模型E02 将军饮马模型（解析版）

将军饮马模型将军饮马模型模型讲解模型讲解一、求线段之和的最小值1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’方法点拨一、题型特征：①AP+PB或者AM+MN+AN②两定点一动点或一定点两动点③动点的运动轨迹为直线二、模型本质：两点之间，线段最短。例题演练例题演练1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC【解答】解：连接AK，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AK＝BK，∴BK+CK＝AK+CK，∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，∵AK+CK≥AC，∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，故选：C．2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝°．【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，∴AM＝A'M，AN＝A″N，此时△AMN的周长最小值等于A'A″的长，∵BA＝BA′，NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．故答案为：100．3．如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD＝，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．【解答】解：（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM．设DM＝x．在Rt△ACM中，AM2＝AC2+CM2＝32+（6﹣x）2，在Rt△BDM中，BM2＝DM2+BD2＝x2+62，∵AM＝MB，∴32+（6﹣x）2＝x2+62，解得x＝，∴CM＝CD﹣MD＝6﹣＝．（2）如图2中，如图，作点A故直线GH的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H．则此时AP+PQ+QB的值最小．根据对称的性质可知：PA＝PA′，QB＝QB′，∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长，在Rt△A′B′H中，∵HB′＝CD＝，HA′＝DB′+CA′＝7+6＝13，∴A′B′＝＝＝，∴AP+PQ+QB的最小值为．强化训练强化训练1．如图，在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，B（3，3），点D在边AB上，AD＝2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若使四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为（）A．（，） B．（2，2） C．（，） D．（，）【解答】解：如图，作点C关于OB的对称点C'，连接PC'，∵B（3，3），∠OAB＝90°，∴OA＝AB＝3，∴∠BOA＝45°，∵点C关于OB的对称点C'，∴∠C'OB＝45°，CP+PC'，∴若使四边形PCAD周长最小，只要PC'+PD最小，当C'、P、D三点共线时，PC'+PD最小，设直线C'D交OB于E，则点P与E重合时，四边形PCAD周长最小，∴点C'在y轴上，且C'（0，），∵AD＝2BD，∴D（3，2），设直线C'D的函数解析式为：y＝kx+b，，∴，∴，又∵直线OB：y＝x，∴，解得，∴点E（），故选：C．2．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案为：．5．3．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为120°．【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'B，A''E，∴AM＝A'M，AN＝A''N，∴AM+AN+MN＝A'M+MN+A''M＝A'A''，此时△AMN的周长最小，∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE，∵∠BAE＝120°，∴∠A''+∠A'＝∠A'AM+∠NAE＝∠60°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案为120°．4．如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内的一点，PO＝10，点Q，R分别在∠AOB的两边上，△PQR周长的最小值是10．【解答】解：如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''交OA、OB于点Q、R，此时，△PQR的周长最小，最小即为P'P''的长．连接OP'，OP''．根据轴对称性可得：∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，OP＝OP'＝OP''＝10，∵∠AOB＝45°，∴∠P'OP''＝90°，∴P'P''＝＝＝．故答案为：10．5．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是4．【解答】解：如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP＝N′P，作点M关于OB的对称点M′，则MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，当N′M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°则∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射线ON'与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直OM'的延长线交于点E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，则EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，则N′M＝＝＝4．故答案为：4．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F共线，∵ME＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2PA，∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值为．故答案为：．7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是．【解答】解：作点P关于直线AB,AC的对称点Q,R,连接QM,RN,QR,如图:则PM＝QM,PN＝RN,.∴△PMN的周长为:PM+MN+PN＝QM+MN+RN,∴当点Q,M,N,R四点共线时,△MNP的周长最小,即为QR的长,连接AQ,AP,AR,:点P关于直线AB,AC的对称点为点Q,R,∴∠BAQ＝∠BAP,∠CAR＝∠CAP,AQ＝AP＝AR,∴∠QAP＝2∠BAP,∠RAP＝2∠CAP,∵∠BAC＝45°,∴∠BAP+∠CAP＝45°,∴2∠BAP+2∠CAP＝90°,∴∠QAR＝∠QAP+∠RAP＝2∠BAP+2∠CAP＝90°,在Rt△QAR中，∠QAR＝90°,AQ＝AR,∵AQ²+AR²＝QR²,∴2AQ²＝QR²,∴QR＝AQ＝AP,∴求QR的最小值时，只需求出AP的最小值,∵点P在BC上运动,∴当AP⊥BC时，AP的值最小,此时QR的值最小，即△MNP的周长最小,在Rt△DAC中,∠ADC＝90°,∠DAC＝45°，∴∠DCA＝90°一∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠DAC∴AD＝CD＝12,∵AB＝17,∴BD＝AB﹣AD＝17﹣12＝5，在Rt△DBC中,∠BDC＝90°，∴BC＝＝＝13,∴当AP⊥BC时,S△ABC＝BC•AP＝AB•CD,∴AP＝＝＝,∴QR＝AP＝×＝,∴△NMP的周长的最小值为．故答案为：。8．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．【解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB+