2023年高考真题-数学（新高考Ⅰ卷）含解析

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I卷）

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合时={-2，-1，0,1,2},'平卜一x-6N0},则舷2=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N=kk2—x—6zo}=（_8,_2]u[3,+e）,而知={—2,—1,0,1,2},

所以McN={—2}.

故选：C.

方法二：因为加={—2,—1,0,1,2},将一2,-1,0,1,2代入不等式d—x—620,只有—2使不等式成立，所

以McN={-2}.

故选：C.

1-i_

2.已知z=-----,则z-z=()

2+2i

A.-iB.iC.OD.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到]，从而解出.

【详解】因为z=G=扣缶寸=丁=m，所以z=＞即z-z-

故选：A.

3.已知向量0=(1,1),6=(1,—1),若(。+劝)，(。+9)，则()

A.彳+〃=1B.X+〃=-1

C.切=1D.沏=-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出4+/18，〃+〃％，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为a=(l』),b=(l,—1),所以0+/1力=(1+%1—/1),a+〃/7=(l+〃,l—〃)，

由(a+2Z?)J.(a+可得，++=0,

即(l+/l)(l+〃)+(l_/l)(l_M)=0,整理得：初=—1.

故选：D.

4.设函数/(%)=2"(』)在区间(0,1)上单调递减，则”的取值范围是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2，R匕单调递增，而函数/(x)=2**")在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数,=%。一。)=。一］)2-亍在区间(0,1)上单调递减，因此■|zi,解得a22,

所以。的取值范围是［2,+8).

故选：D

2二

5.设椭圆6：3+丁2=1(4>1),(7,：上+：/=1的离心率分别为弓,62.若％=&［，则。=()

CT4

A.毡B.72C.V3D.

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由e,得e；=3e；,因此t1=3、£4，而。>1,所以。=空.

故选：A

6.过点(0,一2)与圆/+丁-叙-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.-C.-D.—

444

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长,

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得公+8攵+1=0,利用韦达定理结

合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为/+丁-4*-1=0,即(x—2)2+V=5,可得圆心C(2,0),半径r=㈠，

过点P(0,—2)作圆C的切线，切点为A,B,

因为|PC|=百+(-2)2=272,则|PA|=JpC|2-r2=6,

可得sin/APC=g=亚，cos/APC=*^=逅，

2<242<24

则sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x—x—=—,

4

cosZ.APB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC--<0,

4

即NAP8为钝角,

所以sina=sin（兀一NAPB）=sinZAPB=；

法二：圆X?+丁一4x-l=0的圆心C（2,0）,半径r=6,

过点P（0,—2）作圆C的切线，切点为A,6,连接A8,

可得|PC|=百+（—2『=2痣，则|PA|=|PB|=y）\PCf-r2=

因|PA|2+归砰-2\P^[-\PB\COSZAPB=|C4「+\CBf-2|C4|-|C5|cosNACB

且ZACB=TT—ZAP6,则3+3—6cosZAP3=5+5—10cos（7t—ZAPB）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosNAPB=—,<0,

4

（71-ZAPB）=—cosZAPB=；

即ZAPB为钝角，贝（lcosa=cos

且。为锐角，所以sina=Jl-cos2a；

4

方法三：圆V+y2-4x-l=0的圆心C（2,0）,半径「=有,

若切线斜率不存在，则切线方程为y=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程y=kx-2,即点一y-2=0,

2左一2厂

则."5,整理得上2+82+1=0,且△=64-4=60>0

VF+1

设两切线斜率分别为勺，左2,则吊=-8，桃2=1，

可得L_网|=1（%+攵2）--4"2=2A/L5，

口门sinarrz一3sina

所以tana=—~—=V15,即-----=A/15,可得coscc——-r=-

l+422cosaV15

sin2a

则sin2a+cos2a=sin,a+

15

且々£[0,万),则sina>(),解得sina=；.

故选：B.

S

7.记S〃为数列｛aj的前〃项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛。｝为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第"项的关系推理判断

作答.，

【详解】方法1,甲：｛%｝为等差数列，设其首项为q,公差为d,

cn(n-l).Sn-1,d

nlndS〃+1工上

贝ijS=nci,H-------d,—=a1d----d=-72+---------,

2n2212n+ln2

因此｛。｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

cS

S“nS-(/j+l)S„na„.-1-S„

反之‘乙：寸为等差数列，即意—=-肚w5=-^—为常数设为f,

nn(7?+l)"(〃+l)

nan+.-Sn

即————-=/则S“=〃a“+|-/•〃(〃+1),有5„_1=(n-V)an-t-n(n-\\n>2,

两式相减得：a”=〃a”+i-（〃一l）a”—，BPan+i—an=2t,对〃=1也成立,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛a,,｝为等差数列，设数列｛4｝的首项为,公差为d,即S,=叫+妁,"

则号t=4+%二=+因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件：

n222n

qSSS

反之，乙：｛口｝为等差数列，即一一^=。,。=5+5-1)。，

n〃+1nn

即Sn=〃S]+〃(〃—1)。，S〃_]=(n—1)S]+(n-1)(/?—2)Z),

当力22时，上两式相减得：S〃-S,i=E+2(〃—l)O,当拉=1时，上式成立，

于是。〃=4+2(〃-1)£),又=q+2〃。一[卬+2(〃-1)。]=2。为常数，

因此｛a,,｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8.已知sin(a-Q)=LcosasinP=',则cos(2c+24)=().

36

7117

A.-B.-C.----D.----

9999

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(e+£),再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为sin(a—夕)=sinacos夕一cosasin尸=1，而cosasin£=」，因此sinacos/?=」，

362

2

则sin(a+〃)=sinacosp+cosasm/3

2i

所以cos(2«+2用)=cos2(a+/)=1-2sin?(a+£)=1—2x(j)2=—.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解

题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含己知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据内,马，…，工6，其中*1是最小值，%是最大值，则（）

A.x2,x3,x4,x5的平均数等于玉,々,…％的平均数

B.々，了3，/，毛的中位数等于玉，々，一,，4的中位数

C.XT,Xy,x^,Xj的标准差不小于玉,W"6的标推差

D.々,工,%,毛的极差不大于玉,々，…，毛的极差

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A:设了2，七，》4，七的平均数为加，^，々，…，4的平均数为"，

则〃_加=%+々+1+七+%5+入6_々+X3+X4+X5=2（一+4）一（卜+々+*3+、4）

6412

因为没有确定2（%+/）,%+%+毛+匕的大小关系，所以无法判断m，〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃2=“=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得〃z=l,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得相=2,〃=口；故A错误；

6

对于选项B:不妨设演＜工3＜工4＜与＜4，

可知々,工3，Z，*5的中位数等于N，工2，…，毛的中位数均为j"，故B正确；

对于选项C：因为Xj是最小值，%是最大值，

则々,％3,Z，*5的波动性不大于Xt,X2,---,X6的波动性,即乙,孙％X5的标准差不大于内,々，…，X6的标准

差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=1（2+4+6+8+10+12）=7,

6

标准差s,二曲（2—7）2+（4—7）2+（6—7）2+（8—7『+（10—7）2+（12—7）2]=粤1,

4,6,8,10,则平均数〃z=；(4+6+8+10)=7,

2222

标准差52=^[(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)]=布-

显然，型>5,即MAS?；故C错误；

3

对于选项D：不妨设%!<x2<x3<x4<x5<x6,

则毛一玉2毛一工2，当且仅当玉=%2，/=工6时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

n

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=20x1g上，其中常数

Po

〃o(〃o>°)是听觉下限阈值，，是实际声压•下表为不同声源的声压级：

与声源的距离

声源声压级/dB

/m

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为0,。2,2,则().

A.Pi>p2B.p2>10/73

C.Py=100p0D.P1<100p2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可知4,G[60,90],e[50,60],4=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知:与《60,90],么2G[50,60],4=40,

对于选项A：可得4=20xlga_20xlg£^=20xlg且，

PoPoPl

因为则人一幺=2°xlgaNO,BPlgA>0,

PlPl

所以221且〃]，P2>0,可得P|N%，故A正确；

“2

对于选项B：可得4,_乙=20xlg上_20xlg包=20xlgR,

PoPoPi

因为L-L=L—40210,贝i]20xlgRzl0,即怆隹2〈，

P3P32

所以及N&且。2，P3>0,可得五P3，

P3

当且仅当Lp?=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4,=20xlg2.=40,即1g以=2,

PoPo

可得上=100,即p3=lOOpo,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：4,=20xlg包，

〃2

且Lp-Lp2<90-50=40,则20xlgA<40,

Pl

即怆且42,可得且4100,且p”p2>0,所以P14100p2,故D正确；

P1〃2

故选：ACD.

11.已知函数/(X)的定义域为R,/(Ay)=y2/(x)+x7(y),则().

A."0)=0B."1)=0

C./(力是偶函数D.x=0为“X)的极小值点

【答案】ABC

【解析】

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(x)=0即可排除选

项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(x)=(11进行判断即可.

0,x=0

【详解】方法一：

因为/(孙)=广/(幻+//(历，

对于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=—l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=TJ(-x)=/(》)+^7(-1)=/(x)，

又函数/(x)的定义域为R,所以/(X)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令f(x)=o,显然符合题设条件，此时/")无极值，故D错误.

方法二：

因f(xy)=y2f\x)+x2f(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+"(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=—l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=-1"(一x)=/(x)+x2/(-l)=/(%),

又函数"X)的定义域为R,所以/")为偶函数，故c正确,

,/(>')

对于D,当-y2Ho时，对孙)=：//(尤)+Y/(y)两边同时除以》2>2,得到勺红

v2十、,2

xy

故可以设△^=ln|x|(xw0),则f(x)=/皿才""°,

x[0,x=0

当x>0肘，/(%)=x2Inx,则/'(x)=2xlnx+%2.—=x(21nx+l),

令/'(x)<0,得o<x<eT；令制x)>0,得x>H；

故f(x)在0,e/)上单调递减，在(屋?,+8上单调递增，

(I\(_1A

因为/(x)为偶函数，所以/(*)在-15,0上单调递增，在-8,e—5上单调递减，

77

显然，此时X=0是/*）的极大值，故D错误.

故选：ABC.

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为Q99m＜lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为&m，且垃＞1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为百m，且百＜1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为Gm，且百〉1.2，

设正方体ABC。-AAG。的中心为。，以AG为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心。到正方体的表

面的最近的距离为〃m,

如图，结合对称性可知：OG=g£A=等,=0。］一。01=弓一°6，

则表=修，即解得它一篝皿川仙

所以能够被整体放入正方体内，故D正确;

【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合

正方体以及圆柱的性质分析判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每

类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【解析】

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C；C；=16种;

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C；=24种;

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

14.在正四棱台ABC。—44GA中，A8=2，A4=LAA=0，则该棱台的体积为

［答案］亥##［指

66

【解析】

【分析】结合图像，依次求得AO，AO，AM,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作垂足为M,易知4M为四棱台ABCD—AgGA的高,

因为AB=2，A4=1,胡=叵，

则aa小G=?何4=%,AO=gAC=；x6AB=6,

则AM=^A^-AM2坐,

故AM=a（AC-AG）=5-，,=^2-1=

故答案为：坟.

6

15.已知函数4x)=cos3x—1(。>0)在区间[0,2可有且仅有3个零点，则0的取值范围是.

【答案】【2,3)

【解析】

【分析】令f(x)=O,得COS&X=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】因为0Wx<2兀，所以OWmxW9,

令/(x)=cosox—l=0,则COS5=1有3个根，

令r=则cosf=l有3个根，其中re[O,2<2M],

结合余弦函数y=cosr的图像性质可得4兀W2s<6兀，故2W0<3,

斗片I

'……77、……7y、…那7T

O_\_Z2«X^Z4K6«/

l^XJOS/

故答案为：⑵3).

r2v2

16.已知双曲线C：r-4=1(。>0力〉0)的左、右焦点分别为耳，居.点A在。上，点区在y轴上,

crb-

9

FlAlFlB,F2A=--F2Bf则。的离心率为.

【答案】述##-V5

55

【解析】

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到|伍|,|3巴|,|36|,|4£|关于凡加的表达式，

从而利用勾股定理求得"=加，进而利用余弦定理得到a，。的齐次方程，从而得解.

52

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得%=；，，%=-]/，/=4。2,将点A代入双曲

线。得到关于Ac的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意,设|A周=2根，则忸图=3m=|防=+

在Rt.A3大中，9m2+（2a+2加y=25加2,则（。+3/〃）（。一㈤=0,故。=加或a=-3相（舍去），

所以|Af；|=4z,|A阊=2a,忸闾=忸耳|=3a,则|阴=5匹

Ml_4。_4

故cosNGAU

]AB[-5a-5

16片+4/72—4M4

所以在片6中，cosZFAF,=———-———整理得5c2=9",

2x4。x2。5

方法二:

依题意，得月(一c,0),玛(c,0),令A(%为),5(01),

2__252

因为EAr=_]K6,所以(x()_c,%)=_§(—cj),则Xo=§c,

82、R2

(c,r)=-c2—r=0,则/=42,

[33J33C

又点A在C上，则99整理得里•一丝r=l，则与一号=1，

-一三=19a29b19a29bz

ab

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,gp25c2（c2-a2）-16a2c2=9a2（c2-a2）,

4222222

整理得25c”-50c2+9a=0，则（5c?-9a）（5c-a）=0,解得5c2=9a或5c=a，

又e>l,所以e=空或e=4S（舍去），故《=芷.

555

故答案为：土叵.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定

理得到关于瓦c的齐次方程，从而得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在中，A+3=3C,2sin（A—C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）设AB=5,求A8边上的高.

【答案】（1）3叵

10

（2）6

【解析】

【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin5,再由正弦定理求出〃，根据等面积法

求解即可.

【小问1详解】

A+B=3C,

71

7i—C=3C,即C=—,

4

又2sin（A-C）=sinB=sin（A+C）,

2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC4-cosAsinC，

/.sinAcosC=3cosAsinC，

/.sinA=3cosA,

即tanA=3,所以0<A<；,

2

,,sinA3=3V10

Vioio

【小问2详解】

i_Vio

由(1)知，cosA

7!o__io"，

_口3屈屈、_2出

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinCio+-w-

<2#>

h5x----

由正弦定理，上•=一」一，可得b=-=2而，

sinCsinBV2

T

:.-ABh=-ABACsinA,

22

h=bsinA-2^10x—=6.

10

18.如图，在正四棱柱ABCD-A耳CQ中，AB=2,AA=4.点分别在棱

AAy,BB1,CC,,DD］上，AA,=1,BB-,=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：82c2〃43；

(2)点P在棱8片上，当二面角「一4。2-3为150。时，求82P.

【答案】(1)证明见解析;

(2)1

【解

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设P(0,2,/l)(0W；l<4),利用向量法求二面角，建立方程求出2即可得解.

【小问1详解】

以。为坐标原点，C£>,C3,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),2(2,0,2),4(2,2,1),

B2c2=(0,-2,l),AD2=(0,-2,l),

B2c，

又与G，43不在同一条直线上，

B2cJ/%%

【小问2详解】

设尸(0,2,4)(04),

则4G=(-2,-2,2),0。2=(0,-2,3-2)，3。2=(一2,0,1)，

设平面PA2c2的法向量n=(x,y,z),

n-A,C,--2x-2y+2z=0

则，

n-PC2=-2y+(3-2)z=0

令z=2,得y=3—X,x=4-1,

n(A—1,3—A,2)>

设平面A2cz。2的法向量根=(a,b,c),

ITI,Ac,=—2a—2b+2c—0

则〈一7，

m-D2c2=-2。+c=0

令a=1,得人=1,c=2,

/.m=(l,l,2),

/\〃•加6/

/.cos(",in}=—n—=「/=Icos150°|=—

'/n||m厨4+(--1)2+(3产2

化简可得，%_4彳+3=0,

解得X=1或4=3,

P(0,2,1)或尸(0,2,3),

：.B2P=\.

19.己知函数/(x)=a(e*+a)-x.

(1)讨论/(x)单调性；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21na+1.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求导，再分类讨论aWO与a>()两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为_L—go>。的恒成立问题，构造函数

2

g(a)=Y_始a(a>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数〃(x)=e'-x-l,证得e'Nx+1，从而得到/(x)2x+lna+l+a?-x,进而将问题

,1

转化为cr——Ina>0的恒成立问题，由此得证.

2

【小问1详解】

因为/(x)=a(e'+a)—x,定义域为R,所以_f'(x)=ae'-1,

当aVO时，由于e*>0，则ae*K0，故/'(%)=四*-1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减;

当a>()时、令r(x)=ae'-l=O,解得x=-lna,

当x<—Ina时，/(“<0,则f(x)在(T»,-lna)上单调递减;

当x>—Ina时，用勾>0,则/(x)在(―lna,中»)上单调递增；

综上：当a40时，/(x)在R上单调递减；

当”>()时，“X)在(7),Tna)上单调递减，/(X)在(―lna,+x>)上单调递增.

【小问2详解】

方法一：

由(1)得，=/(—Ina)=a(e"n"+a)+lna=1+〃+lna,

331

要证f(x)>21na+],即证1+/+lna>21na+],即证。?----]na>0恒成立,

令g(a)=。----lna(Q>0),则g^ci}=2a——=——»

2aa

令g<a)<0,则0<。<曰；令g<a)>0,则。>等;

(/yA

所以g(a)在上单调递减，在—,+8上单调递增,

I2J

7

21Ji

所以g(a)min=g——In—=ln>/2>0,则g(a)>0恒成立,

22')

所以当a>0时，/(x)>21na+3恒成立，证毕.

方法二:

^/z(x)=eA-x-\,则〃'(x)=e"-l,

由于y=e，在R上单调递增,所以〃'(x)=e、—1在R上单调递增,

又〃'(())=e°—l=0,

所以当x<0时，〃(x)<0；当x>0时，〃'(x)>0；

所以力(%)在(—>,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故〃(x)N〃(O)=O,则e'wx+l,当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(x)=a^ev+a^—x-aex+a2—x=ev+lnfl+/—x2x+lna+l+/—x,

当且仅当x+lna=(),即x=-ln。时，等号成立,

331

所以要证f(x)>21na+—,即证x+lna+l+Q?一%>21na+—,即证/----Intz>0,

222

,

令g(Q)=/-1-lna(a>0),则g(a]=2a--=^—^,

2aa

令g'(a)<0,则o<q<冬令g©)>0,则。>乎；

所以g(a)在0,—上单调递减，在—,+oo上单调递增，

\/\7

(历、(万丫r-

所以g(a),n=gJ——In—=lnV2>0,则g(a)>0恒成立，

、2JI2J22

所以当a>0时，/(x)>21na+|恒成立，证毕.

772-+F1

20.设等差数列｛4｝的公差为d，且d>l.令切=工一,记S“,7；分别为数列｛4｝,也｝的前〃项和.

(1)若3a2=3q+。3,53+4=21,求｛%｝的通项公式；

(2)若｛2｝为等差数列，且S99-4=99,求心

【答案】(1)%=3〃

⑵d=2

50

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

(2)由｛2｝为等差数列得出％=d或q=2d,再由等差数列的性质可得60-40=1，分类讨论即可得解.

【小问1详解】

3%=3q4-a3,/.3d=q+2d,解得%=d,

S3=3e=3(q+d)=6d,

“心7人26129

又4=4+H+&=7+77+£7=7，

a2d3da

9

S3+T3=6d-\—=21,

d

即2d2-7d+3=0，解得d=3或d(舍去),

2

/.=q+（〃-1）•d=3〃.

【小问2详解】

{2}为等差数列，

12212

2"=b、+b2,即———I---,

a2Q1的

//I1\6d1C.CI

「•6(-----)=---=—,BPao：-3a,d+2d~=0,解得弓=d或q=2d,

a

a2a3Q2a3\

d>1,，

又S99-a=99,由等差数列性质知，99%0-9940=99,即。5（）—恁二1，

2550

«5<)-----=1t，即&一9%0-2550=0,解得％0=51或。=一50(舍去)

“50

当4=2d时，%o=4+491=511=51,解得4=1,与d＞l矛盾，无解；

当q=d时，%（＞=4+49d=50d=51,解得d=——.

50

综上，＜/=—.

50

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无

论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投

篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知:若随机变量Xj服从两点分布，且P（Xj=l）=l-P（X,=O）=0,i=l,2「、〃，则

E'X,=/.记前几次（即从第1次到第"次投篮）中甲投篮的次数为y,求七（y）.

I/•=17z=l

【答案】（1）0.6

(2)+-

6⑸3

n

(3)£(D=41-

103

【解析】

【分析】(1)根据全概率公式即可求出;

(2)设尸(A)=p,,由题意可得Pm=0.4p,+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【小问1详解】

记“第i次投篮的人是甲”为事件4，“第i次投篮的人是乙”为事件与，

所以，P(4)=p(a坊)+2(4与)=*4)。(5ia)+P(g)p(与14)

=0.5x(1—0.6)+0.5x0.8=0.6.

【小问2详解】

设P(4)=2,依题可知，P(4)=I—必，则

尸⑸)=P(44+J+尸(44T)=P(4)尸(A*J4)+尸(4)P(A”B),

即pM=0.6/?)+(1—0.8)x(l—p(.)=0.4p(.+0.2,

构造等比数列{”,+2},

设加+几二目化+孙解得a=-;，则PHI一1，

1111

又2

历-目_

-一

2-3-6-6-公比为一的等比数列,

1

X

6-

【小问3详解】

因为P,=91|）+（，

，=1,2,•••,〃，

所以当"cN'时，E（y）=P]+〃2+

故E（y）=^n

+-.

1O3

【点睛】本题第•问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数

列的基本知识求解.

22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点2到点（0,；）的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形A3CD有三个顶点在W上，证明：矩形A3CQ的周长大于3月.

【答案】（1）y=

4

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）设尸（X,y）,根据题意列出方程=/,化简即可；

（2）法一：设矩形的三个顶点,Ka<b<c,分别令

kAB=a+b=m<0,kBCb+c=n>0,且〃一1,利用放缩法得;CN（/）,1+，设函数

/(x)=(x+J)(1+V

利用导数求出其最小值,则得C的最小值，再排除边界值即可.

,1

法二：设直线A8的方程为y=%（*-a）+/+-,将其与抛物线方程联立，再利用弦长