第55课　平面与平面平行

6.4平面与平面的位置关系6.4.1平面与平面平行第六单元

立体几何情境引入概念形成例题分析巩固练习小结作业情境引入

如图6-45(1),观察教室的天花板、地面、墙面以及桌面,思考如下几个问题.(1)天花板所在平面与地面所在平面的位置关系是什么?(2)墙面所在平面与地面所在平面的位置关系又是什么?(3)技术人员经常用水平仪(如图6-45(2))检测桌面是否水平,他们将水平仪在桌面上交叉放置两次,如果每次水平仪的水泡都在正中央,就表示桌面是水平的,检测过程中用到了直线与平面以及直线与直线的哪些位置关系?平面与平面的平行情境引入

天花板所在平面与地面所在平面,没有公共点;墙面所在平面与地面所在平面有公共点,而且所有的公共点构成一条直线.水平仪放置两次,水泡都在正中央,说明水平仪所在的直线与地面都平行,并且这两次放置时水平仪所在直线是相交关系.

分

析

理

解概念形成

由上述实例以及对长方体模型的观察、思考,我们可以看出,两个平面之间的关系有且只有两种.平面与平面的平行

(1)

两个平面平行,即两个平面没有公共点.如图6-46(1),平面α与平面β平行,记作α//β.

(2)

两个平面相交,即两个平面有且只有一条公共直线.如图6-46(2),平面α与平面β交于直线l,记作α∩β=l.概念形成

观察长方体模型,如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,不能判断两个平面是否平行;如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面都平行,也不能判断这两个平面平行.在水平仪检测的过程中,我们发现两次放置水平仪时,它们所在的直线是相交的.由此,我们引出平面与平面平行的判定定理.平面与平面的平行概念形成

定理如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.平面与平面的平行

如图6-47,上述定理可以用数学语言表述为:

a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,a∩b=P

⇒α∥β.概念形成推论

如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.平面与平面的平行

如图6-48,上述定理可以用数学语言表述为:a∥a',b∥b',a⊂α,b⊂α,

a∩b=P,

a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α∥β.

根据平面与平面平行的判定定理以及直线与平面平行的判定定理可以得到如下推论.

概念形成定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.平面与平面的平行如图6-49,上述定理可以用数学语言表述为:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.

我们知道,如果平面α与平面β平行,那么平面α内的直线与平面β内的直线就没有公共点,所以平面α内的直线与平面β内的直线的位置关系只可能是平行或异面,哪些情况是平行呢?

一般地,我们有下面的平面与平面平行的性质定理.例题分析例1如图6-50,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面ABC∥平面DEF.【分析】要想证明两个平面平行,可以用平面与平面平行的判定定理,也可以用它对应的推论.根据本题的实际情况,在两个平面内各找两条相交直线分别平行可以更快地证明面面平行.证明:连接DE,DF,EF.因为D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,DF∥AC.又因为DE⊂平面DEF,DF⊂平面DEF,DE∩DF=D,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,AB∩AC=A,所以由平面与平面平行的判定定理的推论得平面ABC∥平面DEF.例题分析例2

如图6-51,平面α与平面β平行,直线AB分别交平面α,β于点A,B,直线CD分别交平面α,β于点C,D,AB∩CD=O,点O在两个平面之间,AO=5,BO=10,CO=6,求CD.【分析】通过初步观察,猜测直线AC∥BD.若这两条直线平行,我们可以证得△OAC∽△OBD,进而根据相似三角形的性质求出CD.那么如何证明AC∥BD,这就需要用到平面与平面平行的性质定理.例题分析例2

如图6-51,平面α与平面β平行,直线AB分别交平面α,β于点A,B,直线CD分别交平面α,β于点C,D,AB∩CD=O,点O在两个平面之间,AO=5,BO=10,CO=6,求CD.证明

∵AB∩CD=O,∴AB与CD可以确定一个平面,记为平面γ,∴点A,B,C,D,O都在平面γ内,

∴α∩γ=AC,β∩γ=BD.又∵α∥β,

∴由平面与平面平行的性质定理得AC∥BD,

∴∠A=∠B,∠C=∠D,∴△OAC∽△OBD,

∴AO/BO=CO/DO.又∵AO=5,BO=10,CO=6,

∴DO=12,∴CD=CO+DO=18.巩固练习1.已知α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b的关系为().A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.下列说法错误的是().A.如果一个平面内的任一直线都平行于另外一个平面,那么这两个平面平行.B.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线必平行于另外一个平面.C.分别在两个平行平面内的两条直线一定平行.D.若一个平面与两个平行平面相交,则交线必平行.3.空间两个平面的位置关系有______和______.巩固练习4.若平面α∥平面γ,平面β∥平面γ,则α与β的位置关系为______.5.如图,在正方体

中,求证:平面

∥平面

.①能够通过直观感受和操作确认，归纳并理解面面平行的判定定理，并能用它证明一些简单问题。②能准确应用数学符号语言、图形语言、文字语言表述判定定理，进一步培养