2023年中考数学复习特殊平行四边形综合

特殊平行四边形综合

【知识回顾】

的平行四边形叫做矩形。矩形的四个角都是，对角线。

个角是直角的四边形式矩形，对角线相等的是矩形

相等的平行四边形叫做菱形，菱形的条边都相等，对角线，并且每条对角线平分.

,对角线的平行四边形是菱形。

相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形，正方形的个角都是直角，四条边都。

,并且，每条对角线平分一组。

是正方形，有一个角是直角的是正方形。

8.在线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的共有个

【课堂精讲】

1.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE〃AC,且DE=LAC,连接CE、0E,连接AE,交

2

0D于点F.若AB=2,ZABC=60°,则AE的长为（）

A.V3B.痴.A/?D.2A/2

2.如图，在正方形ABCD中，AD=5,点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3,BE=DF=4,贝ijEF的

长为（）

A，微以yD-V2

3.我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图

形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）.己知菱形的边长为4,且

有一个内角为60。，设它的等积线段长为m,则m的取值范围是（）

A.m=4或m=4«B.4WmW4V^C.2TWmW4

4.如图，菱形ABCD中，AB=4,NA=60。，点E是线段AB上一点（不与A,B重合），作NEDF交BC于点E

且/EDF=60。，则4BEF周长的最小值是（）

A.6B.4«C.4+5/3D.4+2遮

5.如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30。内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若①②③④四个平行

四边形面积和为14cm2,四边形ABCD面积是lien?,则①②③④四个平行四边形周长总和为（）

A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm

6.如图，在正方形ABCD的对角线上取点E,使得NBAE=15。，连结AE,CE.延长CE到E连结BF,使得

BC=BF.若AB=1,则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为返；③BE+EC=EF；@SAAED=—⑤SA

_2412

EBF=Y3.其中正确的是（）

12

A.①③B.①③⑤C.①②④D.①③④⑤

7.如图，在菱形ABCD中，AB=4,/A=120。，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则PK+QK

的最小值为（）

A.2B.2TC.4D.273+2

8.已知线段AB=6,C、D是AB上两点，且AC=DB=1,P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形

APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为.

9.如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连

结A0,如果AB=4,A0=6圾，则AC=.

10.如图，四边形ABCD是菱形，ZBAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相较于点。，点E在AC上，若OE=2

正，则CE的长为

11.如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,

PB=道.下列结论：①4APD丝AAEB；②点B到直线AE的距离为y；③EBJ_ED：④SAAPD+SAAPB=1+加;

⑤S止方形ABCD=4+加.其中正确结论的序号是.

12.如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2,它们都有两个顶点在大正方形的边上且组成的图

形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为.

13.己知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD边长为4,它的顶点A在x轴的正半轴上运动（点A,

D都不与原点重合），顶点B,C都在第一象限，且对角线AC,BD相交于点P,连接OP.设点P到y轴的距离

为d,则在点A,D运动的过程中，d的取值范围是.

14.如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD,CB=CD,/B=/D=90。，ZA=135°.将纸片先沿直线AC对折,

再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为

2圾的平行四边形，则CD=.

15.如图，已知矩形纸片ABCD,AB=4,BC=10,M是BC的中点，点P沿折线BA-AD运动，以MP为折痕

将矩形纸片向右翻折，使点B落在矩形的边上，则折痕MP的长.

16.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个

四边形叫做和谐四边形.在四边形ABCD中，AB=AD=BC,ZBAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线，则/

BCD=.

17.如图，矩形ABCD中，BC=2«,ZCAB=30°,E,F分别是AB,CD上的点，且BE=DF=2,连结AF、

CE.点P是线段AE上的点，过点P作PH〃CE交AC于点H,设AP=x.

（1）请判断四边形AECF的形状并证明；（2）用含x的代数式表示AH的长；

（3）请连结HE,则当x为何值时AH=HE成立？

【综合提升练习】

18.如图1,点O为正方形ABCD的中心.

(1)将线段0E绕点0逆时针方向旋转90。，点E的对应点为点F,连结EF,AE,BF,请依题意补全图1(用

尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；

(3)如图2,点G是OA中点，AEGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，NEGF=90。，AB=8,GE=4,AEGF

绕G点逆时针方向旋转a角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值.

19.在如图所示方格中，点A,B,C,D都在格点上，且AB=BC=2CD=4,P是线段BC上的动点，连AP,DP.

(1)设BP=x,用含字母x的代数式分别表示线段AP,DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；

(2)AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值.

20.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE,并以AE为对称轴，作与4ADE成

轴对称的图形AAFE,延长EF(或FE)交直线BC于G.

(1)求证：DE+BG=EG；ZEAG=45°；(2)设AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值；

(3)若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点"，则(1)中的结论还成立吗？请说明理

由.

21.如图，直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，对角线OB在x轴正半轴上，点A的坐标为(4,4加)，点

D为AB的中点.动点M从点。出发沿x轴向点B运动，运动的速度为每秒1个单位，试解答下列问题：

(1)则菱形ABCO的周长为；

(2)当t=4时，求MA+MD的值；

(3)当t取什么值时，使MA+MD的值最小？并求出它的最小值.

特殊平行四边形综合教师版

【知识回顾】

的平行四边形叫做矩形。矩形的四个角都是，对角线。

个角是直角的四边形式矩形，对角线相等的是矩形

相等的平行四边形叫做菱形，菱形的条边都相等，对角线，并且每条对角线平分。

,对角线的平行四边形是菱形。

相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形，正方形的个角都是直角，四条边都。

,并且，每条对角线平分一组。

是正方形，有一个角是直角的是正方形。

8.在线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的共有个

【课堂精讲】

1.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE〃AC,且DE=1AC,连接CE、OE,

2

连接AE,交OD于点F.若AB=2,ZABC=60°,则AE的长为()

A.V3B.V5C.V?D.2>/2

【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出NCOD=90。，证

明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB,再根据勾股定理得出AE的长度即可.

【解答】解：在菱形ABCD中，OC=LAC,AC±BD,

2

/.DE=OC,

•.•DE〃AC,

•••四边形OCED是平行四边形，

VAC1BD,

二平行四边形OCED是矩形，

'在菱形ABCD中，ZABC=60°,

.,.△ABC为等边三角形，

，AD=AB=AC=2,OA=1AC=1,

2

在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD=屈复后=后不=我，

在RtaACE中，由勾股定理得：AE=〃c2+CE2M2+(花”瓜

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形

的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键.

2.如图，在正方形ABCD中，AD=5,点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3,BE=DF=4,

则EF的长为()

金.春)我

【分析】延长AE交DF于G,再根据全等三角形的判定得出AAGD与aABE全等，得出AG=BE=4,

由AE=3,得出EG=1,同理得出GF=1,再根据勾股定理得出EF的长.

【解答】解：延长AE交DF于G,如图：

VAB=5,AE=3,BE=4,

...△ABE是直角三角形，

.•.同理可得4DFC是直角三角形，

可得4AGD是直角三角形，

，ZABE+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

.,.ZGAD=ZEBA,

同理可得：NADG=NBAE,

在4AGD和4BAE中，

'NEAB=/GDA

，AD=AB，

NABE=NDAG

/.△AGD^ABAE（ASA）,

，AG=BE=4,DG=AE=3,

，EG=4-3=1,

同理可得：GF=L

/,EF=V12+12=V2,

故选D.

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1,再利用勾

股定理计算.

3.我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线

被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线

段）.已知菱形的边长为4,且有一个内角为60。,设它的等积线段长为m,则m的取值范围是（）

A.m=4或2遥1fse4«D.2TWmW4

【分析】由题目所提供的材料信息可知当菱形的“等积线段”和边垂直时最小，当“等积线段”为菱形

的对角线时最大，由此可得问题答案.

【解答】解：由“等积线段”的定义可知：当菱形的“等积线段”和边垂直时最小，

此时直线1LDC,过点D作DN±AB于点N,

则NDAB=60。，AD=4,

故DN=AD・sin600=2«,

当“等积线段''为菱形的对角线时最大，

则DO=2,故AO=2^,即AC=4^,

则m的取值范围是：2我

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，读懂题意，弄明白”等积线段”的定义，并准

确判断出最短与最长的“等积线段''是解题的关键.

4.如图，菱形ABCD中，AB=4,NA=60。，点E是线段AB上一点（不与A,B重合），作NEDF

交BC于点F,且/EDF=60。，则4BEF周长的最小值是（）

A.6B.4佟.4+V3D.4+2正

【分析】只要证明△DBEg△DCF得出△DEF是等边三角形，因为4BEF的周长

=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等边三角形4DEF的边长最小时，ABEF的周长最小，

只要求出4DEF的边长最小值即可.

【解答】解：连接BD,

'菱形ABCD中，ZA=60°,

/.△ADB与4CDB是等边三角形，

/.ZDBE=ZC=Z60o,BD=DC,

,/ZEDF=60°,

.,.ZBDE=ZCDF,

rZDBE=ZC

在aBDE和4CDF中,NBDE=NCDF，

BD=CD

.,.△DBE^ADCF,

，DE=DF,ZBDE=ZCDF,BE=CF,

.,.ZEDF=ZBDC=60°,

.•.△DEF是等边三角形，

,:ABEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

等边三角形4DEF的边长最小时，4BEF的周长最小，

当DEJ_AB时,DE最小=2b，

...△BEF的周长最小值为4+2遮，

故选D.

【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题

等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解

决问题，所以中考常考题型.

5.如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30。内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若①②

③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是lien?,则①②③④四个平行四边形

周长的总和为（）

A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm

【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是lien?,可求出⑤

的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边

形周长的总和.

【解答】解:由题意得:S®=S四边杉ABCD-（Sq）+S②+S③+S④）=4cm-,

2

AS菱形EFGH=14+4=18cm2,

XVZF=30°,

设菱形的边长为x,则菱形的高为Sin3(rx=3,

2

根据菱形的面积公式得：x•三=18,

2

解得：x=6,

菱形的边长为6cm,

而①②③④四个平行四边形周长的总和=2(AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE)=2(EF+FG+GH+HE)

=48cm.

故选A.

【点评】本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本

题需要用到平行四边形的对角线平分平行四边形的面积.

6.如图，在正方形ABCD的对角线上取点E,使得NBAE=15。，连结AE,CE.延长CE到F,

连结BF,使得BC=BF.若AB=1,则下列结论：

①AE=CE；②F到BC的距离为区；③BE+EC=EF；④SAAED=L+返；⑤SAEBF=豆.

241212

其中正确的是()

A.①③B.①③⑤C.①②④D.①③④⑤

【分析】根据正方形的性质得出AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,利用SAS证明△ABEgZ\CBE,

即可判断①正确；过F作FHLBC于H,先求出NFBH=30。，再根据直角三角形的性质求出FH,

即可判断②错误；在EF上取一点N,使BN=BE,由NBEN=60。，得出aNBE为等边三角形，再

利用ASA证明4FBN丝ACBE,得出NF=EC,从而判断③正确；过A作AMJ_BD交于M,根据

勾股定理求出BD,解直角4ADM与直角AAEM,求出AM、DM与EM的值，根据三角形的面

积公式求出SAAED=—DEXAM=—+,即可判断④正确；根据SAEBF=SAFBC-SAEBC及SCBE=SA

2412A

ABE=SAABM-SzxAEM，求出SAEBF=Y5，进而判断⑤正确.

12

【解答】解：①•.•四边形ABCD是正方形，

，AB=BC,NABD=NCBD=45。，

VBE=BE,

在4ABE和4CBE中，

/.△ABE^ACBE(SAS),

.,.AE=CE,

...①正确；

②过F作FHJ_BC于H.

VAABE^ACBE,

/.ZBAE=ZBCE=15O.

VBF=BC=1,

/.ZBFC=ZFCB=15°,

，NFBH=NBFC+NFCB=30。，

z.FH=1BF=1,

22

•••②错误；

③在EF上取一点N,使BN=BE,

又•:NBEN=NEBC+NECB=45°+15°=60°,

.•.△NBE为等边三角形，

.".ZENB=60°,

又•.•NNFB=15。，

.,.ZNBF=45°,

又•.♦/EBC=45°,

/.ZNBF=ZEBC,

又•；BF=BC,ZNFB=ZECB=15°,

在4FBN和ACBE中，

••.△FBN^ACBE(AAS),

，NF=EC,

故BE+EC=EN+NF=EF,

...③正确；

④过A作AM1BD交于M.

在直角AABM中，VZBAD=90°,AB=AD=1,

，BD=&,

在直角AADM中，VZAMD=90°,NADM=45。，AD=1,

，DM=AM=返，

2_

在直角AAEM中，VZAME=90°,ZAEM=60°,AM=返,

_2

.•.EM=M=返，

V36__

/.SAAED=IDExAM=1(返+返)x返=1+返，

22262412

...④正确；

(§)VBD=V2，AM=DM=返，EM=2Z1,

26

，BM=BD-DM=J2-返=返，BM-EM=返-返，

2226_

SAABE=SAABM-SAAEM=—BMeAM--EM*AM=-AM(BM-EM)=工义返义(返-返)=u

22222264

返

12

VAABE^ACBE,

••SAABE-SACBE—-—叵

412_

SAEBF=SAFBC-SAEBC=—X1X-(—-^3.)

2241212

...⑤正确.

故正确答案为①③④⑤.

故选：D.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，解直角三角形

等知识，综合性较强，有一定难度.准确作出辅助线是解题的关键.

7.如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZA=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意

一点，则PK+QK的最小值为()

A.2B.2V3C-4D.2折2

【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P',连接PQ与BD的交点即为

所求的点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知PQJ_CD时，

PK+QK的最小值，然后求解即可.

【解答】解：作点P关于BD的对称点P，，作PQLCD交BD于K,交CD于Q,

VAB=4,ZA=120°,

二点P，到CD的距离为4X

2

.,.PK+QK的最小值为2遮，

故选:B.

【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确

定最短路线的方法是解题的关键.

8.已知线段AB=6,C、D是AB上两点，且AC=DB=1,P是线段CD上一动点，在AB同侧分别

作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移

动的路径长度为2.

【分析】分别延长AE、BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G

的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即

可.

【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H.

VZA=ZFPB=60°,

，AH〃PF,

VZB=ZEPA=60°,

；.BH〃PE,

四边形EPFH为平行四边形，

...EF与HP互相平分.

•••G为EF的中点，

...G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD

的中位线MN.

VCD=6-1-1=4,

，MN=2,即G的移动路径长为2.

【点评】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点.

9.如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的

中心为0,连结A0,如果AB=4,A0=6亚，则AC=16.

【分析】在AC上截取CG=AB=4,连接0G,根据B、A、0、C四点共圆，推出/AB0=NAC0,

证△BA0g/XCGO,推出0A=0G=6M，NA0B=NC0G,得出等腰直角三角形A0G,根据勾股

定理求出AG,即可求出AC.

【解答】解：在AC上截取CG=AB=4,连接0G,

•四边形BCEF是正方形，ZBAC=90°,

，OB=OC,ZBAC=ZBOC=90°,

••.B、A、0、C四点共圆，

ABONACO,

•.•在△BAO和△CGO中

fBA=CG

<NBAO=NGCO，

OB=OC

.,.△BAO^ACGO,

，OA=OG=6M，ZAOB=ZCOG,

,/ZBOC=ZCOG+ZBOG=90°,

...ZAOG=ZAOB+ZBOG=90°,

即AAOG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AG={AO2+OG2=12,

即AC=12+4=16.

故答案为：16

【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定

等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.

10.如图，四边形ABCD是菱形，ZBAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相较于点O,点E在

AC上，若OE=2/则CE的长为5立或近.

【分析】由菱形的性质证出4ABD是等边三角形，得出BD=AB=6,OB=1BD=3,由勾股定理得

2

出OC=OA=JAB2_QB2=S即可得出答案.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，

，AB=AD=6,AC±BD,OB=OD,OA=OC,

VZBAD=60°,

.•.△ABD是等边三角形，

.*.BD=AB=6,

.,.OB=1BD=3,

2

/.OC=OA=7AB2-OB2=3>/3,

AC=2OA=6立，

•.•点E在AC上，OE=25,

当E在点O左边时CE=OC+273=573，

当点E在点O右边时CE=OC-243=43,

，CE=5虫或«；

故答案为：5b或加.

【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，由

勾股定理求出OA是解决问题的关键.

11.如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若

AE=AP=1,PB=J^.下歹U结论：@AAPD^AAEB；②点B到直线AE的距离为M；(3)EB1ED；

@SAAPD+SAAPB=1+V6；⑤S正方形ABCD=4+加.其中正确结论的序号是①③⑤.

【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明aAPD丝^AEB；

②由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE过点B作BF1AE延长线于F,由①得NAEB=135。

所以NEFB=45。，所以AEFB是等腰Rt4,故B到直线AE距离为BF=«,故②是错误的；

③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；

④由△APDgZ\AEB,可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB，然后利用已知条件计算即可判定；

⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到SABPD=1PDXBE=2,所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+

22

返，由此即可判定.

2

【解答】解：由边角边定理易知4APD之Z^AEB,故①正确；

由△APDgAAEB得，ZAEP=ZAPE=45°,从而NAPD=NAEB=135。，

所以NBEP=90。，

过B作BFLAE,交AE的延长线于E则BF的长是点B到直线AE的距离，

在4AEP中，由勾股定理得PE=M，

在4BEP中，PB=遂，PE=a，由勾股定理得：BE=«,

VZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

.•.NAEP=45°,

ZBEF=180°-45°-90°=45°,

.•.NEBF=45°,

，EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=YI,

2

故②是错误的；

因为△APDgAAEB,所以NADP=NABE,而对顶角相等，所以③是正确的;

由△APDgAAEB,

.•.PD=BE=«,

可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=SAAEP+SABEP=工+1，因此④是错误的;

22

连接BD,则SABPD=1PDXBE=1,

22

所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+,

2

所以S正方形ABCD=2SAABD=4+5/5.

综上可知，正确的有①③⑤.

【点评】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综

合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.

12.如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2,它们都有两个顶点在大正方形的边

上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为a+之区.

4~2

【分析】连接AC；由正方形的性质和已知条件得出EF=M，GH=2,NEAF=NGCH=90。，由轴

对称图形的性质得出AE=AF,CG=CH,得出AM=LEF=Y2,CN=1GH=1,求出AC的长，得出

222

正方形ABCD的面积，由大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得出图中阴影部分的面积.

【解答】解：如图所示：连接AC；

正方形ABCD内两个相邻正方形的面积分别为4和2,

，EF=&,GH=2,ZEAF=ZGCH=90°,

根据题意得：AE=AF,CG=CH,

.•.AM=LEF=返，CN=1GH=I,

222

AC=返+亚+2+1=予反+3，

22_

2

正方形ABCD的面积=J_AC2=L（色巨+3）=27+W2）

22242

•••图中阴影部分的面积=空+^^-4-2=务也；

4242

故答案为：3+迫.

42

【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计

算方法；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线求出对角线AC是解决问题的关键.

13.已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在x轴的正半

轴上运动（点A,D都不与原点重合），顶点B,C都在第一象限，且对角线AC,BD相交于点P,

连接0P.设点P到y轴的距离为d,则在点A,D运动的过程中，d的取值范围是2VdW2史.

【分析】根据垂线段最短，A、0重合时，点P到y轴的距离最小，为正方形ABCD边长的一半，

OA=OD时点P到y轴的距离最大，为PD的长度，即可得解.

【解答】解：当A、0重合时，点P到y轴的距离最小，

d=lx4=2,

2

当OA=OD时，点P至轴的距离最大，d=PD=2M，

•.•点A,D都不与原点重合，

.,.2VdW2a，

故答案为2VdW2M.

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判

定，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，（2）根据垂线段最短判断出最小与最大值的情

况是解题的关键.

14.如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD,CB=CD,NB=ND=90。，ZA=135°.将纸片先沿

直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平

后的图形中有一个是面积为2亚的平行四边形，则CD=2+近或2+2遮.

【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾

股定理得出CD的长.

【解答】解：如图1所不：

延长BE交CD于点N,过点A作ATLBE于点T,

当四边形ABED为平行四边形，

VAB=AD,

...四边形ABED是菱形，

VZABC=ZADC=90°,ZBAD=135°,AD〃BN,AB〃DE,

.,.ZABT=45°,NBAT=45°,ZABT=ZDEN=45°,ZEND=90°,

贝l」NNDE=45。，

四边形ABCE面积为2圾，

设AT=x,则AB=BE=ED=亚x,

故血xXx=2«,

解得：x=V2（负数舍去），

则BE=ED=2,EN=M，

故DC=DN+NC=V^+扬2=2+2M；

如图2,

当四边形AECF是平行四边形，

VAE=AF,

•••平行四边形AECF是菱形，

VZB=ZD=90°,ZBAD=135°,

•,.ZBCA=ZDCA=22.5°,

VAE=CE,

.,.ZAEB=45°,

.,.设AB=y,则BE=y,AE=&y,

,/四边形AECF面积为2近，

，ABXCE=&y2=2M，

解得:y=我,故CE=2,BE=我,

则CD=BC=2+加,

综上所述：CD的值为：2+圾或2+2证.

故答案为：2+2后或2+我.

【点评】此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正

确图形是解题关键.

15.如图，已知矩形纸片ABCD,AB=4,BC=10,M是BC的中点，点P沿折线BA-AD运动，

以MP为折痕将矩形纸片向右翻折，使点B落在矩形的边上，则折痕MP的长明列或2遂或4.

【分析】分三种情况进行讨论：①点B，落在AB边上，②点B，落在AD边上，③点B，与点C重合，

根据折叠的性质，分别画出图形进行求解.

【解答】解：①如图，当点B，落在AB边上时，过M作MEJ_AD于E,可得四边形ABME为矩

形，

，EM=AB=4,AE=BM,

又•.•BC=10,M为BC的中点，

二由折叠可得：B,M=BM=AE=5,

,

在RtaEMB，中，根据勾股定理得：BE=,y52_42=3,

，AB，=AE-B'E=2,

设BP=x,则AP=4-x,PB'=x,

在RCPAB，中，根据勾股定理得：PB,2=AP2+AB,2,

即x?=(4-x)2+22,

解得x=5,

2

...PB=2

2________

在RtaBMP中，根据勾股定理得：PM=^(1.)2+52=1^；

②如图，当点B，落在AD边上时，过M作ME_LAD于E,可得四边形ABME为矩形，

，EM=AB=4,

XVBC=10,M为BC的中点，

,由折叠可得：B，M=BM=5,

(

在RtaEMB，中，根据勾股定理得：6£=^52_42=3,

由AD〃BC可得，ZDPM=ZBMP,

由折叠可得，ZPMB^ZBMP,

/.ZDPM=ZPMB,,

.•.B'M=B'P=5,

：.PE=5-3=2,

在RtaPEM中，根据勾股定理得：PM=*7濯=2依；

③如图，当点B，与点C重合时，由NA=NB=NBMP=90。，可得四边形ABMP为矩形，

止匕时，PM=AB=4.

综上所述，折痕MP的长为：谯或2遂或4.

故答案为：或2旄或4

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，需要注意

折叠前后图形的对应边相等、对应角相等.解题时，常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴

对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方

程求出答案.

16.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的

和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.在四边形ABCD中，AB=AD=BC,ZBAD=90°,AC是四

边形ABCD的和谐线，则NBCD=45°或90°或135°.

【分析】首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出4ACD是等腰

三角形，从图1,图2,图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30。的直角三角形

性质就可以求出NBCD的度数.

【解答】解：•••AC是四边形ABCD的和谐线，

.•.△ACD是等腰三角形.

VAB=AD=BC,

如图1,当AD=AC时，

，AB=AC=BC,NACD=NADC

.二△ABC是正三角形，

/.ZBAC=ZBCA=60°.

VZBAD=90°,

/.ZCAD=30°,

，NACD=NADC=75。，

.,.ZBCD=60o+75°=135°.

如图2,当AD=CD时，

.,.AB=AD=BC=CD.

VZBAD=90°,

，四边形ABCD是正方形，

:.ZBCD=90°；

如图3,当AC=CD时，过点C作CELAD于E,过点B作BFLCE于F,

VAC=CD.CE_LAD,

.,.AE=1AD,ZACE=ZDCE.

2

■:ZBAD=ZAEF=ZBFE=90°,

...四边形ABFE是矩形.

/.BF=AE.

VAB=AD=BC,

.,.BF=1BC,

2

•,.ZBCF=30°.

VAB=BC,

.,.ZACB=ZBAC.

VAB/7CE,

，NBAC=NACE,

，ZACB=ZACE=1ZBCF=15°,

2

•,.ZBCD=15°X3=45°.

综上：/BCD的度数可能是：135。，90。或45。

故答案为:45°或90°或135°.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及含30。角的直角三角形的

性质.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

17.如图，矩形ABCD中，BC=2«,NCAB=30。，E,F分别是AB,CD上的点，且BE=DF=2,

连结AF、CE.点P是线段AE上的点，过点P作PH〃CE交AC于点H,设AP=x.

(1)请判断四边形AECF的形状并证明；

(2)用含x的代数式表示AH的长；

(3)请连结HE,则当x为何值时AH=HE成立？

【分析】(1)根据直角三角形的性质和勾股定理求出CA、AB的长，根据菱形的判定定理证明即

可；

(2)根据相似三角形的判定定理证明△APHs^AEC,根据相似三角形的性质得到迎=思，计

ACAE

算求出AH；

(3)作HGLAB于G,根据锐角三角函数的定义求出AG、HG,根据勾股定理表示出HE,根据

题意列出方程，解方程即可.

【解答】解：(1)四边形AECF是菱形.

•..四边形ABCD为矩形，

.,.NB=90。，又BC=2^,NCAB=30。，

；.CA=2BC=4遂，AB=6,

VBE=2,

/.AE=AB-BE=4,CE=2=4,

VCF^AE,CF=AE=2,

二四边形AECF是平行四边形，又EA=EC=4,

...四边形AECF是菱形；

(2)VPH^CE,

.".△APH^AAEC,

•AH_AP即AH一x

ACAE4734

解得，AH=«x；

(3)作HGLAB于G,

VAH=V3X,ZCAB=30°,

/.HG=2/^.x,AG=—x,

22

/.GE=AE-AG=4-lx,

2_________________

由勾股定理得，HE='HG2+GE2=J(亭^产+(4多产值?-⑵+16,

当AH=HE时，V3x=73X2-12X+16，

解得,x=l,

3

则当x=2时，AH=HE成立.

3

【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，

灵活运用相关的性质和定理、根据题意正确作出辅助线是解题的关键，注意方程思想在解题中的应

用.

【综合提升练习】

18.如图1,点0为正方形ABCD的中心.

(1)将线段0E绕点0逆时针方向旋转90。，点E的对应点为点F,连结EF,AE,BF,请依题

意补全图1(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；

(3)如图2,点G是OA中点，Z\EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，ZEGF=90°,AB=8,

GE=4,aEGF绕G点逆时针方向旋转a角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值.

【分析】（1）根据题意画出图形即可；

（2）延长EA交OF于点H,交BF于点G,利用正方形的性质和旋转的性质证明^EOA之△FOB,

得至UAE=BF.根据等边对等角得到NOEA=NOFB,由NOEA+/OHA=90。,所以NOFB+NFHG=90。,

进而得到AE±BF.

（3）如图3,当B,G,H三点在一条直线上时，BH的值最大，根据正方形的性质得到AG=OG=

1AO=2^,根据勾股定理得到BG=^B02+0G2=2VT0.根据等腰直角三角形的性质得到GH=2«,

于是得到结论.

【解答】解：（1）如图1所不：

（2）如图2,延长EA交OF于点H,交BF于点G,

V0为正方形ABCD的中心

/.OA=OB,NAOB=90。，

VOE绕点0逆时针旋转90角得到OF,

.,.OE=OF

/.ZAOB=ZEOF=90°,

/.ZEOA=ZFOB,

'OE=OF

在AEOA和AFOB中，JNE0A=/F0B，

0A=0B

/.△EOA^AFOB,

/.AE=BF.

.,.ZOEA=ZOFB,

VZOEA+ZOHA=90°,

/.ZOFB+ZFHG=90°,

/.AE±BF；

（3）如图3,当B,G,H三点在一条直线上时，BH的值最大，

•四边形ABCD是正方形，AB=8,

.,.AO=BO=4&,

•.•点G是OA中点，

.,.AG=OG=±AO=2圾，

BG=7BO2+OG2=2师’

•••△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，

VEG=4,

，EF=4&,

，GH=*EF=2加，

Z.BH=BG+GH=2标+2如，

ABH的最大值是2丁62a.

【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键

是正确画出图形，作出辅助线，利用旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质解

决问题.

19.在如图所示的方格中，点A,B,C,D都在格点上，且AB=BC=2CD=4,P是线段BC上的动

点，连结AP,DP.

（1）设BP=x,用含字母x的代数式分别表示线段AP,DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的

值；

（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值.

【分析】（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；

（2）作点A关于BC的对称点A，，连接A，D,再由对称的性质及勾股定理即可求解.

【解答】解：（1）由题意结合图形知：

AB=4,BP=x,CP=4-x,CD=2,

,AP=3Ap2+B产&+16，

DP=VPC^CD2=V22+（4-X）7X2-8X+20;

当x=2时，AP+DP=V20+Vs=2V5+2V2；

（2）存在.

如图，作点A关于BC的对称点A，，连接AD,

.\A,E=4,DE=6,

则AfD=E2+DE2=V42+62=^2=2\fl3»

，最小值为2万.

【点评】本题主要考查的是最短线路问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此类题目的关键.

20.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE,并以AE为对称轴，

作与4ADE成轴对称的图形AAFE,延长EF（或FE）交直线BC于G.

（1）求证：DE+BG=EG；ZEAG=45°；

（2）设AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值；

（3）若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点"，则（1）中的结论还成立

吗？请说明理由.

【分析】(1)根据折叠的性质，AADE^AAGE,得到AD=AF=AB,DE=FE,NDAE=NFAE,

ZD=ZAFE=ZAFG=90°=ZB,然后根据“HL”可证明Rt^ABGgRtaAFG,则GB=GF,NBAG=

ZFAG,所以NGAE=LNBAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；

2

(2)AB=1,GF=m,FE=n,则EG、CG、CE可以用m、n表示，由于NC=90。，根据勾股定理列

方程即可解答；

(3)不成立，此时，EF=BF-DE,NEAF=45。成立，证明方法与(1)类似.

【解答】解：如图1,•••把4ADE沿AE折叠使4ADE落在4AFE的位置，

•,.△ADE^AAGE

，AD=AF=AB,DE=FE,ZDAE=ZFAE,ZD=ZAFE=ZAFG=90°=ZB,

在RtAABG和RtAAFG中,

[AB=AF,

1AG=AG'

.,.RtAABG^RtAAFG(HL),

；.GB=GF,NBAG=NFAG,

ZGAE=ZFAE+ZFAG=lzBAD=45°,

2

，GE=GF+EF=BG+DE；

(2)如图1,设AB=1,GF=m,FE=n,则EG=m+n,CG=1-m,CE=1-n,

VZC=90°,

(1-m)2+(1-n)2=(m+n)2,

整理得：m+n+mn=1；

(3)EF=BF+DE不成立，

理由：如图2,止匕时，EF=BF-DE,NEAF=45°成立.

同(1)WAADE^AAGE,RtAABG^RtAAFG,

，DE=FE,GB=GF,ZDAE=ZFAE,NBAG=NFAG,

，GE=GF-EF=BG-DE,

ZGAE=ZFAG-ZFAE=1ZBAD=45°.

2

【点评】本题主要考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合运用，发现

图形中4ADE之4AGE以及RtAABG^RtAAFG,是解决问题的关键.

21.在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F是对角线ACS行的两个动点，分别从A,C同时出发

相向而行，速度均为lcm/s,运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动.

(1)若G,H分别是AB,DC中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形.

(2)在(1)条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.

(3)若G,H分别是折线A-B-C,C-D-A上的动点，与E,F相同的速度同时出发，当t为

何值时，四边形EGFH为菱形.

【分析】(1)由矩形的性质得出AB=CD,AB〃CD,AD