2023年湖北省鄂州市梁子湖区中考数学模拟试卷（3月份）含答案解析

2023年湖北省鄂州市梁子湖区中考数学模拟试卷（4月份）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）计算［-3|的结果是（）

A.3B.AC.-3D.±3

3

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.2〃+3〃=6〃B.(-3a)2=6a2

C.（x-y）2=/-y2D-3匠加=2正

3.（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）

4.（3分）4月29日，湖北襄阳、鄂州两地市长抖音直播带货.累计销售襄阳、鄂州产品

52.6万件，销售额超1564万元将数据“1564万“用科学记数法表示为（）

A.1.564X103B.1.564X106C.1.564X107D.15.64X106

5.（3分）把RtZXABC与放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个

直角顶点重合，两条斜边平行，若NB=25°,ND=58°,则N8CE的度数是（）

C.54°D.33°

6.（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表:

成绩/相1.952.002.052.102.152.25

人数239853

这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）

A.2.10,2.05B.2.10,2.10C.2.05,2.10D.2.05,2.05

7.（3分）已知正比例函数yi的图象与反比例函数”的图象相交于点A（2,-4）.下列说

法正确的是（）

A.反比例函数"的解析式是

x

B.两个函数图象的另一交点坐标为（2,4）

C.当-2或0«2时，yi>y2

D.正比例函数yi与反比例函数”都随x的增大而减小

8.（3分）如图，^ABCD中，BD=AB,NA8D=30°,将“ABC。绕点A旋转至aAMNE

的位置，使点E落在8。上，ME交AB于点0,则坐•的值为（)

B0

D.3

2

9.（3分）如图，二次函数），=4+加+。的图象与x轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点B

在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.

下列结论：®abc<0；②9a+3〃+c>0；③若点M（―,yi）,点N（昱”）是函数图象

22

上的两点，则yi<>2；④--<a<-

55

10.（3分）如图,分别过点R（i,0）（i=k2、…、n）作x轴的垂线,交丫卷X2的图象

1」一的值为

于点Ai,交直线y=—于点即则一i―十+•••+-

AB

A[B[A2B2nn

A.B.2C.——2——D.

n+1n（n+1）n+1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）因式分解：/-盯=.

12.（3分）如图所示，点C位于点A、B之间（不与4、B重合），点C表示1-2x,则x

的取值范围是.

艮、

—4•---•c---->

12

13.（3分）已知圆锥的底面半径为2cm,侧面积为IOTTCMI2,则该圆锥的母线长为cm.

14.（3分）对于任意大于0的实数x、y,满足：k>g2（x*y）=log»+log2y,若log22=l,

则Iog2l6=.

15.（3分）正方形ABC。的边长为3,点E在直线上，且。E=l,连接BE,作AF_L

BE于点H,交直线BC于点F.连接EF,则EF的长是.

16.（3分）如图，在中，ZACB=90°,8c=4,AC=10,点。是AC上的一个

动点，以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为.

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

22

x+

17.(8分)先化简，再求值：2x+l.(1_1).x_f其中》=2,y=M.

yx+1y

18.（8分）在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线80上的点M处,折痕BE交AD于点E.将

点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.

(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；

(2)若四边形8FDE为菱形，且A8=2,求BC的长.

19.(9分)九年级复学复课后，某校为了了解学生的疫情防控意识情况，在全校九年级随

机抽取部分学生进行问卷调查.根据调查结果，把学生的防控意识分成“A.很强”、“既较

强”、“C.一般”“D淡薄”四个层次，将调查的结果绘制如图两幅不完整的统计图，

请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了名学生，并将条形统计图补充完整；

(2)如果把疫情防控意识“很强或较强”视为合格，该校九年级共有600名学生，请你

估计合格的学生约有多少名？

(3)在“4.很强”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做

宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率，

九年级学生疫情防控意识情况

扇形统计图

20.(8分)已知关于x的一元二次方程f-(2A-1)x+F=0有两个不相等的实数根.

(1)求”的取值范围;

(2)若此方程的两实数根xi,也满足(xi-1)(应-1)=5,求上的值.

21.(8分)如图是某地下停车库入口的设计示意图.已知坡道AD的坡度i=l：

2.4(指坡面的铅直高度8。与水平宽度A8的比)，AB=7.2"?,点C在8。上，BC=0Am,

CELAD.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安

全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长.

22.(9分)如图，AB是。。的直径，点C在。。上，连接4C,BC,0E_L4C于点E,ED

〃48交BC■于点儿且NECD=NCFD.

(1)求证：CD是的切线；

(2)求证：C0=FD*ED；

(3)若sinA=3,BC=6,求CO的长.

5

23.(10分)某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销

售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%,市场调研发现，在一

段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)(x为整数)符合一次函数关系，如

图所示.

(1)求出y与尤的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

24.(12分)如图，二次函数的图象与y轴交于点A(0,-4),与x轴交于

点B(-2,0),C(8,0),连接AB,AC.

(1)求出二次函数表达式；

（2）若点N在线段8C上运动（不与点8,C重合），过点N作MW〃AB,交AC于点M,

连接AM当以点A,M,N为顶点的三角形与以点4,B,。为顶点的三角形相似时，求

此时点N的坐标；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接

写出此时点N的坐标.

2023年湖北省鄂州市梁子湖区中考数学模拟试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）计算|-3|的结果是（）

A.3B.AC.-3D.±3

3

【分析】根据绝对值的性质进行计算.

【解答】解：|-3|=3.

故选：A.

【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是

它的相反数；0的绝对值是0.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.2a+3a=6aB.（-3a）2=6a2

C.Cx-y）2=xi-y2D.3«-&=2血

【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，募的乘方与积的乘方的运算法则进行运

算即可；

【解答】解：2a+3a=5a,A错误；

（-3a）2=942,B错误；

（x-y）2=f-2xy+）?,C错误；

3^-亚=2加,。正确；

故选：D.

【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，累的乘方与

积的乘方的运算法则是解题的关键.

3.（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）

【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可.

【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A不符合

题意；

B、左视图和俯视图相同，故B符合题意；

C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C不符合题意；

。、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故。不符合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了由几何体判断三视图，考查了空间想象能力，解答此题的关键

是要明确：由几何体想象三视图的形状，应分别根据几何体的前面、上面和左侧面的形

状想象主视图、俯视图和左视图.

4.（3分）4月29日，湖北襄阳、鄂州两地市长抖音直播带货.累计销售襄阳、鄂州产品

52.6万件，销售额超1564万元将数据“1564万“用科学记数法表示为（）

A.1.564XIO3B.1.564X106C.1.564XIO7D.15.64X106

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值》10时，w是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【解答】解：1564万=15640000=1.564XIO7.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及附的值.

5.（3分）把Rt^ABC与Rt^CCE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个

直角顶点重合，两条斜边平行，若NB=25°,ZD=58°,则/BCE的度数是（）

DE

A.83°B.57°C.54°D.33°

【分析】过点C作CF〃AB,易知CF〃QE,所以可得NFCE=NE,根

据NBCE=NBCF+NFCE即可求解.

【解答】解：过点C作C/〃AB,

：.ZBCF=ZB=25°.

又AB"DE,

：.CF//DE.

：.ZFCE=ZE=90°-ZD=90°-58°=32°.

:.NBCE=NBCF+NFCE=25°+32°=57°.

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决角度问题一般借助平行线转化角,

此题属于“拐点”问题，过拐点处作平行线是此类问题常见辅助线.

6.（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表:

成绩/m1.952.002.052.102.152.25

人数239853

这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）

A.2.10,2.05B.2.10,2.10C.2.05,2.10D.2.05,2.05

【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均

数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【解答】解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；

由于一共调查了30人，

所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10.

故选：C.

【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这

个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排

好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字

即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数.

7.（3分）已知正比例函数yi的图象与反比例函数”的图象相交于点4（2,-4）.下列说

法正确的是（）

A.反比例函数”的解析式是y=邑

x

B.两个函数图象的另一交点坐标为（2,4）

C.当-2或0Vx<2时，yi>y2

D.正比例函数尹与反比例函数”都随x的增大而减小

【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例

函数的性质可判断求解.

【解答】解：•••正比例函数》的图象与反比例函数"的图象相交于点4（2,-4）,

正比例函数yi=-2%,反比例函数*=-&,

x

.•.两个函数图象的另一个交点为（-2,4）,

...A,8选项说法错误；

•••正比例函数），i=-2x中，y随x的增大而减小，反比例函数”=-且中，在每个象限

x

内y随x的增大而增大，

二。选项说法错误；

•.,当x<-2或0<x<2时，yi>y2,

，选项C说法正确.

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函

数的性质解决问题是本题的关键.

8.（3分）如图，cABCD中，BD=AB,ZABD=30°,将。ABC。绕点A旋转至。AMNE

的位置，使点E落在上，ME交AB于点。，则殁的值为（）

B0

A.立—1,B.立+]C.D.2

2222

【分析】过点E作EFLA8于点F,由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和旋转

的性质可求得NAOE、ADAB.ZDEA.NDAE和NEAO的度数；进而可判定△AEF为

等腰直角三角形，设EF=x,用含x的式子分别表示出ARB尸和BE；由AM〃BE可判

定△AOMsaBOE,由相似三角形的性质可得比例式，将相关线段代入计算即可得出答

案.

【解答】解：过点E作EFLAB于点F,如图所示：

\"BD=AB,NA8Z)=30°,

AZADE=ZDAB=^J~30°=75°.

2

'：°ABCD绕点A旋转至uAMNE的位置，

：.AB=AM,AD=AE,

.•.NZ)E4=/AOE=75°,

AZDAE=180°-ZADE-ZD£A=30",

；.NEAO=NDAB-NDAE=75°-30°=45°.

,：EFl.AB,

：.ZEFA=90°,

...NAEF=180°-ZEFA-ZEAF=45°,

.••△4EF为等腰直角三角形,

：.EF=AF,

设则AF=x,

在Rt^BEF中，NABD=30°,

BF=----------•=yf^x,BE=2EF=lx,

tanNAND

'JAM//BE,

XAOMs/\BOE,

•AO=AM=AB=AF+BF=xSx=V^+l

"BOBEBEBE2X~,

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角

形的内角和定理、解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性

质及定理是解题的关键.

9.（3分）如图，二次函数），=/+加+,的图象与x轴交于点A（-1,0）,与），轴的交点8

在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.

下列结论：®abc<0；②9a+3〃+c>0；③若点M（A,yi）,点、N（―,”）是函数图象

22

上的两点，则*④

55

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.

【解答】解：①由开口可知：a<0,

对称轴》=」->0,

2a

.'.b>0,

由抛物线与y轴的交点可知：c>0,

/.abc<Q,故①正确；

②..•抛物线与x轴交于点A（-1,0）,

对称轴为x=2,

.•.抛物线与x轴的另外一个交点为（5,0）,

；.x=3时，y>0,

：.9a+3b+c>0,故②正确；

③由于

22

且（5,*）关于直线x=2的对称点的坐标为（3,”）,

22

••173

22

，yiVy2,故③正确，

④：上=2,

2a

:.b=-4〃，

-1,y=0,

.\a-/?+<?=0,

••-5。，

V2<c<3,

：.2<-5a<3,

/.--<a<-—,故④正确

55

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系,

本题属于中等题型.

10.（3分）如图，分别过点c（i,0）（i=l、2、…、〃）作X轴的垂线，交y卷X?的图象

11」的值为（）

于点Ai,交直线y=—于点则+•••+1,C

】AnBn

ARA2B2

B.2C.2D.-2

n+1n（n+1）n+1

【分析】根据出的纵坐标与b纵坐标的绝对值之和为43的长，分别表示出所求式子的

各项，拆项后抵消即可得到结果.

【解答】解：根据题意得：AiBi—^x1-(--kx)=L(x+1),

222

.•・一=心=2(1-J_),

AjBjx(x+1)xx+1

/.—1—+--—+•••+—1——2(1-A.+A-A+---+A--L_)—

A2B2AnBn223nn+1n+1

故选：A.

【点评】此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关

键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)因式分解：/-xv=x(x-y).

【分析】直接提取公因式x,进而分解因式即可.

【解答】解：x1-xy—x(x-y).

故答案为：x(x->,).

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

12.(3分)如图所示，点C位于点A、8之间(不与A、8重合)，点C表示1-2%,则x

的取值范围是--l<x<0.

2

12

【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围.

【解答】解：根据题意得：l<l-2x<2,

解得：-1<%<0,

2

则x的范围是-L〈X<O,

2

故答案为：-LvxVO

2

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

13.(3分)已知圆锥的底面半径为2c/n,侧面积为lOnsP,则该圆锥的母线长为5cm.

【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即

可.

【解答】解：设圆锥的母线长为&•",

圆锥的底面周长=2nX2=4Tt(cm),

则工X4nXR=l(hr,

2

解得，R=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是

解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

14.(3分)对于任意大于0的实数x、y,满足：Iog2(x9y)=log2x+log2y,若k)g22=l,

则1OR216=4.

【分析】利用log2(x9y)=logzr+log2y得到Iog216=log22+log22+log22+log22,然后根据

log22=l进行计算.

【解答】W：Iog216=log2(2X2X2X2)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4.

故答案为4.

【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

15.(3分)正方形A3CQ的边长为3,点E在直线上，且OE=1,连接作

BE于点、H,交直线BC于点F.连接EF,则EF的长是—泥或

［分析】分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况讨论，由“A4S”可证丝

△BCE,可得CE=BF,由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，若点E在点。左侧时，

:四边形A8C。是正方形，

：.AB=BC,NABC=NBC£)=90°,

"：DE=\,DC=BC=3,

：.CE=4,

"JAFLBE,

：.ZEBF+ZBFA^90Q,

；NEBF+NBEC=90°,

:.NBFA=NBEC,

:.丛ABFm丛BCE(AAS),

:.CE=BF=4,

:.CF=1,

EF=^-.^2=Vi6+i=VTz；

若点E在点。右侧时，同理可求旄，

故答案为：娓或

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨

论思想解决问题是本题的关键.

16.（3分）如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,BC=4,AC=10,点。是AC上的一个

动点，以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为2\反-2.

【分析】连接CE,取BC的中点F,作直径为BC的。尸，连接EF,AF,证明/CEB=

90°,说明E点始终在。尸上，再由在整个变化过程中，AE^AF-EF,当A、E、F三

点共线时，4E最最小值，求出此时的值便可.

【解答】解：连接CE,取BC的中点凡作直径为BC的。尺连接E凡AF,

,：BC=4,

：.CF=2,

VZACB=90°,AC=10,

,，MF=VAC2<F2=V104=2V26,

：co是。。的直径，

.\ZC£D=ZCEB=90o,

...E点在OF上，

•.•在。的运动过程中，AE^AF-EF,且A、E、尸三点共线时等号成立,

...当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF-EF=2腐-2.

故答案为：2J会-2.

【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系,

关键是确定AE取最小值的位置.

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

22_

17.（8分）先化简，再求值：x+2x+l•（］_二）-2_,其中工=2,y=«.

yx+1y

【分析】先将括号内的部分通分，相乘后，再计算减法，化简后代入求值.

22

［解答］解：x+2X+1.C)一二

yx+1y

=(x+1)2.x+1-1_式

yx+1y

-x(x+1)x2

yy

y

当x=2,》=逝时，原式

V2

【点评】考查/分式的化简求值.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化筒.化简

的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

18.(8分)在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将

点C翻折到对角线8。上的点N处，折痕DF交BC于点F.

(1)求证：四边形8FQE为平行四边形；

(2)若四边形BFOE为菱形，且AB=2,求8c的长.

【分析】(1)证△A8E丝△CDF,推出AE=CF,求出DE=BF,DE//BF,根据平行四

边形判定推出即可.

(2)求出NABE=30°,根据直角三角形性质求出4E、BE,即可求出答案.

【解答】(1)证明：：四边形A8CD是矩形，

AZA=ZC=90°,AB=CD,AB//CD,

：.NABD=NCDB,

由折叠的性质可得：NABE=NEBD=L/ABD,NCDF=I/CDB,

22

NABE=NCDF,

在△ABE和△CD尸中

，ZA=ZC

-AB=CD，

ZABE=ZCDF

:.△ABE9XCDF(ASA),

：.AE=CF,

•.•四边形A8C£＞是矩形，

：.AD=BC,AD//BC,

:.DE=BF,DE//BF,

/.四边形BFDE为平行四边形；

解法二：证明：•.•四边形A8C£＞是矩形，

AZA=ZC=90°,AB=CD,AB//CD,

：.NABD=NCDB,

:・/EBD=/FDB,

:・EB〃DF,

•:ED〃BF,

・・・四边形BFDE为平行四边形.

（2）解：・・•四边形8立也为菱形，

；,BE=ED,NEBD=NFBD=NABE,

・・,四边形48CO是矩形，

：.AD=BCfZABC=90°,

AZABE=30°,

VZA=90°,AB=2,

：.AE-2-2M,BE=2AE=&M，

V333

BC^AD=AE+ED^AE+BE^

【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三

角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.

19.(9分)九年级复学复课后，某校为了了解学生的疫情防控意识情况，在全校九年级随

机抽取部分学生进行问卷调查.根据调查结果，把学生的防控意识分成“4很强”、“8.较

强”、“C一般”“D淡薄”四个层次，将调查的结果绘制如图两幅不完整的统计图，

请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了30名学生,并将条形统计图补充完整；

(2)如果把疫情防控意识“很强或较强”视为合格，该校九年级共有600名学生，请你

估计合格的学生约有多少名？

(3)在“A.很强”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做

宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率，

九年级学生疫情防控意识情况九年级学生疫情防控意识情况

条形统计图扇形统计图

J人数

9----------------

6-

3-

01~-——----------------------------►

ABCD选项

【分析】（1）由。选项的人数及其百分比可得本次共调查的人数；由本次共调查的人数

减去A、C、。选项的人数求得3的人数即可补全条形统计图；

（2）总人数乘以样本中A、8选项的比例可得；

（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得.

【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为6・20%=30（名）；

故答案为：30；

“B.较强”的学生人数为30-3-9-6=12（名），将条形统计图补充完整如图所示：

人数

6卜

3卜

ABCD选项

（2）估计合格的学生约有600X^14=300（名）；

30

（3）画树状图如下:

女女男女男女

由树状图可知，共有6种等可能结果，被选中的两人恰好是一男生一女生的有4种,

被选中的两人恰好是一男生一女生的概率为&=2.

63

【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用,

读懂统计图，画出树状图是解题的关键.

20.（8分）已知关于x的一元二次方程x2-（2&-1）x+F=0有两个不相等的实数根.

（1）求攵的取值范围；

（2）若此方程的两实数根XI,X2满足Cn-l）（X2-1）=5,求％的值.

【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2八1）2-4F>O,然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到X\+X2=lk-1,X1X2=F,再根据（XI-1）（X2-1）=5

得到F-（2）t-1）+1=5,然后解关于人的方程，最后利用攵的范围确定攵的值.

【解答】解：（1）根据题意得△=（2A:-1）2-4Z?>0,

解得k<—；

4

（2）根据题意得X1+JC2=2&-1,X1X2=%2,

,:（XI-1）（X2~1）=5,

•\x\X2-（XI+X2）+1=5,

即S-（2Z-1）+1=5,

整理得F-2k-3=0,解得力=-1,々2=3,

4

:・k=-1.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程a/+云+c=oQW0）的

两根时，川+m=-且，用肥=£.也考查了根的判别式.

aa

21.（8分）如图是某地下停车库入口的设计示意图.已知坡道A。的坡度i=l：

2.4（指坡面的铅直高度3。与水平宽度AB的比），A8=7.2如点C在8。上，BC^OArn,

CELAD.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安

全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长.

【分析】根据坡度和坡角可得8。=3,£>C=2.6,在RtZsCCE中，根据锐角三角函数即

可求出CE的长.

【解答】解：•.V=1：2.4,

：.tanZBAD=I：2.4=工

12

•BD5

"AB"12(

•43=7.2/71,

•••80=得X7.2=3〃?，

BC=0Amf

：.DC=BD-BC=2.6m,

VCE1AD,ABLDB,

：,ZDCE=ZBADf

tanZBAD=-^-,

12

cosZDCE=cosZBAD=^-,

13

CE=CZ).cosNOCE=2.6*£=2.4〃?.

13

答：该地下车库入口的限高CE的长为24”.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度

坡角定义.

22.(9分)如图，A8是。。的直径，点C在。。上，连接AC,BC,OELAC于点E,ED

〃AB交8c于点F,HNECD=NCFD.

(1)求证：8是。0的切线；

(2)求证：C》=FD,ED；

(3)若sinA=3,BC=6,求CD的长.

【分析】(1)由直径A8,得NACB=90°,再证明△OCFs2\£)EC,得NDCF=NDFC,

进而得/oa»=90°,便可得结论；

(2)的比例线段得结论；

(3)解直角三角形求得AC、AB,再由垂径定理得E为AC的中点，再证明EF为aABC

的中位线，进而求得CE、CF、EF,再由△■DCFsADEC的比例线段列出方程求得CD

【解答】解：(1)证明：连接。C,

图1

是直径，

AZACB=90°,

...NOCA+NOCB=90°,

■：OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

NOAC+NBCO=90°,

VZECD=ZCFD,ZD=ZD,

:ADCFSADEC,

：.NDCF=ZDEC,

,:ED〃AB,

：.ZDEC=ZCAO,

NQCF+NBC。=90°,BPDCVOC,

.,.CO是。的切线；

(2),:ADCFsADEC,

•••-C-D=-F-D-,

EDCD

:.C0=FD，ED；

(3)：siiL4=3,BC=6,

5

AC=7AB2-BC2=8,

OE±AC,

•,.EC=/AC=4，

,JED//AB,

.-.CF=ACB=3,£F=AAR=r,

22

,:△DCFs^DEC,

••CD=-C-F=—3,

EDCE4

.•.设C£»=3x,则ED=4x,

：.FD=4x-5,

,：CD2=FD'ED,

（3x）2=（4x-5）*4x,

解得，

7

CD=^-

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，解直角三角

形，三角形的中位线定理，相似三角形的性质与判定，关键在于运用相似三角形解决问

题.

23.（10分）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销

售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%,市场调研发现，在一

段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如

图所示.

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润