2022年北京中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.不等式；的最小整数解是（）

A.-3B.-2C.-1D.2

2.如图，在0O中，直径垂足为M,则下列结论一定正确的是（）

A.AC=CDB.OM=BMC.ZA=-ZACDD.ZA=-ZBOD

22

3.某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x

米，那么求x时所列方程正确的是（）

480480,480480

A.B.=20

x-20xXx+4

480480,480480

C.D.=20

xx+20x-4X

4.下列运算正确的是（）

A.x24-X3=x5B.X2+x3=x6C.(x2),=X5D.(x2)J==X6

5.如图是我国南海地区图，图中的点分别代表三亚市，永兴岛，黄岩岛，渚碧礁，弹丸礁和曾母暗沙，该地区图上两

个点之间距离最短的是（）

.7

•拿耽

•・0—

A.三亚--永兴岛B.永兴岛--黄岩岛

C.黄岩岛--弹丸礁D.渚碧礁--曾母暗山

6.如图，在△ABC中，ZB=46°,ZC=54°,A。平分NA4G交BC于D,DE//AB,交AC于E,则NCDE的大

小是（）

C.46°D.54°

7.将抛物线y=3-x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）

A.y=x2+3x+6B.y=x2+3xC.y—x2-5x+10D.j=x2-5x+4

8.已知A(-1,%）,B（2,%）两点在双曲线y=----------上，且%＞丫2,则m的取

x

值范围是（）

33

A.m>0B.m<0C.m>一一D.m<——

22

9.下列运算正确的是（）

A.(a2)4=a6B.a2*a3=a6c.V2xV3=V6D.e+6=#>

10.根据中国铁路总公司3月13日披露,2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发

送旅客3.82亿人次.3・82亿用科学记数法可以表示为（）

A.3.82X107B.3.82x108C.3.82X109D.0.382x10'°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，卜加可燃冰的质量仅为000092伙.数字0.00（）92用科学记数法表示是

12.用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数

都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）.

第1个图案第2个图案第3个图案

m—1x

13.若关于x的方程-----------=0有增根，则m的值是.

x—1x-1

14.已知扇形的弧长为万，圆心角为45。，则扇形半径为.

15.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是

x+3y=5

16.方程组\:，的解是________.

2x-3j=l

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图1在正方形A8C。的外侧作两个等边三角形AOE和OCF,连接AF,BE.

图1图2备用图

位置关系;如图2,若将条件“两个等边三角形AOE和OCV”变为“两个等腰三角形ADE和OCR且

£4=m=尸。=尸。，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；若三角形A0E和OC歹为一般三角形,

且AE=OEED=FC,第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.

，2x-7<3(x-l)@

18.（8分）化简求值:-n--------(1------)其中x是不等式组＜42的整数解.

X2+2x+ix+1—x+3<1——x®

133

19.（8分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达.芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题.已知正方形的边长是

2,就能求出图中阴影部分的面积.

证明：S矩形ABCD=SI+S2+S3=2,S4=，Ss=，S6=+，SH»=S1+S6=S1+S2+S3=

20.（8分）矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.

（1）如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.

①求证：AOCPs/\PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4,求边AB的长.

（2）如图2,在（1）的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在

线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME_LBP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，

线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.

21.（8分）某通讯公司推出了A,B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）

收到方式月使用斐元包月上网时间h超时费（元mE）

A30250.05

B50500.05

设月上网时间为xh（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题

（1）设方案A的收费金额为yi元，方案B的收费金额为y2元，分别写出yi,y2关于x的函数关系式；

（2）当35VxV50时，选取哪种方式能节省上网费，请说明理由

22.（10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量

是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价

上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.每件玩具

的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是

多少？

23.（12分）已知直线（机邦，且〃为常数）与双曲线》=工（*<0）在第一象限交于A,B两点,C,D

X

是该双曲线另一支上两点，且4、3、C、。四点按顺时针顺序排列.

（D如图，若机=-*,〃=",点8的纵坐标为3,

222

①求4的值；

②作线段CZ）,使且并简述作法;

(2)若四边形A3CD为矩形，4的坐标为(1,5),

①求m,n的值；

②点尸(a,b)是双曲线y=与第一象限上一动点，当SA仙生24时，则a的取值范围是

24.已知：如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AD=CD,E是对角线BD上一点，且EA=EC.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)如果NBDC=30。，DE=2,EC=3,求CD的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可.

【详解】

3二>□—

3二一二之一5'

->

...不等式;二之二.5的最小整数解是x=2

故选B.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如

果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变.

2、D

【解析】

根据垂径定理判断即可.

【详解】

连接QA.

,直径45_1_弦CO,垂足为CM=MD,NCAB=NDAB.

•：2NDAB=NB0D,：.ZCAD=-ZBOD.

2

故选D.

【点睛】

本题考查的是垂径定理和圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半是解答此题的关键.

3、C

【解析】

本题的关键描述语是：“提前1天完成任务“；等量关系为：原计划用时-实际用时=1.

【详解】

解：原计划用时为：—,实际用时为：泗北

xx+20

位480480”

所列方程为：........—­=4,

xx+20

故选C.

【点睛】

本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

4、D

【解析】

根据幕的乘方：底数不变，指数相乘.合并同类项即可解答.

【详解】

解：A、B两项不是同类项，所以不能合并，故A、B错误，

C、D考查幕的乘方运算，底数不变，指数相乘.（_?）3=/，故口正确；

【点睛】

本题考查嘉的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键.

5、A

【解析】

根据两点直线距离最短可在图中看出三亚-永兴岛之间距离最短.

【详解】

由图可得，两个点之间距离最短的是三亚-永兴岛.

故答案选A.

【点睛】

本题考查的知识点是两点之间直线距离最短，解题的关键是熟练的掌握两点之间直线距离最短.

6、C

【解析】

根据DE//AB可求得NCZ）E=NB解答即可.

【详解】

解：'JDE//AB,

：.ZCDE=ZB=46°,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等.快速解题的关键是牢记平行线的性质.

7、A

【解析】

先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可.

【详解】

口=匚;-口+/=(口

当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得

口=(匚-:+21+；+3=(口+,，+?=口；+3口+/

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；

8、D

【解析】

VA(-1,y,),B(2,y,)两点在双曲线y=3栏3上，

X

根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，得力==得，丫2=主守.

3+2m3+2m3_

•Yi>y2>••———>---,解得m<-彳.故选D.

—122

【详解】

请在此输入详解！

9,C

【解析】

根据嘉的乘方、同底数幕的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.

【详解】

A、原式=炉，所以A选项错误；

B、原式=/,所以B选项错误；

C、原式=V2XV3=VM=V6,所以C选项正确；

D、应与6不能合并，所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了幕的乘方、同底数幕的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的

关键.

10、B

【解析】

根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决.

【详解】

解：3.82亿=3.82x108,

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,9.2x101.

【解析】

根据科学记数法的正确表示为ax10"（14同＜10）,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2x10

【详解】

根据科学记数法的正确表示形式可得：

0.00092用科学记数法表示是9.2x10）.

故答案为:9.2x101.

【点睛】

本题主要考查科学记数法的正确表现形式，解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式.

12、4n+l

【解析】

分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个.

【详解】

解：第一个图案正三角形个数为6=1+4；

第二个图案正三角形个数为l+4+4=l+lx4；

第三个图案正三角形个数为1+1x44-4=1+3x4；

•••»

第n个图案正三角形个数为1+（n-1）x4+4=l+4n=4n+l.

故答案为4n+l.

考点：规律型：图形的变化类.

13、2

【解析】

去分母得，/n-l-x=0.

•••方程有增根，Ax=l,•\m-l-l=O,Am=2.

14、1

【解析】

根据弧长公式1=黑代入求解即可.

180

【详解】

-1n7ur

解「小丽’

1801,

r=------=4.

nit

故答案为1.

【点睛】

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：1=粤

180

4

15>-

5

【解析】

10-2-4

试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即

10-5

考点：概率

x=2

16、〈

b=1

【解析】

利用加减消元法进行消元求解即可

【详解】

卜+3y=5①

廨・"3y=l②

由①+②，得

3x=6

x=2

把x=2代入①，得

2+3y=5

y=i

x-2

所以原方程组的解为：,

[y=l

x=2

故答案为：,

[y=i

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法，用适当的方法解二元一次方程组是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)AF=BE,AF±BE；(2)证明见解析；(3)结论仍然成立

【解析】

试题分析：(D根据正方形和等边三角形可证明AABEgZkDAF,然后可得BE=AF,ZABE=ZDAF,进而通过直角

可证得BE±AF；

(2)类似(1)的证法，证明△ABEgZiDAF,然后可得AF=BE,AF_LBE,因此结论还成立；

(3)类似(1)(2)证法，先证△AEDgZkDFC,然后再证AABEgADAF,因此可得证结论.

试题解析：解：(1)AF=BE,AF±BE.

(2)结论成立.

证明：,••四边形ABCD是正方形，

.•.BA="AD"=DC,ZBAD=ZADC=90°.

在4EAD^OAFDC中，

EA=FD,

{ED=FC,

AD=DC,

/.△EAD^AFDC.

/.ZEAD=ZFDC.

二ZEAD+ZDAB=ZFDC+ZCDA,

即NBAE=NADF.

在^BAE和AADF中，

BA=AD,

(NBAE=ZADF,

AE=DF,

.,.△BAE^AADF.

；.BE=AF,ZABE=ZDAF.

VZDAF+ZBAF=90°,

.•.ZABE+ZBAF=90°,

AAFIBE.

(3)结论都能成立.

考点：正方形，等边三角形，三角形全等

18、当x=-3时，原式=-L当x=-2时，原式=-1.

2

【解析】

先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得.

【详解】

原式二产%巨一

(x+1)2x+1

x-1x+1

-(x+1)2x-1

1

x+1'

’2x-7〈3(xT)①

解不等式组•4/2-，

年x+34lqx②

解不等式①，得：x>-4,

解不等式②，得：X<-1,

...不等式组的解集为-4VXW-L

•••不等式的整数解是-3,-2,-1.

又<x+l#O,x-l#0.*.x#1,

x=-3或x=-2,

当x=-3时，原式=-*,

当x=-2时，原式二-1.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数

的值.

19、Si,S3,S4,S5,1

【解析】

利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题.

【详解】

由题意：Sffi^ABCD=Sl+Sl+S3=l,

S4=S|,S5=Si,S6=S4+Ss»S帆影面®)=S1+S6=S|+S|+S3=1.

故答案为S,S3,S4,Ss,1.

【点睛】

考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

20、(1)①证明见解析；②10；(2)线段EF的长度不变，它的长度为2\5

【解析】

试题分析：(1)先证出NC=ND=90。，再根据Nl+N3=90。，Zl+Z2=90°>得出N2=N3,即可证出△OCPs/\PDA；

根据△OCP与APDA的面积比为1：4,得出CP=gAD=4,设OP=X,则CO=8-X,由勾股定理得列方程，求出x,

最后根据CD=AB=2OP即可求出边CD的长；

(2)作MQ〃AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据ME_LPQ,得出EQ=」PQ,根据

NQMF=NBNF,证出△MFQgaNFB,得出QF=$B,再求出EF=±PB,由(1)中的结论求出PB的长，最后代入

EF=ipB即可得出线段EF的长度不变.

试题解析：(1)如图1,：四边形ABCD是矩形，；.NC=ND=90。，二/1+/3=90。，：由折叠可得NAPO=NB=90。,

/.Zl+Z2=90°,/.Z2=Z3,XVZD=ZC,.,.△OCP^APDA；VAOCP-^APDA的面积比为1:4,.,.三===、三,

.*.CP=^AD=4,设OP=x,贝！JCO=8-x,在RtAPCO中，NC=90。，由勾股定理得：二；=0-二)；+4；,解得：x=5,

/.CD=AB=AP=2OP=10,.•.边CD的长为10；

(2)作MQ〃AN,交PB于点Q,如图2,VAP=AB,MQ/7AN,AZAPB=ZABP=ZMQP,/.MP=MQ,VBN=PM,

；.BN=QM.VMP=MQ,ME_LPQ,.,.EQ^PQ.：MQ〃AN,AZQMF=ZBNF,在AMFQ和ANFB中,

VZQFM=ZNFB,/QMF=NBNF,MQ=BN,.♦.△MFQ0△NFB(AAS),；.QF=/B,.*.EF=EQ+QF=」PQ+iQB=：PB,

由(1)中的结论可得：PC=4,BC=8,ZC=90°,•,.PBff+4：=4、5EF=±PB=2\5.,.在(1)的条件下，当点

M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为入3.

考点：翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；相似形综合题.

30,Ofijc25[50,0效k50

21、⑴X=<，必=<(2)当35VxVl时，选择B方式能节省上网费,

1[3%-45,x>252[3x-100,x>50

见解析.

【解析】

(1)根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解;

(2)当35<xVl时，计算出力也的值，即可得出答案.

【详解】

’30,礴25

解：(1)由题意得：=>；

30+0.05x60x(%-25),x>25

[30,(M25

即X=V；

1[3%-45,x>25

’50,(M50

250+0.05x60x(%-50),x>50

"50,O^ijc50

即%=《；

2[3x-100,x>50

(2)选择B方式能节省上网费

当35VxVl时，有yi=3x-45,y2=l.

：yi-y2=3x—45—l=3x—2.记y=3x-2

因为3>4,有y随x的增大而增大

当x=35时，y=3.

所以当35Vx<1时，有y>3,即y>4.

所以当35Vx<1时，选择B方式能节省上网费

【点睛】

此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，正确理解收费标准求出函数解析式是解

题的关键.

22、(1)y=-10x2+130x+2300,0<xW10且x为正整数；(2)每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元;

(3)每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是272()元.

【解析】

(1)根据题意知一件玩具的利润为(30+X-20)元，月销售量为(230-lOx),然后根据月销售利润=一件玩具的利润x

月销售量即可求出函数关系式.

(2)把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可.

(3)把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据OVxOO且x为正整数，分别计算出

当x=6和x=7时y的值即可.

【详解】

(1)根据题意得：

y=(30+x-20)(230-10x)=-10x2+130x+2300,

自变量x的取值范围是：OVxWlO且x为正整数；

(2)当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520,

解得Xl=2,X2=ll(不合题意，舍去)

当x=2时，30+x=32(元)

答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元.

(3)根据题意得：

y=-10x2+130x+2300

=-10(x-6.5)2+2722.5,

Va=-10<0,

A当x=6.5时，y有最大值为2722.5,

•••OVxWO且x为正整数，

.,.当x=6时，30+x=36,y=2720(元),

当x=7时，30+x=37,y=2720(元)，

答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点

是二次函数的性质和解一元二次方程.

m=­I

23、(1)①k=5；②见解析，由此AO交双曲线于点C,延长BO交双曲线于点O,线段即为所求；(2)①1，；

②OVaVl或a>5

【解析】

(1)①求出直线的解析式，利用待定系数法即可解决问题；②如图，由此AO交双曲线于点C,延长80交双曲线于

点D,线段即为所求；

(2)①求出4,〃两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；②分两种情形求出A的面积=24时a的值，即可

判断.

【详解】

,、515

(1)①；m=——,