高考数学一轮复习 第十单元 空间几何体双基过关检测 理试题

“空间几何体”双基过关检测一、选择题1．如图所示，若P为正方体ABCD­A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PACA．①②③④ B．①③C．①④ D．②④解析：选C由题意，得△PAC在底面ABCD，A1B1C1D1上的射影如图①所示，△PAC在其余四个侧面上的射影如图④2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)cm2，则原平面图形的面积为()A．4cm2 B．4eq\r(2)cm2C．8cm2 D．8eq\r(2)cm2解析：选C依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面图形的面积为8cm2.3．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．8π B．12πC．20π D．24π解析：选C如图，由题意得PC为球O的直径，而PC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，即球O的半径R＝eq\r(5)，所以球O的表面积S＝4πR2＝20π.选C.4．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2解析：选B在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).5．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．60 B．30C．20 D．10解析：选D如图，把三棱锥A­BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A­BCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×3×4＝10.6．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4) B．16πC．9π D.eq\f(27π,4)解析：选A如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，所以该球的表面积为4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4).7．(2018·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝()A．1∶2 B．2∶1C．1∶1 D．1∶4解析：选A由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－eq\f(8π,3)＝eq\f(16π,3)，V2＝eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3)，V1∶V2＝1∶2.二、填空题9．(2017·山东高考)由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V＝2×1×1＋2×eq\f(1,4)×π×12×1＝2＋eq\f(π,2).答案：2＋eq\f(π,2)10.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O(如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC＝2，斜边上的高为SO＝1，此高即为四棱锥的高，故V＝eq\f(1,3)×2×2×1＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)11．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x的值为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为2r＝1、高为x的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为5.4－x,3,1的长方体，则该几何体的体积V＝(5.4－x)×3×1＋π×eq\f(1,4)×x＝12.6，解得x＝1.6.答案：1.612．某几何体的一条棱长为eq\r(7)，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为eq\r(6)的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为________．解析：构造长方体，则其体对角线长为eq\r(7)，其在侧视图中为侧面对角线a，在俯视图中为底面对角线b，设长方体底面宽为1，则b2－1＋a2－1＝6，则a2＋b2＝8，利用不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤eq\f(a2＋b2,2)＝4，则a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，即a＋b的最大值为4.答案：4三、解答题13．已知正三棱锥V­ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2eq\r(3)，∴侧视图中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.14．(2018·大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．(2)其侧视图如图所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝eq\r(3)a，