊥PA，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AD⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视线面垂直定义)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的

(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．答案：B

2．(忽视位置关系中的分类讨论)已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面

(

)A．有且只有一个

B．至多有一个C．有一个或无数多个

D．不存在解析：当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线不互相垂直时满足条件的平面有0个．答案：B

3．(不会构造模型解题)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(

)A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β B．若m∥α，n⊥α，则m⊥nC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若m∥α，n∥α，则m∥n解析：在如图所示的正方体中依次判断各个选项．A选项，面ABCD⊥面ADD1A1，AA1⊥面ABCD，此时AA1⊂面ADD1A1，可知A错误；B选项，m∥α，则α内必存在直线，使得m∥l，又n⊥α，则n⊥l，可知n⊥m，可知B正确；C选项，取AA1和DD1中点E和F，可知A1D1∥面ABCD，EF∥面ABCD，A1D1，EF⊂面ADD1A1，此时面ADD1A1⊥面ABCD，可知C错误；D选项，AA1∥面BCC1B1，AD∥面BCC1B1，此时AA1∩AD＝A，可知D错误．答案：B

4.(垂直关系利用不当)如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB