2023年陕西省西安市长安区铁一中湖滨学校中考数学四模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市长安区铁一中湖滨学校中考数学四模试卷

学校：.姓名：班级：—考号：一

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算1一|-3|的结果是（）

A.-2B.2C.4D.-4

2.2023年2月9日，全国报告新冠病毒抗原检测结果，当天抗原检测阳性人数为19.2万.将19.2

万用科学记数法表示为（）

A.19.2xlO4B.192x103C.1.92x10sD.0.192x106

3.计算（-12a）（2a2-,a+|）的结果是（）

A.-24a3+8a2B.—24a3—8a2-10a

C.-24a3+8a2-10aD,-24a2+8a+10

4.如图，在A4BC中，NC=35。，BO平分N4BC交AC于点。，B

DE//AB,交BC于点E,若NBDE=32。30',贝吐4的度数是（）/

A.80°28,/\/

B.80°AZDC

C.80032,

D.81°

5.已知正比例函数y=k尤中，y随X的增大而增大，则一次函数y=-2依+k的图象所经过

的象限是（）

A.一、二、四B.一、二、三C.一、三、四D,二、三、四

6.如图，正方形4BCD的边长为4,N为4。上一点，连接BN,4M1ANn

BN于点M,连接CM,若4M=2,则△BCM的面积为（）

:「LN

C.7B---------------C

D.8

7.如图，等边三角形ABC的顶点B、C在。0上，A在。。内，。。_L4C于

D点,。。的半径为C，。。=号，则等边三角形的边长48为（）

A.6

B.7~26

C.3y/~2

D.4

8.将抛物线y=g/先向右平移门个单位长度，再向下平移9个单位长度，平移后的抛物线

与x轴交于4、B两点，顶点是C点，连接AC、BC,则cos4CAB的值为（）

A.1B.与C.?D.1

第H卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9.实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则a+b_0.（填_i--1------------」

a0b

“v”）

10.如图所示，在4x4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格

都是边长为1的正方形.0,A,B分别是小正方形的顶点，则油的长

等于_.（结果保留根号及兀）.

11.如图所示，将长方形4BCD沿图中标示的DE折叠，点E

在48边上，点4恰好落在边BC的点G处，若ZCDG=54。，

则NDEG的度数为.

12.已知直线、=一2%+4与双曲线、=多目交于点（小,用，则'+：的值等于

13.如图，已知四边形A8CD中，ABCD=60°,连接AC、BD

交于点=4,HD=2.若霁=2,则4”的最大值为

B

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.（本小题分）

计算：（一2产一Ctan30。+（-3）°

15.（本小题分）

解方程：F一8=£.

16.（本小题分）

先化简，再求值:扁左*（1一击）‘其中"=4.

17.（本小题分）

如图，△4BC中,4c=90。，乙4=30。用尺规作图作AB边上一点D,使CD=DB.（保留作图

痕迹，不要求写作法和证明）.

18.（本小题分）

如图，四边形4BCD是平行四边形，点E、F在对角线BD上，AE,C尸分别平分4B4C和4DCB,

证明：BE=DF.

19.（本小题分）

湖滨中学举办一年一度的商贸街活动，卓越同学准备用不超过1054元购进40套考试专用的4

B两种套装，其中4种套装每套进价25元，B种套装每套进价28元，A种每套售价30元，B种

每套售价32元,预计销售额不低于1232元,设4种套装购进x套，请你设计出所有的进货方案.

20.(本小题分)

甲、乙两人玩转盘游戏，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘4B,4转，盘中数字1所

对扇形区域的圆心角为90。，B转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘4,B,当转盘

停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5,则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线

上，则需要重新转动转盘.

(1)转动转盘4指向的数字为1的概率是;

(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平.若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的

可能性更大？

转盘A转盘B

21.(本小题分)

新冠过后人们的生活逐渐恢复正常，家长们会选择去自然环境较好的地方“遛娃”.如图所示,

是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴中心

B到地面的距离为3m,在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点4到BD的距离为2小，

点4到地面的距离为1.8小；当从4处摆动到4处时，有N4'B4=90。.

(1)求A到BD的距离：

(2)求A到地面的距离.

22.(本小题分)

某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试,

根据测试成绩(单位：分)绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：

测试或绩的条阳统计图

测试成绩的阑形统计图

（1）请补全条形统计图；所调查学生测试成绩的中位数为;众数为;

（2）所调查学生测试成绩的平均数为多少？

（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学

生约有多少人？

23.（本小题分）

一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位

高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）.

X00.511.52

yi1.522.53

为了描述水池水位高度与进水用时的关系,现有以下三种函数模型供选择:y=kx+b（k丰0）,

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的

函数表达式，并画出这个函数的图象.

(2)当水位高度达到5米时，求进水用时》.

24.(本小题分)

如图，在Rt△ABC中，/.ABC=90°,以8c为直径的O0交4c于点E,。。的切线。E交4B于

点D.

(1)求证：DA=DB；

(2)连接BE,0D,交点为尸，若cos4=*BC=6,求OF的长.

25.(本小题分)

已知抛物线L：y=a/+bx—3与x轴交于4(一1,0)、B两点，与y轴交于点C,且抛物线L的

对称轴为直线x=1.

(1)抛物线的表达式；

(2)若抛物线〃与抛物线L关于直线x=nr对称，抛物线Z7与x轴交于点E,F两点(点E在点尸左

侧)，要使S-BC=2SAEBC，求所有满足条件的抛物线〃的表达式.

26.(本小题分)

我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角，

如图1,对于线段4B及线段4B外一点C,我们称44cB为点C对线段4B的视角.如图2,在平面

直角坐标系xOy中，已知点。(0,4),七(0,1).。「为过£>,E两点的圆，F为OP上异于点。，E的

-,点.

(1)如果CE为。P的直径，那么点F对线段CE的视角NDFE=；

(2)如果点F对线段DE的视角NDFE为45度，那么。P的半径为多少？

(3)点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段。E的视角NDGE最大时，求点G的坐标.

图1图2

答案和解析

1.【答案】A

解：原式=1-3=-2,

故选：A.

先求绝对值，再算减法即可.

本题考查了有理数的减法，绝对值的定义，解题时注意运算顺序.

2.【答案】C

解：19.2万=192000=1.92x

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时,

n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axIO”的形式，其中1＜同＜10,

n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】C

解：原式=-12a-2a2-(-12a)•|a+(-12a)•|

=-24a3+8a2—10a.

故选：C.

直接利用单项式乘多项式，进而计算得出答案.

此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.【答案】B

-DE//AB,

•••Z.ABD=乙BDE=32。30',

•••BD平分N4BC,

/.ABC=24ABD=2x32°30,=65°.

在△ABC中，^ABC=65°,"=35°,

乙4=180°-/.ABC-ZC=180°-65°-35°=80°.

故选：B.

由CE〃4B,利用“两直线平行，内错角相等”可求出乙48。的度数，结合角平分线的定义，可求

出乙4BC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出乙4的度数.

本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180。”

是解题的关键.

5.【答案】A

解：•.•正比例函数y=质的函数值y随4的增大而增大，

k>0,

二一次函数y=-2/cx+k的图象经过一、二、四象限.

故选：A.

先根据正比例函数y=质的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即

可得出结论.

本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k丰0）中,

当k<0,b>0时函数的图象在一、二、四象限.

6.【答案】B

解：作ME1BC于点E,则NBEM=90°,

••,AMJ.BN于点M,

^AMB=90°,

•••四边形4BCD是边长为4的正方形，

：.AB=BC=4,/.ABC=90°,

■：AM=2,

•••sin乙48M=誓=,=：，BM=VAB2—AM2=V42-22=2y/~3>

AD4Z

・・・乙ABM=30°,

・・・乙MBC=Z-ABC-匕ABM=60°,

EM=BM-sin600=2y/~lx?=3，

：•S〉BCM—^BC-EM=1x4x3=6,

•・.△BCM的面积为6,

故选：B.

作ME_L8C于点E,根据勾股定理求得BM=7AB?—AM?=2门,由sinzABM=黑=:，得

AbL

/.ABM=30°,则NMBC=60。，所以EM=BM-s讥60。=3,即可求得△BCM的面积为6.

此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知

识，正确地作出所需要的辅助线并且求得乙4BM=30。是解题的关键.

7.【答案】。

解：连接。4OB,OC,

•・•△ABC是等边三角形，///]

AB=AC,/.BAC=60°,

•・•OB=OC,OA=OA,------

•••△480三ZMCOGSS）,

11

・・・^BAO=/-CAO=^BAC=ix60°=30°,

:.OA=2ODf

•；OD=?，

・•・OA=

AD=VOA2-OD2=J（C）2-存尸=I,

在RMODC中，•••0C=C，

由勾股定理得：CD=VOC2-OD2=J（尸）2—（?产=|）

35

.-.AB=AC=AD+CD=^+^=4.

故选：D.

连接04OB,OC,先证明A/BO三△AC。，得4B4。=N&40=30。，根据含30。角的直角三角形

的性质和勾股定理可得4。和CD的长，从而得4B的长.

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的性

质，关键是通过作辅助线构造全等三角形.

8.【答案】D

解：将抛物线y=先向右平移门个单位长度，再向下平移9个单位长度,

平移后抛物线解析式为y=0—9,

・•・顶点C的坐标为(q,-9),对称轴为直线x=V-3>

令y=0,贝4(%—V-3)2—9=0,

解得

Xi=-2，3，x2=4，3，

4(-2q,0),8(4/3,0),

过点C作CE_Lx轴于E,如图所示：

AE=y/~3+2C=3门,

•••CE=9,

AC=VAE2+EC2=(3厅2+92=6，3,

,rADAE3<31

,cos^CAB=-=^==-,

故选：D.

根据抛物线平移规律左加下减写出平移后的抛物线，求出4、B、C三个点的坐标，再根据锐角三

角函数即可得cos/CAB的值.

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、解直角三角形，解

决本题的关键是综合运用以上知识.

9.【答案】>

解：由a,b两点在数轴上的位置可知，a<0<b,-a<bf

Aa4-b>0.

故答案为：>.

先根据题意判断出a,b的符号及绝对值的大小，进而可得出结论.

本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键.

10.【答案】\T~2TC

・.・AC=OC=OD=BD=2,

ZC=ZD=90°,

・•・乙AOC=乙BOD=45°,

:.Z.AOB=90°,

由勾股定理得：AO=V22+22=2yTZ=BO,

则⑪的长度为笔c=，9兀，

故答案为：>/-27T.

求出4A0B的度数，求出04、。8长，再根据弧长公式求出即可.

本题考查了等腰三角形、直角三角形、勾股定理和弧长公式等知识点，能熟记弧长公式是解此题

的关键.

11.【答案】72。

解：•••4CDG=54°,

Z.ADG=90°-乙CDG=90°-54°=36°,

又“ZADE=乙GDE=*4DG=；x36。=18°,^DAE=乙DGE=90°,

4DEG=90°-AIDE=90°-18°=72°.

故答案为：72°.

由已知可知NCDG=54。，则可得出NAOE的度数，根据折叠的性质，折叠后的图形与原图形全等,

即可得出答案.

本题主要考查了折叠的性质和矩形的性质，合理利用对称图形的性质进行计算是解决本题的关键.

12.【答案】2

解：；,直线y=-2x+4与双曲线y=|相交于点(zn,n),

2

・••n=-2m+4,n=—m,

:.n+2m=4,mn=2,

则中="迎=J=2.

mnmn2

故答案为：2.

把点(m,n)分别代入直线y=-2x+4与双曲线y=整理后整体代入嘿即可.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合函数解析式是解题的关键.

13.【答案】1+，有

解：如图，作△BCD的外接圆。。，连接OB,OD,OC,0H,过点。作。于E.

•・•BH=4,HD=2,

.・.BD=4+2=6,

vZ.BOD=2Z.BCD=120°,OB=OD,

:.Z.OBD=Z.ODB=30°,

•・•OE1BD,

BE=ED=3,

：•OE=BEtan30°=口,OB=2OE=2门,

：・HE=BH-BE=4—3=1,

OH=JI2+(C)2=2>

"HC<0H+OC,

•••HC<2+2「，

HC的最大值为2+2/？，

vHC=2AH,

.••力〃的最大值为1+二，

故答案为：1+3.

如图，作△BCD的外接圆。。，连接。B,OD,OC,0E,过点。作。E_LBD于从解直角三角形求

出。H,0C,求出HC,4H的最大值即可解决问题.

本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，

属于中考填空题中的压轴题.

14.【答案】解：(一2产一Ctan30。+(-3)。一《)-2

=4-1-9

=4-1+1-9

=-5.

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，零指数幕，负整数指数昂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算

是解题的关键.

15.【答案】解：^―|—8=.

x—77-x

去分母得：x-8-8(x-7)=-1,

移项合并得：-7x=-49,

解得：x=7,

经检验x=7是增根，分式方程无解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方

程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

f正、向(x+3)(x-3).八+33、

16.【答案】解：原式=%+3了(不一不)

--X—-3--x-+-3

x+3x

x—3

-----，

x

当％=4时，原式=尊="

44

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把X的值代入计算，得到答案.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

17.【答案】解：如图，以C点为圆心，CB为半径画弧交4B于D点,

则点。为所作.

【解析】以C点为圆心，CB为半径画弧交48于。点，贝UCD=CB,由于4C=90。，=30。，所

以4B=60。，于是可证明△CBD为等边三角形，所以CD=BD.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等边三角形的判定与性质.

18.【答案】证明：•.•四边形4BCD是平行四边形,

•••AB//CD,AB=CD,4BAD=4BCD.

•••Z.ABE=Z.CDF.

■■AE,C尸分别平分4BAD和NOCB,

・•・Z.BAE=14BAD,4DCF二3乙BCD.

•・•Z.BAD=乙BCD,

:.Z-BAE=Z-DCF.

在△84E与中,

(Z.BAE=乙DCF

\AB=CD,

VZ.ABE=乙CDF

BAE*DCF(ASA).

・•・BE=DF.

【解析】先由平行四边形的性质得至AB=CD,乙BAD=乙DCB,求得NABE=乙CDF,

再证△ABEwaCDF(ASA),然后由全等三角形的性质即可得到结论.

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平

行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

19.【答案】解：・・•卓越同学共购进40套考试专用的48两种套装，比4种套装购进工套，

・•・8种套装购进(40-%)套.

根据题意得:富：第:-n黑，

(30%+32(4。—X)>1232

解得：22SXW24,

又••・x为正整数，

••.X可以为22,23，24,

二卓越同学共有3种进货方案，

方案1：购进4种套装22套，B种套装18套；

方案2：购进4种套装23套，B种套装17套；

方案3：购进4种套装24套，B种套装16套.

【解析】由购进两种套装的数量及购进4种套装的数量，可得出B种套装购进(40-X)套，利用总

价=单价x数量，结合进货总价不超过1054元且销售总额不低于1232元，可得出关于x的一元一次

不等式组，解之可得出工的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各进货方案.

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解

题的关键.

20.【答案】i

4

解：(1):4盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90。，

•••4盘中数字1所对扇形区域占整体的翡=p

3604

・•・转动转盘4指向的数字为1的概率是:，

4

故答案为："

(2)如图，将4盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结

果如下：

1222

31+3=42+3=52+3=52+3=5

41-4=52-4=62*4=62+4=6

51-5=62+5=72十5=72+5=7

共有12种等可能出现的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5,即甲获胜的有7种,

所以甲获胜的概率为今，乙获胜的概率为总，

所以这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大.

(1)求出4盘中数字1所对扇形区域占整体的几分之儿即可；

(2)用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可.

本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提.

21.【答案】解：(1)如图2,作AF1B0,垂足为F.

vAC1BD,

Z.ACB=AA'FB=90°；

在中，41+43=90。；

又：/.A'BA=90°,

N1+42=90°,

:.z.2=Z.3；

在△4。8和4BF4'中,

（AACB=/.A'FB

Z2=Z.3，

=A'B

4CB三△BFA'（/L4S）；

•••A'F=BC

■■■AC//DES.CD1AC,AE1DE,

••CD=AE=1.8；

•••BC=BD-CD=3-1.8=1.2,

A'F=1.2,

即A到BD的距离是1.2m.

（2）由（1）知：△力CB三ABFA,

BF=AC=2m,

作AH10E,垂足为H.

"A'F//DE,

A'H=FD,

A'H=BD-BF=3-2=1,

即H到地面的距离是lm.

【解析】（1）作4尸1BD,垂足为F,根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）根据全等三角形的性质解答即可.

本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

22.【答案】910

解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%,

所以本次抽样人数为：10+20%=50（人），

因为成绩9分的人数占抽样人数的24%,

所以抽样学生中成绩为9分的有：50x24%=12（人）.

补全条形统计图如下：

测试成绩的条出统计图

把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9,所以该组数据的中位数为：9；

该组数据中，10分出现的次数最多，所以众数为：10.

故答案为：9,10.

4x4+8x7+10x8+12x9+16x10

(2)平均数:=8.4（分）.

50

(3)由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：20%+24%+32%=76%,

所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：1500x76%=1140(人).

答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人.

(1)根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；利用中位数、众

数的求法，直接求值即可;

(2)利用平均数的求法，直接求值即可;

(3)先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况.

本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂

条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键.

23.【答案】解：⑴函数的图象如图所示:

根据图象可知：选择函数丫=/«+4

将(0,1),(1,2)代入，

瞰九2,

••・函数表达式为：y=x+l(0<x<5)；

(2)当y=5时，x+1=5,

x=4.

答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时.

【解析】(1)根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表达式;

(2)结合(1)的函数表达式，代入值即可解决问题.

本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质.

24.【答案】(1)证明：连接OE,如图,

•••Z.ABC=90°,

•••BC1AB,

•••8c为直径，

为。。的切线，

•••OE为。。的切线，

•••DE=DB,

•・,OB=OE,

:.。。垂直平分BE,

•・•BC为直径,

・・・乙BEC=90°,

・•・BE1ACf

・・・OD//AC,

•.AD：BD=CO：BO=1：1,

・•・AD=BD；

(2)解：vz/l+zC=90°,zC^E+zC=90°,

:.Z-CBE=Z-A,

4

:.cosZ-CBE=cosA=g,

VBC=6,

.•・OB=3,

在RtAOFB中，:cos4OBF=器=±,

UD5

D口4-12

••.BF=/3=M，

OF-VOB2—BF2=J32—(£)2=

【解析】(1)连接OE,如图，先证明AB为。。的切线，所以根据切线长定理得到DE=DB,则。。

垂直平分BE,再