大学《高等数学》期末考试试题及易错题解析第十二章：常微分方程

PAGEPAGE2第十二章常微分方程常微分方程是高等数学的重要内容之一，并且有着广泛的应用，当用导数和积分解决数学、物理等方面的实际问题时，常常会归结成对微分方程的求解。它也是有关专业研究生入学考试科目《高等数学一》中的考试内容。其主要内容有：一阶微分方程、可降阶的高阶微分方程和二阶常系数线性微分方程等。通过对本章的学习，我们认为应达到如下要求：掌握微分方程的有关概念；熟练练掌握一阶微分方程中的变量可分离方程和一阶线性微分方程的求解方法；理解和掌握线性微分方程解的结构，熟练掌握二阶常系数线性微分方程的求解方法；会应用微分方程解决有关的问题。一、知识网络图二、错解分析设方程特解为，求方程的通解。[错解]因为常数，所以和线性无关，故方程的通解为。[错因分析]错误地把和看成方程所对应的齐次方程的两个线性无关的解。[正确解法]因为和为方程的两个特解，所以是对应的齐次方程的一个特解。用降阶法求出齐次方程与线性无关另一特解：，故原方程的通解为。例2．解函数方程，其中存在且在的邻域内可导。[错解]因为，又|=1且在的邻域内可导，由此可知。[错因分析]求解函数方程是指求出所有满足条件的函数，以上解法只是验证了是方程的解而已。[正确解法]令，则函数方程变为，或，即，故,原函数方程两边对求导得，令得，即，两边积分得，令得，故所求函数为。设函数均为非齐次线性方程的特解，（其中为已知函数），而且常数。求证：是该方程的通解，其中为任意常数。[错证]把代入方程的左端得==右端可知是方程的解。又因为的表达式中含有两个任意常数，故是方程的通解。[错因分析]对非齐次线性方程错误地用了齐次线性方程通解的结构定理。[正确证法]把代入方程的左端得==右端可知是方程的解。因为是方程的解，故与是对应齐次方程的解，又因为常数，所以和是两个线性无关的特解，因此，对应齐次方程的通解为，从而原方程的通解为。求微分方程的通解。[错解]方程两边同乘得，（1）令，方程（1）变为（2）（2）的特征方程为特征根为，方程（1）的通解为，故原方程的通解为。[错因分析]方程（1）看似欧拉方程，实际上并非欧拉方程（问题在于最后一项），因此用欧拉方程的解法求解无疑是错误的。[正确解法]原方程可写成如下形式，令，则方程变为，其特征方程的根为，故原方程的通解为。设上连续，且，求证：当常数时，方程的一切解趋向于；时，方程有且只有一个解有此性质。[错证]为一阶线性方程，其通解为，时由洛必塔可得，时，因为，所以一般没有极限，只有当才有，于是由洛必塔可得。[错因分析]仅当极限呈型时，才能用洛必塔法则，在以上运算中并不能保证这一点，广义积分完全有可能收敛，此时就不是型了。[正确证法]方程的通解为，当时，因为，所以若且收敛时，显然有，若发散，则型，由洛必塔法则得，当时，因为，所以若要存在，必须，又因为，所以时有界，因此收敛，即存在且唯一，于是，当，故。三、典型例题例6．求微分方程的通解。[分析]这是变量可分离方程，分离变量两边积分即可。[解]分离变量得，两边积分得通解。求方程的通解。[分析]齐次方程的解法是固定的，将方程变形为，再作变量代换即可化为变量可分离方程。[解]方程可化为，令，则，方程化为或，两边积分得，将代入得原方程的通解，即。求微分方程的通解。[分析]一阶线性微分方程的解法大致有三种：（1）利用公式；（2）先求对应的齐次方程的通解，再用常数变易法求原方程的通解；（3）凑导数，方程两边同乘因子可得到，再积分求得通解。前两种方法是必须掌握的。[解法一]利用公式，代入求解公式，得，即[解法二]先求对应齐次方程的通解不难求得方程，的通解，用常数变量法，令，将代入原方程化简得，故，因此，原方程的通解为。[解法三]原方程两边同得，即，积分可得通解。求解。[分析]对型方程分两种情况作代换可化成变量可分离程：（1），方程组有唯一解，令，原方程可化成；（2），令，原方程可化为。[解]解方程组得，作变量代换，原方程化为，令，代入可得通解，以代入得原方程的通解。求方程。[分析]方程可化成，是贝努利方程，对贝努利方程，可作变量代换，，或，代入后可将方程化为的一阶线性方程。[解法一]方程可化成，作变量代换，，或，代入得，或，即，解得，代回得原方程的通解。[解法二]原方程是齐次方程，作变量代换即可化为变量可分离方程，解略。求方程的通解。[分析]注意到方程仅含的一次幂，且与相，可将视为因变量，为自变量，化成一阶线性方程。[解]方程可化成，通解为，即。设具有二阶连续导数，，且为全微分方程，求及此全微分方程的通解。[分析]由全微分方程的条件，可求得，求全微分方程的通解归结为求的原函数，因这类题与曲线积分有密切联系，具有综合性，故考研试卷在此出题的可能性较大。[解法一]（1）由全微分方程的充要条件知，即，（1）对应的齐次方程的通解，非齐次方程的特解形式为，代入方程（1）可定出。于是，故方程（1）的通解为，由求得，所以。（2）将的表达式代入原方程中得，（2），所以原方程的通解为。[解法二]的求法同上，下用凑微分解方程（2），由（2）得到，故（2）的通解为。例13．求方程。[分析]该方程既不显含，又不显含，对不显含的二阶方程可令代入可化一阶微分方程，对不显含的二阶方程可经代换化为一阶方程。两种解法均可，但应注意这时两种解法可能有难易程度的差别，应注意比较，选用较简单的方法。[解]令，则，方程化为，解得，即，所以，即，或，积分可得方程的通解。求微分方程的通解。[分析]对二阶线性常系数非齐次微分方程应熟练掌握求通解的程序：先求对应齐次微分方程的通解，再求原方程的一个特解，从而求得原方程的通解。齐次方程通解的求法：根据特征方程根的情况，可写出相应的通解。（2）非齐次方程特解的求法：根据几种常见形式，可写出特解的形式，再代入方程确定其中的待定常数。,是次多项式，,其中是次多项式的标准形，而；，和是和次多项式，可令，其中，和是两个不同的次多项式的标准形，而。求特解还应注意非齐次线性方程解的叠加原理。[解]对应的齐次方程的特征方程为有两个实根。因此齐次方程的通解为，，2是特征方程的单根，因此应设原方程的特解为，代入原方程可得，比较两端同次幂的系数得。解得。因此求得一个特解为。从而原方程的通解为。例15．求方程的通解。解：原方程化为对应齐次方程的特征方程为，其特征根，故齐次方程的通解为。对非齐次项中的第一部分，由于是方程的特征根，故设，对非齐次项中的第二部分，由于不是特征根，故设，则可设非齐次方程的特解为，将及其一、二阶导数代入原方程，比较系数得 ，，，。故原方程的通解为：。例16．设，其中连续，求。[分析]这是含变限积分的方程，求解的基本方法是对方程两边求导，转化成求解常微分方程。有时令积分的变上限（或下限）的的取值等于下（或上限），得到末知函数所满足的初始条件，这时求解变限积分的方程归结为求解微分方程的初值问题。[解]将方程变形为，因连续，方程右端可导，因而左端函数也可导，两端对求导可得，（1）同理，上方程右端仍可导，存在二阶导数，故，或。对应的齐次方程的特征方程的根为，因而通解为。原方程的非齐次项为，，，又是特征根，故特解的形式为，代入方程求出系数得其特解为，于是微分方程的通解为。（2）在原方程及方程（1）中令易得到。将代入（2）得到，对（2）求导，将代入得到。所以原积分方程的解为。例17．求解微分方程。[分折]由齐次方程解的结构知，只要求出方程的两个线性无关的特解，即可写出方程通解。[解]方程可变形为，因为，所以是原方程的一个特解，再用降阶法求另一特解。令，代入原方程可得=，显然线性无关，故原方程的通解为。例18．解微分方程。[分析]对型方程，利用积分因子化成全微分方程是常用的方法之一，而求积分因子往往难度大，技巧性高，常用的方法有公式法、观察法和待定系数法等。[解]，因为，所以积分因子，原方程两边同乘得，即，故原方程的通解为。[方法总结]由公式法知，若，则积分因子。例19．求方程的通解。[分析]利用积分因子把原方程化成全微分方程来解。[解]因为，所以积分因子，原方程两边同乘得，或，即，故原方程的通解为。[方法总结]若，则可取积分因子为。例20．解微分方程。[解]，因为，所以积分因子，原方程两边同乘得即，故原方程的通解为。[方法总结]若，则积分因子可取，其中。例21．求解微分方程。[分析]对较复杂的方程，把它改写成，令，（1）和，（2）设（3）的积分因子为，则，由于也是（1）的积分因子，这里是任意的可微函数，因此可选择适当的，使也是（2）的积分因子，从而也是原方程的积分因子。为了方便，有时可令，代入（2）求出待定常数。以上求积分因子的方法称为待定数法。[解]把方程改写为，的积分因子为，通解为。设为方程的积分因子，则有，可得，从而，所以为原方程的积分因子，用乘以原方程两边得，即，故原方程的通解为。例22．设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限不存在；等于是1；等于2；等于3。[分析]应先从确定特解的形式入手，进而求出特解，再求出极限。[解]由知所给方程的特解形式有三种可能：，，，而前二种都不满足初始条件，因而，这表明3是特征方程的重根，因而，于是原方程为，将代入上方程易求得，故。于是。故应选。例23．求解方程。[分析]方程不显含，可通过作变量代换来降阶。[解]令，原方程化为，再令，代入得分离变量得，积分得，即，在上式中再令，代入得