2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试预测卷数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A=W%4,叼小，=岫+1）｝,则与i=（）

A.[-2,-1]B.（—1,2]C.[-1,2]D.[—2,-1）

【答案】A

【解析】

【分析】根据解一元二次不等式的解法、对数型函数的定义域，结合集合交集、补集的定义进行求解即可.

【详解】由题可得A=[-2,2],B=（-l,-Fw）,所以际8=（-

所以58cA=[—

故选：A.

2.若复数2=1+[2+[3+…+i",〃eN*则目的最大值为（）

A.1B.72C.逐D.2

【答案】B

【解析】

【分析】分“=4攵（々eN*）、〃=4A+l（AeN）、“=4〃+2仅wN）、〃=4攵+3（后eN）四种情况讨论,

分别求出z,即可得到目，从而得解.

【详解】解：因为F=i，j2=—1，『=T，j4=],,

泮+l=i，i4H2=_],严+3=_i，j4*=],ZeN,且i+i2+i3+i4=O，

所以当〃=4左，依eN*）时z=o,贝i]|z|=0,

当〃=4k+1,（攵6刈时2=3则忖=1,

当〃=4女+2,（攵eN）时z=-l+i,则|z|=J（_l）2+F=五,

当〃=4k+3,（后eN）时z=—l,贝ij|z|=l,

所以忖的最大值为JL

故选：B

I7cia

3.已知ae|O,一|,tan2—=cos«,贝ijcosa=（）

12；2

A.B.V2-1C.2-42.D

22

【答案】B

【解析】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.

（7T2a

【详解】依题意。£0,/tan"——=cosa，

2

.2a1-coscif

sin"--------i

22l-cosa

a1+cosa1+cosa

cos--------

22

cos2a+2cosa-l=0,解得cosa=0-1,负根舍去.

故选：B

4.已知二项式（x+a＞，aeN*的展开式中第三项的系数最大，则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】二项式（x+a）6展开式的通项公式为Crf-r.屋，屋.Crx6-「，其中QGN*，

（其中r?l），即＜

6!、6!

a-------->-------------

厂!（6-r）！（r-l）!（7-r）!rr+l

,---<^<----

6!6!7-r6-r

------2CL-------------

r!（6-r）!~（r+l）!（5-r）!

34

依题意可知r=3使上式成立，即二《。《一,

43

所以。=1

故选：A

5.某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试

分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有

（）

A.720种B.3168种C.1296种D.5040种

【答案】D

【解析】

【分析】根据每天考试科目的数量进行分类讨论，由此求得不同的考试安排方法数.

【详解】若三天考试科目数量为2,2,2,则安排方法数为：

或x（A3xC；C；x（A；丫=576.

若三天考试科目数量为3,2,1,则安排方法数为：

CC；C：xA；x（A；xA；）—C4C3C；xA；x（A；xA；）—C；C；xA；x（A；*A；）=3168,

若三天考试科目数量为4,1,1,则安排方法数为：

C：xA；x（A：）-C；xA；x（A：）=1296,

所以不同的考试安排方案共有576+3168+1296=5040种.

故选：D

6.我们平时学习的“对勾函数”（形如y=ox+"尸，"同号且不为零）的图像实际上是一种特殊的双曲

线.根据双曲线的相关定义，“对勾函数“y=x+%T的图像经旋转后得到的双曲线（焦点位于x轴上）的离

心率为（）

A，—B.V2C.5/2+1D.-J4+2V2

【答案】A

【解析】

【分析】根据y=x+》T得其渐近线方程为〉=%和％=0,得到原双曲线的两渐近线的夹角，再利用二

倍角的正切公式求得原双曲线的渐近线的斜率即可.

【详解】解：由y=x+xT得其渐近线方程为＞和x=0,

71TC

因为〉=%的倾斜角为一，x=0的倾斜角为一，

42

TT7CTT

所以原双曲线的两渐近线的夹角为-----二一，

244

c冗

2tan—

因为tan—=--------=1,解得tan—=-1+＞/2,

41-tan2^8

8

所以原双曲线的渐近线方程为丁=±（-1+夜卜，

则一=一]+yp2，

a

所以双曲线的离心率为e=+=“—20，

故选：A

7.晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶

胞中，原子A与2（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子8与8个原子A均相切.已

知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为46+2百,则当图己）中所有原子（8个A原子与1个B

3

原子）的体积之和最小值为（）

(1)(2)(3)

64兀B(32+6472)71

A.——

3

D(512拒+4)兀

3

【答案】B

【解析】

【分析】设出球8的半径为『，0＜「＜20+1，表达出球A的半径，表达出

V=g兀8（2正+1—J+/,令/⑺=8（2血+1—）+/,0＜厂＜2拒+1，由导函数得到函数

的单调性，从而求出最值

【详解】因为该晶胞的边长为还土述，所以正方体对角线成为生色土空xj^=40+2,

33

设球B的半径为，0<「<20+1，则球A的半径为4衣士2二2r=20+]_7,

2

所以所有原子的体积之和为V=1/+,兀仅夜+1—厂）=]8（2夜+l-r）3+r3

令/⑺=8(20+l-/+/,0<r<2V2+l)

则:⑺=—24(20+l-r『+3/=3(8+20-2技+1(2后+―2血-8),

因为0<r<2血+1，所以8+2&-2夜r+r>0恒成立，

则当0<r<2夜时，./1'⑺<0，当2及<厂<2夜+1时，/'（厂）>0,

故/⑺=8（2&+1—4+/在o<”2夜上单调递减，在2正<「<2血+1上单调递增,

故/⑺=8（2血+1—/•?+’在厂=2万处取得极大值，也时最大值,

=8+160,故体积最大值为y=g兀义（8+16&）=（.夜+二）兀•

故）⑺皿

故选：B

8.已知实数a,),ce(l,e),且兀lna=aln7t,eln£>=—,101nc=Vein10——-\c,则实数a,b,

e

c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【解析】

Inv

【分析】将式子进行变形，构造函数/（%）二—1，结合函数的单调性即可比较

2

,,1rE。InTi,.,2bz_InbIne.1A1（r.1A

【详解】由兀lna=aln兀得---=----,由elnZ?=一得----=——,由10lnc=veInlO---\c

a7iefte_2I

IncInlOe

得ZB「--

,10e2

故构造函数〃x）=（，则/''（犬卜上詈，则当x>e时，/（x）单调递减，当0<x<e时，/（X）

单调递增，当％=e时，/(x)取最大值!，其图象如图所示:

e

_1,/、、一广—10101010r

分别取了=兀式2,10€2，由于a,b,ce(l,e),且：1.6＜五＜1.7,;.百＜笈＜石，故笈＜7,又

102

e2e(2.72,2.82),.-.e2>7,故e<7i<L

由于x＞e时，/(x)单调递减，在0〈尤＜e时，f(x)单调递增,

结合图象得：b＜c＜a,

二、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分.

9.已知函数〃x)=sin3-3，。＞0,且“X)与/'(x)的值域相同；将〃x)图像上各点的横坐标

变为原来的：，纵坐标不变，再向左平移三个单位长度，得到函数g(x)的图像，则()

/6

A.①=1

B.g(x)为偶函数

兀5兀

C./(x)的单调增区间为---F2Z：7i,--4-2kji,kwZ

_66

兀

D.7(x)与g(x)的图像在区间一万,兀内有3个交点

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求得①的值，然后根据三角函数图像变换的知识求得g(x),再结合函数的奇偶性、单调性、交

点个数等知识确定正确答案.

7171

【详解】/(x)=sinCDX——,//(x)=cocoscox—

33

由于与尸(x)的值域相同且切＞0,所以o=l,A选项正确.

71

所以"x)=sinx~~

将/(X)图像上各点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到y=sin(2x-T

兀、

再向左平移夕个单位长度，得到函数g(x)=sin2Xd----—=sin2x.

66/3

所以g(x)是奇函数，B选项错误.

兀717rJI

对于J(力=sinx——由2版——<x——<2kn+-,

3232

7T371

解得2依一一<x<2k7i+—

669

兀*)71

所以“X)的单调增区间为一Z+2E，7~+2E，keZ,C选项正确.

兀

由/(x)=g(x)得sinX——=sin2x,

3

JT

画出与g(x)在区间一万,无的图像如下图所示,

兀

由图可知，两个函数在区间-兀上有3个交点，所以D选项正确.

2

故选：ACD

10.在四面体P—ABC中，AB1BC,以垂直于平面ABC,ABBC=2,且该四面体外接球表面积的

最小值为8兀，则（）

A.PA=\

2

B.四面体P-A5C的体积恒为定值§

3

C.若二面角A—PC-8的正弦值为二，则AB=1

5

2

D.当AB=2时，四面体P—ABC的内切球半径为3+&+6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据外接球表面积的最小值求得24,结合锥体体积、二面角、内切球等知识求得正确答案.

【详解】由于四面体尸-ABC外接球表面积的最小值为8兀，

所以外接球半径R的最小值为、悭=V2.

由于平面ABC,AB,BCu平面A8C,所以Q4_LAB,PALBC,

而所以（2/?y=PA2+Afi2+BC22PA2+2A8BC=PA2+4,

当且仅当AB=BC=名时等号成立.

即R的最小值士4=&PA=2,A选项错误.

2

四面体P—的体积;x(gxA5xBc]xPA=g,B选项正确.

以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，

2(2

设A8=/(t>0),则BC=],所以A((V,0),P(0J,2),C[7,0,0

AP=(O,O,2),PC=f|,-r,-2j,

设平面24c的法向量为〃=(%,y,zj,

n-AP=2z)=0

则《2故可设〃=(产,2,0).

n-PC=-xl-tyj-2z、=0

设平面PBC的法向量为m=(X2，%，Z2)，

m-BC=—x2=0

则<；,故可设m=(0,2,T),

m.PC=-x2-(y2-2Z2=0

/\m-n4

所以匹配力=丽=力"E

3

由于二面角A—PC—8的正弦值为§,

所以/43T=£

/+4/+4产—9=0，

[t-1)(/+1)(/2-1+3)(/2+r+3)=0,其中/>0,

故解得r=l,即AB=I,c选项正确.

对于D选项，若AB=2,则8c=1,

设四面体P-ABC的内切球半径为r,

由于PACA8=APAA8U平面八钻，所以8cl平面P43,

由于PBu平面A4B，所以PB=722+22=2-^2,AC=Vl2+22=45-

四面体P—ABC的表面积为一x2x2H—x2x1H—x2x>]5H—x1x2A/2-3+^2.+y/5，

2222

四面体P—ABC的体积为g1x|；1x2xl)x2=|,

32

所以]X(3+垃+>/5jxr=—,r=-~-j=―-j=,D选项正确.

故选：BCD

11.已知函数〃X)的定义域为[o,+。)，当xe[o,2)时，/(x)=-f+2x；且对于任意x22,恒有

/(x)-l=/(x-2),则()

A.“X)是周期为2的周期函数

B.2£023/(0=10122

i=l

C.当xe[O,8]时，方程/(x)=丘有且仅有8个不同的实数解，则2的取值范围为14—6石)

1,“19

D.一X—1<f\X)—X4---

2216

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,根据周期性定义可以判断；选项B,根据对于任意x»2,恒有/(x)=/(x-2)+1的

关系，求出/（，），代入用等差数列求和即可；选项C,>=/（力与丁=质有8个交点，数形结合，找到

两条边界直线，再书写过程；选项D,数形结合，再作差进行证明.

【详解】已知对于任意尤22,恒有/（%）—1=（（X—2）,

即任意x»2,恒有/（x）=/（x-2）-l,又当xe[0,2）时，/（x）=-x2+2x,

所以当xw[2〃,2〃+2）时，/（x）=-（x-2n）2+2（x-2〃）+〃,〃eN.

选项A,由已知对于任意恒有/（x）—l=/（x-2）,不符合周期性定义，所以A错误；

2023

选项B,Z，（i）=l+1+2+2+…+1011+1011+1012=2（1+2…+1011）+1022

/=1

零“、1011（1+1011）

Z/（i）=2x——-----^+1022=102229,故B正确：

（=12

选项C,如图1,当％且0,8]时，方程/（%）="有且仅有8个不同的实数解，

当直线y=履过点（2,1）时，直线为y=与y=/（x）有9个交点，

当直线y=底与〃》）=一（》一6）2+2（%—6）+3,xe[6,8）相切时，此时是7个交点，

令—（x—6p+2（x—6）+3=依，整理得f+（攵-14）x+45=0,

由△=（左一14）~—4x45=0,解得氏=14±6石，

当左=14+6后时,，方程V+6底+45=0，即（x+3指『=0,解得x=—36<0，舍；当

氏=14—66时，方程V一66》+45=0,即（x—36『=0,解得x=3石e[6,8）,满足题意；且

（1,1）,（3,3）,（5,5）点在直线丁=（14-66）%的上方.所以左的取值范围为（；/4—6石），故C正

确；

选项D,如图2,y=gx—l过点（2,0）,（4,1）,（6,2）,（8,3）,

-X—1<f（x）成立；

当xw[2〃,2〃+2）时，/（X）=—（工一2域+2（工一2〃）+〃N.

(.32]a

*意-小）=人22呜卜2〃+；X-2/7+—20，即+

I42Io

【点睛】方程实数解个数问题，方法点睛:

（1）直接法：即令/（尤）=0,对方程直接进行求解，方程解的个数就是零点的个数；

（2）数形结合法：数形结合法求函数的零点，是将〃、）=0的方程转化为两个函数，根据两个函数的交点

个数来确认零点个数；

（3）零点存在定理：利用零点存在定理，再结合函数的性质（通常会用到单调性）确定零点个数；零点存在

定理为：如果函数/（x）在句上连续，且有/（。＞/（份＜0,则函数/（*）在（。,切上至少存在一点。，使

得/（。）=0.

（4）构造函数：可根据题目的不同情况，选择直接作差或者分离参数来构造新的函数，通过求解新函数

的值域或最值来判断零点的个数.

22

12.已知椭圆C：工+4=1，匕€（0,2）,点p为椭圆。外一点，过点P作椭圆。的两条不同的切线

4b~

PA，尸8,切点分别为A,8.已知当点P在圆/+y2=7上运动时，恒有RJ_..则（）

A.b=l

B.若矩形Q£FG四条边均与椭圆。相切，则矩形DEFG的面积的最小值为14

22

C.若点P的运动轨迹为上+匕=1,则原点O到直线AB的距离恒为1

169

D.若直线孙，PB的斜率存在且其斜率之积为且，则点尸在椭圆［+口=1上运动

286

【答案】BC

【解析】

【分析】根据点P在圆/+》2=7上运动时，恒有PA±PB，设过P的直线为y=Z(x—%)+%,代入

椭圆方程后利用4=0,得到关于A的一元二次方程，确定方程的两根为人小，心8,由即屋%相=-1，即

可得Z?的值，从而判断A；讨论直线DE的斜率求得各情况下IDEI,\EF\,即可得矩形。EFG，结合

不等式求得最值来判断B：根据椭圆上一点的切线方程结论，确定切线R4，P3的方程，结合点P的运

22

动轨迹为土+匕=1,可得切点弦A3所在直线方程，即可求得原点。到直线AB的距离来判断C：设

169

P(x,,,yp),过尸的直线为y=%(x—/)+»,代入椭圆方程后利用A,=0,得到关于心的一元二次方

程，确定方程的两根为仆A，即8，由即4•即B=、2,可得无P，〉P所满足的方程，即可判断D.

【详解】当Q4平行于》轴时，P8恰好平行于x轴，40,。)，B(2,0),P(2,b),满足上4_L依，

将P(2,历代入圆/+＞2=7有22+〃=7,得人=百；

当Q4不平行于y轴时，设则4+尤=7,过尸的直线为丁=匕(》一%)+%，

(22

土+匕=1

联立，4b2得(4好+〃)/+8占(％-匕/次+虫笫一左吊了一⑹二。，

y=kl(x-x0)+y0

令4=0得-64匕2(%一＜%)2-16(4片+b2)[(%-飙产-从]=0,整理得

2

(%：-4)左;-2工0%4+y()-6=0,

V2一"

且此方程的两根为kpA,kPB,则kpA%=5?丁,又E4_LPB，x；+y；=7

%-4

所以距==T，得〃=3,所以匕=百；

%-4

综上，b=y/3＞故A不正确；

22

椭圆C的方程为二+匕=1,若矩形OEEG的四条边均与椭圆C相切，

43

①当OE的斜率为0时，|。£|=2。=4,|七尸|=力=26,

此时SDEFG=\DE\-\EF\=2a-2b=S43,

②当OE的斜率不存在时，|。E|=力=2^^,|Eq=2a=4,

此时SDEFG=\DE\-\EF\=2b-2a=^,

③当£>E的斜率存在且不为。时，设直线。后：、=&*+4，直线GE:y=&x+/2，

,消去>代）工+彳-

联立《k2x+t]+4/+8/412=0,

3炉+”2=12-

4=64抬片一16（彳一3）（4抬+3）=0,化简得4片+3=彳，同理可得4代+3=>,

1।|Zi-t-yI2J4k;+3

所以两平行线DE和GF的距离4=|£尸|="/=7r，

J1+妗yjk）+1

以一代替网，可得两平行线DG和EF的距离d2=\DE\=

K2

g+。=2⑺

所以矩形DEFG的对角线|DF\=\GE\=Jr>E|2+|EF|2=2,

1+抬l+k~

22

|D£|+|£F|_|DF|2

根据基本不等式S=|Z）E|.|EF|<14,当且仅当|。目=忸户|,即七=±1

D£rc22

时等号成立，因为14>86，

所以矩形。EFG面积的最大值为14,故B正确;

22

下证：任一椭圆二+yXX

=1在其上面的点（X。,%）处的切线方程均可写为符n------1—-1

矿ab2

设椭圆在点（%,地）处的切线方程为y=k3x+d,则

y=k3x+d

2222

xy=>“6+及）£+2k3da^x+a2d-ab=0,

p+L

2k3doik.crb2

令△3=0得/6+〃=[2,所以q=一kx+d=所以

2（“2后+6?）.才'坨3Q

号『卷’则切线方程为整理吟土於「

氏3

对于椭圆C：—+^-=1,设切点坐标为A(X|,y),8(x,,%),则切线24,PB的方程分别为

43

上+型=1妃+”=1

4343

2222

若点P的运动轨迹为三+二=1,设点p(m,〃)，则竺+土=1,

169V7169

又两切线均过点P,可得阳+丝=1,四+岑=1,点A,8的坐标都适合方程竽+?=1,故直

434343

线A3的方程是等+与印，即+-1=0,所以原点。到直线A3的距离为

设P（巧,，％）,过P得直线为了=左4（%-巧＞）+»,

x2y2

联立｛43得（4&;+3）x?+844（处一女4与）％+4[（力—&Xp）--3]=0,

|7=左4（1-4）+%

22

令&=0得一64片（力—k4xp）-16（%+削（%一VP）-3]=0,整理得

（xj—4）攵；—2xpypk4+）：—3=0,

且此方程的两根为女4，MB，则原鼠的8=乌二|，又直线%，尸3的斜率存在且其斜率之积为正，

工户一42

,2C2222

所以左始.即8=^=，得r---m=]，故点P在双曲线7=---7=—=1上运

Xp-424-2732V3-34-2V32V3-3

动，故D不正确.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是确定直线与椭圆相切时，切线斜率之间的关系需要联立切线与椭圆

方程得判别式为零，则得到关于斜率的一元二次方程，由韦达定理即可得切线斜率之积的关系，即可结合

轨迹方程可得相关结论；对于直线与椭圆相切的切线方程问题，利用直线与椭圆相切，得切点坐标与直线

斜率与截距的关系，可得椭圆上一点(x°,为)处的切线方程均可写为当+学=1；对于切点弦问题，根

a-b~

据上述切线方程及两切线的交点，由直线方程特点，即可得切点弦方程.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量。4=(a,l),0B=(-2,b),。。=(—2,8),若AB_LOC，且。，6均为正数.则曲的最大

值为•

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根据ABJ.OC求得。力的关系式，结合基本不等式求得，心的最大值.

【详解】AB=(-2-a,b-l),

由于ABLOC，

所以AB-OC=4+2a+8〃—8=2a+8b—4=0,a+4/?=2,

„,11(a+4b^1

所firi以a/?=—"46V—x-----=—,

44I2J4

当且仅当a=4h=1时等号成立.

故答案为：一

4

14.已知点P为直线/：x+y—2=0上一动点，过点P作圆V+y2=i的两条切线，切点分别为A,B,

则直线AB恒过的定点的坐标为.

(11>

【答案】##(0.5,0.5)

【解析】

【分析】先设点P(m〃)，由已知得P、A、0、8四点共圆，求出P、A、0、8四点确定的圆的方程，联立

两圆方程后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标

【详解】设点P(牡〃)，贝~〃+〃一2=0

•.•过点P作圆f+y2=l的切线，切点分别是A,B,

：.PAA.OA,PB1OB

:.P、A、0、B四点共圆，其中OP为直径

所以圆心坐标为但,9,半径长为姆士E

<22；2

m।2m2+n2

：.P.A、0、B四点确定的圆的方程为:x----+(产

I214

220

2n+n~

化为一般方程为：x2—mx-\——-+y-ny+—=

44

即x2-mx+y2-ny-0

与V+y2=i联立，求得AB所在直线方程为：侬+〃y=l①

又因为其中"2+〃-2=0,即优=2—〃代入①中，得：(2-〃)x+孙=1

X--

[2x-l=02

所以(y-x)〃+2尤-1=0,所以＜C解得：

y-x=01

y

2

直线A8恒过定点的坐标为Pi

15.在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”,"1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张

卡片，直到抽完全部卡片•记事件A(i=L2,3)表示第，•次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的

2

卡片需要的次数.则下列说法正确的是.(填标号).①P(A)=P(4)；②P(AI4)=不③

7

E(X)1

【答案】①②③

【解析】

/、1/、1/、P(AA)2

【分析】计算P(4)=7，尸(4)=彳得到①正确；尸(414)=-^六7=£，②正确；x的可能取值

22rl/i2)3

为1,2,3,4,5,6,计算概率再计算数学期望得到③正确，得到答案.

3112f113

［详解］对选项①：P^^=—=—,2(4)=7乂1+1一彳,£=g,故P(A)=p(4),①正确;

6225(2)5

对选项②:P(4IA,)=P(，A?=W=2,②正确;

'尸⑷15

2

对选项③:X的可能取值为L2,3,4,5,6,

=—；P(X=2)=—x—=—；P(X=3)=—x—x—=—

P(X=I)6'7656176546

D/V八54311…c543211

P(X=4)=—x—x—x—=—；P(X=5)=—x—x—x—x—=—

176543617654326

P(X=6)=—x—x—x—x—xl=—,

17654326

］7

E(X)=—x(l+2+3+4+5+6)=—,③正确.

62

故答案为：①②③

16.若正实数a,b满足a(ln〃—lna+a)之则，的最小值为

e

【答案】一

4

【解析】

hhh

【分析】由不等式a(lnZ?-lna+a)2Z7e°T变形为ln(—e"T)--e^+l>0,通过换元，=一一"，根据不

aaa

等式恒成立得出。与匕的关系，从而把二表示为关于〃的表达式，再通过构造函数求最值即可.

ab

b

【详解】因为。(In。一lna+a)2加"T,所以Ini-Ina+aN—e"”,

a

所以In2+me"T+1>-e^1,即In(-e^-^e^1+1>0

aaaa

令f=2e"T,则有lnrT+lNO(f>0),

a

设/⑺=lnr—r+l,则/⑺=二1,由/⑺=0得1=1

t

当0</<l时，/⑺>0,/⑴单调递增，当11时，f'S<0,/⑺单调递减,

所以/(。皿=/()=0,即InfT+lWO,又因为Inr—f+lNO,

所以hVT+l=0,当且仅当f=l时等号成立

b111

所以f=-e“T=l,从而一=-e°T,所以「_=工_(。>0)

abaaha-

设g*)=B(x>0),则g，(x)J『e、二由g，(x)=O得x=2

XX'

当0<x<2时,，g'(x)v。，g(x)单调递减，当工〉2时，g'(x)>。，g(x)单调递增,

02Teje

所以g(X)min=g(2)=3~=W，所以罚的最小值为I・

e

故答案为：一.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足^■—l=sm-A二snrC,

sinCsin2B

A1C.

(1)求」一+f的取值范围；

cosCb

(2)若。=2,求三角形ABC面积的取值范围.

【答案】⑴序竽

⑵

12)

【解析】

【分析】(1)先根据条件化简得出8=2。，然后化简目标式，结合导数求解范围；

(2)先利用正弦定理表示出。=2吧C,结合面积公式得出$=二一利用。的范围及单调性进

cA-tanC

“nAtanC

行求解.

【小问1详解】

因为A】C,且A,C都为锐角，所以sinAwsinC,

sinA-sinA-sinC_(sinA-sinC)(sinA+sinC)

sinCsinCsin2B

所以sin?B=sinAsinC+sir?C,由正弦定理可得〃=,

又从-cr+<?-2accosB，所以ac+c?=a24-c2-2accosB，

整理得。一c=2ccosB,即有sin5cosC+cos8sinC-sinC=2sinCcosB,

所以sin8cosc-cos5sinC=sinC,即sin(b-C)=sinC,所以5=2C.

1a1sinA1sinA1sin(2C+C)

-----1—=----1-----=-----1------

cosCbcosCsinBcosCsin2CcosC2sinCcosC

12sinCcos2C+cos2CsinC

-----1---------；-------------

cosC2sinCcosC

12cos2C+cos2Cl+4cos2C

-----1--------------=---------

cosC2cosC2cosC

71

0<A^n-B-C<-

2

71It\

在锐角三角形中，《，且6=2C,所以CG6'4J；

l+4cos2C1+4/2

☆f=cosC,贝He

2cosC2t

〃/一

令/⑺=1+^4^-，贝“r⑴82

因为fw,所以r«)>o,所以『⑴为增函数,

巫,即一!一+@取值范围是

，所以

/Q)e亍

尸7cosCh

【小问2详解】

由(1)得B=2C.

2b,且2sinC

因为a=2,由'得，=而

sinAsinBsinC

2sinCsin2C2sinCsin2C

设三角形ABC的面积为S,则S=-acsmB=csinB

sinAsin(2C+C)

_2sinCsin2C_2_2

sin2CcosC4-cos2CsinCcosCcos2C11

sinCsin2CtanCtan2C

4

3万，

—tanC

tanC

因为CE，所以tanCw

333

设/=tanC,tey=一—t,/=--7-l<0,y=一一，为减函数,

/

8疔

所以ye2,,所以Sw，2.

18.2022年是极其不平凡的一年，我国在新冠疫情的反复肆虐下奋勇前行，取得了可观的抗疫成果.下表是

2022年3月13日至3月18日河北省现存新冠肺炎确诊病例数目的统计结果:

日期2022.3.132022.3.142022.3.152022.3.162022.3.172022.3.18

日期编号X123456

病例数目y131182195233271292

（1）请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程j>=2x+a：（计算结果均保留