2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第2章 第6节 第2课时　函数模型的应用

第2课时函数模型的应用

［考试要求］

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解”指数爆

炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.

2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数

模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.

［走进教材:宅基础］回顾知识•激活技能

◎梳理•必备知识

1.指数、对数、募函数模型性质比较

函数

产优伍>1)y=10gaX（«>l）丁=炉（〃>0）

性

在(0,+°°)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表现随〃值变化而各有

图象的变化

现为与y轴平行为与X轴平行不同

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f^x）=ax+b（a,为常数，a#0）

:1

二次函数模型J（x）=ax+bx+c（a9b,c为常数，”W0）

与指数函数

fix）=bax+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

相关的模型

与对数函数

j{x}=b\ogax+c{a,b,c为常数，a>0且aWl,Z?WO）

相关的模型

与幕函数相

八%)=以"十伙a,b,〃为常数，aWO)

关的模型

［常用结论］

“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其

增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量

越来越小.

©激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数y=2'的函数值比的函数值大.()

(2)不存在xo,使oxo<xo<log«xo.()

(3)在(0,+8)上，随着》的增大，y="(a>l)的增长速度会超过并远远大

于y=d(a>l)的增长速度.()

(4)“指数爆炸”是指数型函数y=o〃+c(aW0,8>0,且bWl)增长速度越

来越快的形象比喻.()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

二'教材习题衍生

1.已知g(九)=2，，/7(X)=log2X,当光W(4,+8)时，对三个函数的

增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

A.fix)>g(x)>h(x)B.g(x)>/(x)>〃(x)

C.g(x)>%(x)>>Ax)D.J(x}>h(x)>g(x)

B［当x£(4,+8)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)>/(x)>/z(x).故

选B.］

2.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原

来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前

的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14

用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()

A.8B.9C.10D.11

C［设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃(〃GN)个“半衰

期”后的含量为(；)，由七)(丁嬴，得〃21°.

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需

要经过10个“半衰期”.］

3.某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km,票价

是0.5元/km,如果超过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运

2

票价六元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是

0.5x,OaWlOOO.5x,O4W1OO,

［由题意可得y=<]

0.4x+10,x>10010.4x4-10,x>100.

4.里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgAo,其中A是测震仪记录的地

震曲线的最大振幅，Ao是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪

记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为

级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.

610000[M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.

设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为Ai,A2,则9=lgAi

AyA.

TgAo=lg方则瓦=1H

5=lgA2-lgAo=lg/,则亲=1()5,所以光=104

即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.］

［细研考虑•突破题型］重难解惑■直击高考

考点一用函数图象刻画实际问题悔组通关

1.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从3点开始沿折线BCD4向A点

运动.设点P运动的路程为龙，的面积为S,则函数S=/(x)的图象是()

ABCD

D［依题意知，当0WxW4时，/(x)=2x;

当4aW8时，./)=8；

当8<rW12时，/(x)=24—2x,观察四个选项知D项符合要求.］

2.为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计

显示，生长4年的树高为;米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间/(年)

与树高M米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：®y=2'-a；②y=a

+log2/；③尸5+a；④中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树

高的关系最好的是(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为

3

米.

4

.・

2.一

10

0|i234567<

②y［由散点图的走势，知模型①不合适.

曲线过点（4,（），则后三个模型的解析式分别为②y=；+log2f;金>=1+；;

④y=3+；,

4

当r=1时，代入④中，得y=g，与图不符，易知拟合最好的是②.

将t=8代入②式，得y=g+log28=学米）.］

3.（2020.北京高考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业

加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间r

的关系为卬=m），用的大小评价在口,切这段时间内企业污水

治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图

所示.

给出下列四个结论：

①在［九，0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在/2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在△时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,3，口1,勿，上2,旬这三段时间中,在［0,川的污水治理能

力最强.

其中所有正确结论的序号是.

①②③［由题图可知甲企业的污水排放量在力时刻高于乙企业，而在£2时

刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在m，⑵这段时间内，甲企业的污水治理

4

能力比乙企业强，故①正确；由题图知在f2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的

绝对值大于乙企业的，故②正确；在73时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于

污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在［0,川，［A,及］，［及，⑸这三

段时间中，在［0,九］的污水治理能力明显低于上1,勿时的，故④错误.］

畲反思领悟

判断实际问题中两变量变化过程的方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再

结合模型选图象.

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的

变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，

选择出符合实际情况的答案.

考点二已知函数模型的实际问题枷生共研

［典例1］(1)(2020.全国III卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流

行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺”

K

的单位：天)的Logistic模型：/«)=1+e「'厂53,，其中K为最大确诊病例数.当

")=0.95K时,标志着已初步遏制疫情，则r*约为(参考数据：In19心3)()

A.60B.63C.66D.69

(2)对于某种类型的口服药，口服x小时后，由消化系统进入血液中药物浓

度M单位：个单位)与时间M单位：小时)的关系为y=Ke~l"-e~hl),其中Q0,

/?>a>0为常数，对于某一种药物％=4,<2=1,b=2.

①口服药物后多少小时血液中药物浓度最高；

②这种药物服药〃(〃WN*)小时后血液中药物浓度如下表,

n12345678

0.95450.93040.69320.46800.30100.18920.11630.072

一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个

单位以上，求第三次服药时间.(时间以整点为准)

K1

(1)C［由题意可知，当/(/*)=0.95K时，［5e—023(7二537=0.95乂即即

=l+e-0.23(f-53),e-0.23(/一53)=4,e0.23(f-53)=19,0.23(——53)

5

=ln19^3,.*“*'66.故选C.]

（2）［解］①将％=4,a=l,Z?=2代入可得y=4（ei—广2，）=—4售一J=一

4（W）+1,所以当W,即r=ln2时y取得最大值.

②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位，

则第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163,第

二次服药后4小时的药物残留为0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.

第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留

为0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.

综上可知，第三次服药时间为第一次服药后的7小时，即为15:00.

令反思领悟求解已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

［跟进训练］

1.（1）（2021.山东济南模拟）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分

类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类

的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.进行垃圾分类收集可

以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、

经济、生态等几方面的效益.已知某种垃圾的分解率。与时间《月）满足函数关

系式饮其中a,h为非零常数）.若经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,

经过24个月，这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）

至少需要经过（参考数据1g2Q0.3）（）

A.120个月B,64个月

C.52个月D.48个月

（2）对于一个声强为/（单位：W/n?）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下

公式计算：L=101g3其中/o是能引起听觉的最弱声强）.设声强为力时的声强级

为70dB,声强为h时的声强级为60dB,则1\是h的倍.

6

V(12)=6(ZJI2=0.1,—

(1)C(2)10[⑴依题设有j/、”解得。=212,。=0.05,故00)

[°(24)=加4=0.2,

=0.05X(2=)：

令0(f)=1,得=20,

故一叫六2。=号=#。这笔@=52.故选C.

1g21212lg2

(2)依题意，可知70=101g£,60=101g

所以70—60=101g101g5则l=lg£所以£=10.]

n考点三构建函数模型的实际问题，多维探究

考向1二次函数模型

[典例2—1]某公司研发的A、B两种芯片都已获得成功.该公司研发芯片

已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产

A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入

0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系

为y=3(x〉0)伏与a都为常数)，其图象如图所示.

w千万元

0'4”千万元

(1)试分别求出生产A、8两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)

的函数关系式；

(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A、3两种芯片，设投入x千万元

生产8芯片，用火x)表示公司所获利润，当尤为多少时，可以获得最大利润？并

求最大利润.(利润=A芯片毛收入+3芯片毛收入一研发耗费资金)

[解](1)由题意可知，生产A种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万

元)函数关系式为y=%(x>0),将点(1，1),(4,2)的坐标代入函数y=*(x>0)的

k=\,

k=l,

解析式，得，，C解得

[k•4。=2,a=7，

7

因此，生产8种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)函数关系式为

y=5(x>0).

⑵由题意可得加)=一厂+,-2=—a+,+8=一式512)+9,

,.,0<x<40,

，当5=2时，即当x=4时，函数y=/(x)取得最大值，即式X)max=/(4)=9.

因此，当x=4时，利涧最大，且最大利润为9千万元.

考向2分段函数模型

［典例2—2］已知某条地铁线路通车后，地铁的发车时间间隔为《单位：

分钟)，并且2W/W15.经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔/相关，当

10UW15时，地铁为满载状态，载客量为450人；当2W/W10时，载客量会减

少，减少的人数与10一/的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为

258人，记地铁载客量为p⑺(单位：人).

(1)求〃⑺的解析式，并求当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量；

(2)若该线路每分钟的利润为。⑺6"⑺—4"95+0230(单位：元)，问当发

车时间间隔为多少时，该线路每分钟的利润最大？

‘450—%(10-r)2,2W/W10,

［解］(1)由题意知「")=，<,、“、-为常数).

因为爪2)=450—%(10—2)2=258,得k=3,

一3产+60—150,2WW10,

所以p(/)=<-

”［450,10<W15,

所以p(5)=-3X52+60X5+150=375,

即当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量为375人.

,6P(t)—4950

(2)由。⑺=上-----------+230可得。⑺=

［-18。+爷+590,2WW10,

［一^^+230,10UW15,

当2W/W10时，。⑺=-18&+掌)+590,

8

任取t\,短6[2,10],且力<12,则Q（t2）-Q（h）=-18^24—^-J+590+

18&i+筌）—59°

18（，一力）（225一加包）

—tlt2,

因为力，/2e[2,10],所以225—t”2>0,

所以。。2）一°（力）>0,

所以。⑺在[2,10]上为增函数，最大值为。（10）=5.

22502250

当10<rW15时，。⑺=一1一+230W-飞一+230=80,

当r=15时等号成立，所以当发车时间间隔为15分钟时，该线路每分钟的

利润最大，最大值为80元.

考向3指数函数、对数函数模型

[典例2—3]用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提

纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中

的物质的量浓度（单位：mol/L）之比为常数K,并称K为该溶质在水和有机溶剂

中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行"次萃取，每次萃取后溶质在水溶

液中的残留量为原物质的量的倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为

lUiA

1.0mol/L,该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20,则至少经过几次萃取，

溶质在水溶液中的物质的量浓度低于LOXlOfmoi/L?（假设萃取过程中水溶液

的体积不变.参考数据：In3=1.099,43~2.303）（）

A.9次B.10次C.11次D.12次

C[由题意知，K=20,则।

1UiA3

设经过〃次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于1.0X10-5moi/L,则

d<10-5,解得心log11（）-5,

3

-5

L-…yIn1051n105X2.303

由换底公式仔log,10*=j-=—j一丁=[co。-210.48.

—,1in31.uyy

3ln3

则至少经过11次萃取,溶质在水溶液中的物质的量浓度低于1.0X10-5

9

mol/L.故选C.］

合反思领悟

构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤

r——］痹清蔽羞:芬清秦漳而以至：至版薮香弟

J:系，初步选择函数模型：

两百竦静音秦彳F%-薮孽语音:蒋交里寤.矍

六］一:转化为符号语言，利用数学知识，建立相应:

:的函数模型:

曲一碌一函羲稹道蓍由薮摹其南............：

I...............................................

国圉一语薮学婷记虚原为荚晾番艾而恂频：

［跟进加练］

2.(1)长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11

月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条件下,

火箭的最大速度0(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质

量m(单位：kg)的函数关系是0=2OOOln。十却若火箭的最大速度为11.2km/s,

则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为(参考数据：e00056^1.0056)()

A.1.0056B.0.5028

C.0.0056D.0.0028

(2)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表

kt,0<r<^

(如图所示).

{讹弓，

实验表明，当药物释放量y<O.75(mg/m3)时对人体无害.

①人；

②为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消

毒后至少经过________分钟人方可进入房间.

(1)C(2)①2②40［(1)由0=2OOOln1+而=11.2,可得In1+/=

10

0.0056,A—=e00056-1-.0056.

200()m

I?

(2)①由题图可知，当时，y=l,所以7=1,所以％=2.

乙K

2n0<r<I，

{五‘与‘

112

当I22时，y=「,令y<0.75,得%,

2

所以在消毒后至少经过］小时，即40分钟人方可进入房间.］

命题新视角

3.STSE中的函数建模问题

近几年，以STSE(科学、技术、社会、环境)为载体的数学高考题比比皆是，

该类问题主要考查学生的数学建模