新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形（解析版）

第1讲圆锥曲线第一定义与焦点三角形一．选择题（共8小题）1．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上．在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．所以椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．2．若椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0有相同的焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两条曲线的一个交点，则SKIPIF1<0的值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0是双曲线右支上一点，SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：由SKIPIF1<0是双曲线右支上一点，所以SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，以SKIPIF1<0为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则此双曲线的离心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．5【解答】解：由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，代入化简可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．5．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线的SKIPIF1<0右支与焦点为SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则该双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：把SKIPIF1<0代入双曲线SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0该双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．6．已知双曲线SKIPIF1<0的右支与焦点为SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：把SKIPIF1<0代入双曲线双曲线SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．7．将两个顶点在抛物线SKIPIF1<0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等边三角形的一个顶点位于抛物线SKIPIF1<0的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于SKIPIF1<0轴轴对称两个边的斜率SKIPIF1<0，其方程为：SKIPIF1<0，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．8．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0的右支与焦点为SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可知SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．二．多选题（共2小题）9．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．以线段SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相切 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 C．以线段SKIPIF1<0为直径的圆与直线SKIPIF1<0相离 D．SKIPIF1<0的最小值为3【解答】解：当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，以线段SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相切；当直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0，可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的中点的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得以线段SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相交，故SKIPIF1<0错；以SKIPIF1<0为极点，SKIPIF1<0轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在准线上的射影为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得线段SKIPIF1<0为直径的圆与准线相切，与直线SKIPIF1<0轴相交，故SKIPIF1<0正确；当直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，可得SKIPIF1<0为通径，取得最小值4，故SKIPIF1<0错误．故选：SKIPIF1<0．10．已知抛物线SKIPIF1<0，过焦点SKIPIF1<0的直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别于直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．则下列说法正确的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0的最小值为4 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为定值【解答】解：抛物线的方程整理可得：SKIPIF1<0，所以焦点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不正确；由椭圆的焦点在SKIPIF1<0轴可得，直线SKIPIF1<0的斜率一点存在，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；所以△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0轴时SKIPIF1<0最小，这时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入抛物线的方程可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最小值为4；所以SKIPIF1<0正确；由题意可得直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，弦长SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为定值，故SKIPIF1<0正确；故选：SKIPIF1<0．三．填空题（共7小题）11．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．【解答】解：由题意可得SKIPIF1<0，设：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，②将②代入①中可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为：SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．12．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上一点，且满足SKIPIF1<0为坐标原点）．若SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0．【解答】解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．13．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的通径SKIPIF1<0（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则SKIPIF1<0的内切圆方程为SKIPIF1<0．【解答】解：设SKIPIF1<0内切圆的半径为SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，其面积SKIPIF1<0，由内切圆的性质可知，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0圆心横坐标为SKIPIF1<0，即圆心坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的内切圆方程是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．14．过抛物线SKIPIF1<0的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的正射影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若梯形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<02．【解答】解：抛物线的焦点坐标为SKIPIF1<0，则过焦点斜率为1的直线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由韦达定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以梯形SKIPIF1<0的面积为：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为2．15．过抛物线SKIPIF1<0的焦点作斜率为SKIPIF1<0的直线与该抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的正射影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若梯形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<03．【解答】解：抛物线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入抛物线方程得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则梯形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：316．过抛物线SKIPIF1<0的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，又过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若梯形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解答】解：抛物线的焦点坐标为SKIPIF1<0，则过焦点斜率为1的直线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由韦达定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0梯形SKIPIF1<0的面积为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．17．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的右支与焦点为SKIPIF1<0的抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，已知双曲线的离心率为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．则SKIPIF1<04．【解答】解：双曲线的离心率为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线为SKIP