四川省成都市成华区2019届九年级中考第二次诊断性检测数学试题（解析版）

2019年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷一、单选题（每题3分，满分30分）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．2．下列运算正确的是（）A．﹣（2a）2＝﹣2a2 B．2（a﹣1）＝2a﹣1 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2﹣2a2＝a23．铁路总公司发布数据称，2019年春运期间，全国铁路累计发送旅客达到3.1亿人次，数据3.1亿用科学记数法表示为（）A．31×107 B．3.1×105 C．3.1×108 D．3.1×1064．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图5．若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜16．下列说法正确的是（）A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2 B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分 D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃7．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D为（）A．85° B．75° C．60° D．30°8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是（）A．1 B．2 C． D．9．如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0二、填空题（每题4分，满分16分）11．若式子有意义，则x的取值范围是．12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是．13．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交x轴的正半轴于一点C，则点C的坐标是．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点E，交BC于点F，再分别以点E、F为圆心大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G，射线BG交CD的延长线于点H，则DH的长是．三、解答题（54分）15．（12分）计算：（1）（）﹣1++（）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|；（2）解不等式组：16．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中|x|＝2．17．（8分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．18．（8分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）19．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A（﹣1，﹣4）和点B（4，m）（1）求这两个函数的解析式；（2）已知直线AB交y轴于点C，点P（n，0）在x轴的负半轴上，若△BCP为等腰三角形，求n的值．20．（10分）如图，以△4BC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．一、填空题（20分）21．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为．22．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为．23．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是cm．24．已知一个矩形纸片ABCD，AB＝12，BC＝6，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C落在C'处；DC'，EC'分别交AB于F，G，若GE＝GF，则sin∠CDE的值为．25．如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为．二、解答题（30分）26．（8分）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70＜a＜80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．27．（10分）正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点．（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF．（2）连接CG并延长交AB于点H，①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点M是第二象限抛物线上的点，连接OM交直线AB于点C，设点M的横坐标为m，MC，OC的比值为k，求k与m的函数关系式，并求k的最大值；（3）若抛物线上有且仅有三个点P1，P2，P3，使得△ABP1，△ABP2，△ABP3的面积均为定值S，求P1，P2，P3这三个点的坐标，并求出定值S的值．

2019年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷参考答案一、单选题1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．下列运算正确的是（）A．﹣（2a）2＝﹣2a2 B．2（a﹣1）＝2a﹣1 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2﹣2a2＝a2【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．【解答】解：A、﹣（2a）2＝﹣4a2，故此选项错误；B、2（a﹣1）＝2a﹣2，故此选项错误；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；D、3a2﹣2a2＝a2，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．铁路总公司发布数据称，2019年春运期间，全国铁路累计发送旅客达到3.1亿人次，数据3.1亿用科学记数法表示为（）A．31×107 B．3.1×105 C．3.1×108 D．3.1×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数据3.1亿用科学记数法表示为3.1×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．5．若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6．下列说法正确的是（）A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2 B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分 D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，该日气温的极差是7﹣（﹣2）＝9℃，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．7．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D为（）A．85° B．75° C．60° D．30°【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD＝CE得出∠D＝∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是（）A．1 B．2 C． D．【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．【解答】解：∵点A（4，2），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，∴C（2，1），则OC的长度＝．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．9．如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由切线的性质知∠OCB＝90°，再根据平行线的性质得∠COD＝90°，最后由圆周角定理可得答案．【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB＝90°，∵OD∥AB，∴∠COD＝90°，∴∠CED＝∠COD＝45°，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（16分）11．若式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案是：x≥﹣2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是．【分析】由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．【解答】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：＝．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交x轴的正半轴于一点C，则点C的坐标是（﹣2，0）．【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到A（﹣2，0），B（0，1），再利用勾股定理计算出AB＝，然后根据圆的半径相等得到AC＝AB＝，进而解答即可．【解答】解：当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，则A（﹣2，0）；当x＝0时，y＝x+1＝1，则B（0，1），所以AB＝，因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，所以AC＝AB＝，所以OC＝AC﹣AO＝﹣2，所以的C的坐标为（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点E，交BC于点F，再分别以点E、F为圆心大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G，射线BG交CD的延长线于点H，则DH的长是3．【分析】根据角平分线的作图和平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：由作图可知：BH是∠ABC的角平分线，∴∠ABG＝∠GBC，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC，∴∠ABG＝∠AGB，∴AG＝AB＝4，∴GD＝AD＝AG＝7﹣4＝3，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠H＝∠ABH＝∠AGB，∵∠AGB＝∠HGD，∴∠H＝∠HGD，∴DH＝GD＝3，故答案为：3【点评】此题主要考查了角平分线的做法以及平行四边形的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ABG＝∠GBC是解题关键．三、解答题（54分）15．（12分）计算：（1）（）﹣1++（）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|；（2）解不等式组：【分析】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的性质计算，即可得到结果；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：（1）原式＝2++1﹣2×+3﹣π＝5+﹣π；（2）解不等式①，得x＞﹣4，解不等式②，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤2．【点评】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．16．（6分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中|x|＝2．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据|x|＝2即可解答本题．【解答】解：÷（﹣x﹣2）＝＝＝＝，∵|x|＝2，x﹣2≠0，解得，x＝﹣2，∴原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17．（8分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%＝50（人）；（2）A组所占圆心角的度数是：360°×＝108°；C组的人数有：50﹣15﹣19﹣4＝12（人），补全条形图如图所示：（3）画树状图，共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个，∴P（恰好选中甲）＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．18．（8分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）【分析】如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．在Rt△CEM中，∵tan∠ECM＝＝0.63，∴＝0.63①，在Rt△DEN中，∵tan∠EDN＝＝1.47，∴＝1.47②，由①②可得y＝50，答：楼间距AB的长度为50m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．19．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于A（﹣1，﹣4）和点B（4，m）（1）求这两个函数的解析式；（2）已知直线AB交y轴于点C，点P（n，0）在x轴的负半轴上，若△BCP为等腰三角形，求n的值．【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k2，进而求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入一次函数解析式中，即可得出结论；（2）利用两点间的距离公式表示出BC2＝32，CP2＝n2+9，BP2＝（n﹣4）2+1，再分三种情况利用两腰相等建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y＝（k2≠0）的图象上，∴k2＝﹣1×（﹣4）＝4，∴反比例函数解析式为y＝，将点B（4，m）代入反比例函数y＝中，得m＝1，∴B（4，1），将点A（﹣1，﹣4），B（4，1）代入一次函数y＝k1x+b中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；（2）由（1）知，直线AB解析式为y＝x﹣3，∴C（0，﹣3），∵B（4，1），P（n，0），∴BC2＝32，CP2＝n2+9，BP2＝（n﹣4）2+1，∵△BCP为等腰三角形，∴①当BC＝CP时，∴32＝n2+9，∴n＝（舍）或n＝﹣，②当BC＝BP时，32＝（n﹣4）2+1，∴n＝4+（舍）或n＝4﹣，③当CP＝BP时，n2+9＝（n﹣4）2+1，∴n＝1（舍），即：满足条件的n为﹣或（4﹣）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．20．（10分）如图，以△4BC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）探究线段EB，EC，ED之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（3）若BC＝，CE＝，求⊙O的半径长．【分析】（1）连接OD，根据圆周角和圆心角的2倍数量关系，可以得到∠DOC＝90°，再利用平行推出∠ODE＝90°．（2）连接CD，证明△CDE∽△BDE，即可得到DE2＝CE•BE．（3）根据（2）的结论可以求出DE的长度，过E作CD的垂线，可得到一个等腰直角三角形，可解边长，再根据勾股定理可得到CD的长度，从而得到半径的长度．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AC为圆O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE＝45°，∴∠DOC＝90°，∵AC∥DE，∴∠ODE＝90°，∴DE为⊙O的切线．（2）如图所示，连接CD，∵∠CDE＝∠DCA＝∠DBA＝45°，∠E＝∠DBE，∴△DCE∽△BDE，∴，∴DE2＝CE•BE．（3）如图所示，连接OD、CD，过点E作CD的垂线，垂足为H，∵DE2＝CE•BE，BC＝，CE＝，解得DE＝4，∵∠HDE＝45°，∴DH＝HE＝4•sin∠HDE＝2，在Rt△CHE中，CH＝＝，∴CD＝3，∴OD＝OC＝3•sin∠ODC＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】此题考查了圆的性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，还考查了相似三角形的性质及其判定．找到相似三角形为解题关键．一、填空题（20分）21．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为12．【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，∴（a+1）2﹣（b﹣1）2＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）＝（a+b）（a﹣b+2）＝4×（1+2）＝12．故答案是：12．【点评】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．22．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为1．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6，整理得，3x+3＝6，解得，x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．23．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是cm．【分析】根据垂径定理求出BE，根据相交弦定理求出EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵BD⊥AO，∴BE＝ED＝BD＝4，由相交弦定理得，EA•EC＝EB•ED，即2×EC＝4×4，解得，EC＝8，∴AC＝10，由勾股定理得，BC＝＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝BC＝2，∴OF＝＝（cm），故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．24．已知一个矩形纸片ABCD，AB＝12，BC＝6，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C落在C'处；DC'，EC'分别交AB于F，G，若GE＝GF，则sin∠CDE的值为．【分析】设EC＝x，BE＝x，根据折叠的对称性可得C′E＝CE＝x．证明△FC′G≌△EBG，Rt△FC′E≌Rt△EBF，则FC′和BF均可用x表示，所以在Rt△ADF中，DF、AF也可用x表示出来，再用勾股定理可求x值，最后在Rt△DCE中求解sin∠CDE．【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x．根据折叠的对称性可知DC′＝DC＝12，C′E＝CE＝x．在△FC′G和△EBG中，∴△FC′G≌△EBG（AAS）．∴FC′＝BE＝6﹣x．∴DF＝12﹣（6﹣x）＝6+x．在Rt△FC′E和Rt△EBF中，，∴Rt△FC′E≌Rt△EBF（HL）．∴FB＝EC′＝x．∴AF＝12﹣x．在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，即36+（12﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝4．∴CE＝4．在Rt△CDE中，DE2＝DC2+CE2，则DE＝4．∴sin∠CDE＝．故答案为．【点评】本题主要考查折叠的对称性、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是运用对称和全等三角形进行线段的转化，在Rt△中利用勾股定理求解线段长度．25．如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为8．【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN计算即可．【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），∴直线AB解析式为y′＝﹣2x′+8，由，解得或，∴M（1，6），N（3，2），∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝•4•6﹣•4•2＝8，故答案为8．【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、解答题（30分）26．（8分）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元（70＜a＜80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．【分析】（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，根据数量＝总价÷单价结合用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器（50﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合总价不超过9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由总利润＝每台利润×购进数量，即可得出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，依题意，得：＝，解得：x＝1800，经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合题意，∴x+200＝2000．答：每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元．（2）设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器（50﹣m）台，依题意，得：2000m+1800（50﹣m）≤98000，解得：m≤20．W＝（2500﹣2000﹣a）m+（2200﹣1800）（50﹣m）＝（100﹣a）m+20000，∵100﹣a＞0，∴W随m值的增大而增大，∴当m＝20时，W取得最大值，最大值为（22000﹣20a）元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．27．（10分）正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点．（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF．（2）连接CG并延长交AB于点H，①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．【分析】（1）①由正方形的性质得出AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论；②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE＝∠CBF，证出∠AGB＝90°，即可得出结论；（2）①由直角三角形的性质得出CF＝BE＝BC＝2，由勾股定理得出BF＝2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE＝∠ABE＝90°，证明△BEG∽△AEB，得出＝＝，设GE＝x，则BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG＝2×＝，由平行线得出＝，即可得出BH的长；②由（1）得：∠AGB＝90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM＝AB＝BM＝2，由平行线得出＝＝1，证出CF＝CG＝BE，设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；②由①得：△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：①如图2所示：∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝2，∴BF＝＝2，由（1）得：AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°，∵∠BEG＝∠AEB，∴△BEG∽△AEB，∴＝＝，设GE＝x，则BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22，解得：x＝，∴BG＝2×＝，∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得：BH＝；②由（1）得：∠AGB＝90°，∴点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∴GM＝AB＝BM＝2，∵AB∥CD，∴＝＝1，∴CF＝CG，∵CF＝BE，∴CF＝CG＝BE，设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2，解得：a＝2﹣2，即当CG取得最小值时，BE的长为2﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点M是第二象限抛物线上