专题11.2 与三角形有关角的几何综合（压轴题专项讲练）（人教版）（原卷版）

专题11.2与三角形有关角的几何综合【典例1】【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，①若∠ABC=28°，∠ADC=20°，求∠P的度数；②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．【问题探究】（3）如图3，直线BP平分∠ABC的邻补角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，①若∠A=30°，∠C=18°，则∠P的度数为___________；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为___________；（用（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠C、∠A的关系，直接写出结论___________．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；②由①的结论即可得到数量关系；（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；②与（3）中①相同；（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．【解题过程】（1）解：如图1中，∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：①如图2中，设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，则有x+∠B=y+∠Px+∠P=y+∠D∴∠B-∠P=∠P-∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=1②由①得：2∠P=∠B+∠D；（3）解：①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y，则有，∠P+x=∠A+y∠A+180°-2x=∠C+180°-2y∴2∠P=∠A+∠C，∴∠P=1故答案为：24°；②设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y则有∠P+x=∠A+y∠A+180-2x=∠C+180-2y∴2∠P=∠A+∠C；（4）解：如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，则有∠P+β=∠C+α∠P+3α=∠B+3β∴4∠P=3∠C+∠B，∴∠P=1故答案为∠P=1（5）解：如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y则有∠A+2x=∠C+180°-2y，∴x+y=90°+1∵∠P+x+∠A+y=180°，∴x+y=180°-∠P-∠A，∴∠P=90°-1故答案为∠P=90°-11．（2023春·全国·七年级专题练习）探究：（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+12∠A（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图（1）△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，研究（1）：如果沿直线DE折叠，写出∠BDA'与∠A的关系，并说明理由．研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'、∠CEA'和研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'、∠CEA'和3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点.（1）若∠A=40°，则∠BOC=°；（2）若∠A=n°，则∠BOC=°；（3）若∠A=n°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点，∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点O1，⋯⋯，∠O2016BD的平分线与∠O2016CE4．（2023春·七年级课时练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．5．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）在锐角ΔABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠BPC=110°，求∠A的度数．（2）如图，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，∠APC=100°，则∠B=_________．（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如下图：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的度数．6．（2023春·七年级单元测试）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=12(∠B+∠D)=26°①【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②【拓展延伸】在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示∠P7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；（2）若∠A=α，直线MN经过点D．①如图2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．（1）如图①，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系；（2）如图②，当点D在CB的延长线上时，DE⊥AC交CA的延长线于点E，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG=∠CFG，∠BAF=∠BFA，延长ED，AB交于点K，求∠EKA的度数．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．（1）如图1，当点G与点H重合时，请说明∠BAC=∠EHD；（2）当点G落在△ABC外，且HE∥AD，∠GAB:∠CAD①如图2，请说明∠EHD＝②如图3，若∠B=30°，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度α0<α<180∘，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画个．（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画个．想一想：如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．11．（2023秋·福建南平·八年级校考阶段练习）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；（3）在△ABC中，若∠A=50°，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的∠ACB的度数．12．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）探究题（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是______；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=______；（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=70°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=14∠BCD，∠NDE=14∠ADE，当13．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）△ABC中，∠C=70°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，初探：（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为______；（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为______．再探：（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系______；说明理由．（5）若点P运动到△ABC的外部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系______．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°，则∠EAD=__________°．当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD=__________当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=__________°．（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．15．（2023春·八年级课时练习）在△ABC中AD⊥BC于点D．（1）如图1，若∠BAC的角平分线交BC于点E，∠B=35°，∠EAD=5°，求∠C的度数；（2）如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点E处，折痕分别为DM和DN，点E、F均在直线AD上，若∠B+∠C=60°，试猜想∠AMF与∠ANE之间的数量关系，并简要说明理由；（3）在（2）小题的条件下，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度a0°<a<90°，记旋转中的△DMF为△DM1F1（如图3）．在旋转过程中，直线M1F1与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B=35°，是否存在这样的16．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系：．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC=α，则∠BDC1=．（用含α的式子表示）17．（2022·江苏·八年级假期作业）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由；18．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC=BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C=30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．19．（2022秋·天津和平·八年级校考期中）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A=65°，∠ABC=45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC