2023届辽宁省葫芦岛市兴城高级中学高三年级上册期末数学试题

2023届辽宁省葫芦岛市兴城高级中学高三上学期期末数学试题

一、单选题

I.已知集合”={x|x>4或x<l},N==Jx+1'则McN=()

A.(-oo,+a>)B.(-l,l)U(4,+oo)C.0D.[-l,l)U(4,+oo)

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】因为M={x|x>4或r<l},N=­),所以MIN=[-1,1)U(4,-H»).

故选：D

2.若复数z=l-2i3(i为虚数单位)，则在复平面内，z对应的点的坐标是()

A.(1,2)B.(1,-2)

C.(T2)D.(-1,-2)

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解.

【详解】；z=l-29=l+2i,

..•z对应的点的坐标是(1,2).

故选：A.

3.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中错误的是()

注：收入----支出........

利润=收入-支出

A.2~3月份的收入的变化率与11~12月份的收入的变化率相同

B.支出最高值与支出最低值的比是6:1

C.第三季度平均收入为50万元

D.利润最高的月份是2月份

【答案】D

【分析】结合统计图表逐项分析即可得出结论.

【详解】由图可知2~3月份的收入的变化率与11~12月份的收入的变化率相同，故A正确；

由图可知，支出最高值是60,支出最低值是10,则支出最高值与支出最低值的比是6:1,故B正确;

由图可知，第三季度平均收入为g(40+50+60)=50,故C正确；

由图可知，利润最高的月份是3月份和10月份，故D错误.

故选：D.

4.设匕>0,4+力=1,且X=则X、y、Z的大小关系是()

[a}abh

A.y<z<xB.Z<y<xc.x<y<zD.y<x<z

【答案】A

【分析】由己知得到a,b的具体范围，进一步得到ab,1的范围，结合指数函数与对数函数的

ab

性质得结果.

【详解】由a>b>0,a+b=l,得Q<b<L,L<a<i,且0<ab<l,

22

则一^>1,—>2,a<—>

abbb

；.X=(J)b>0,

y=log±ab=-L

ab

/1/

0=^i>z=iogla>^?=-l,

bbb

.'.y<z<x,

故选A.

【点睛】本题考查指数函数与对数函数的单调性，考查基本求解能力.

5.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，"三药”分别为金花清感

颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生

从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中至少有一药，事件B表示选出的两种中有

一方，则「(B|A)=()

1〃3r3

A.-B.—C.-D.一

51054

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率公式求出尸(A)和尸(AB),再利用条件概率公式计算作答.

【详解】依题意，「(4)=隼手=!|=：,P(A8)=哭

C-155C~155

所以P网A)=箭1.

故选：D

,a

zx1—tan—

6.已知aw-1，。］,2sin2a4-1=cos2a,则-------=()

\2)1a

1+tan—

2

A.2土石B.3+石C.2+&D.2+76

【答案】C

【分析】由二倍角公式化简计算即可得出结果.

【详解】由2sin2a+l=cos2a可得4sinacosa+l=l-2sin?a，

则2sinccosau-sin?a,又«e-冽,「.sina工0,

故2cosa=-sina,又，sin2cr+cos2cr=1»

2石

sina=--------

5

解得:

石'

cosa=——

5

.a

sin—

1——工2

,aaa.aa.a26

1-tan-coscos-sincos----sin—

所以：-----工=2_22,221-sina等32.

.aa.a2

,1+tana—sin—cos—+sin—cosr^-sin^cosa

2l+「2222

a

cos—

2

故选：C.

2

7.设数列｛a“｝和也｝的前n项和分别为S“,T„,已知数列出｝的等差数列，且"=4上L,%=3,

4+4=11,则5〃+7；=()

A.n2—2nB.2n2-nC.2n2D.〃2+2n

【答案】D

(7?=2

【分析】设等差数列｛2｝的公差为d,进而根据等差数列的通项公式计算得;=1,故”=〃+1,

册=%再根据等差数列前.〃项和公式求解即可。

【详解】解：由。3=3,得4=差之=誓=4,设等差数列也｝的公差为d,

4=4,4+2d=4,b、=2,

所以解得

4+4=11,吻+71=11,d=T,

所以/?〃=2+（w-l）xl=n+l.贝="〃+〃=〃+l,

a〃

所以《=”.所以数列｛a,,｝的前n项和s.=吟9=^+p

数列也｝的前〃项和7；=〃（2；〃+1）=£+与，

则S“+7；=/+2〃.

故选：D

8.已知点A,B,C在圆x?+y2=i上运动，J.AB1BC,若点P的坐标为（2,0）,则|PA+PB+P。的

最大值为

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【详解】由题意，AC为直径，所以卜A+P8+p=|2PO+M44+|网44+3=7，当且仅当点B

为（-1,0）时，|孙+尸8+尸4取得最大值7,故选B.

【解析】直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几

何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到.圆周角为

直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.

二、多选题

9.下列命题正确的是（）

A.若随机变量X~B（100,P）,且E（X）=20,则。（；X+1）=5

B.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在［0,+8）上单调递减/（1）=0,则不等式〃1。&力＞0的

解集为q,2）

C.已知xeR,贝『”>0”是的充分不必要条件

D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为

a=0.3x-〃?，若样本中心点为(，〃,一2.8),贝1］加=4

【答案】BD

【分析】对A,利用方差的公式；对B,根据偶函数的性质及函数的单调性；对C,根据集合间的

关系判断；对D,根据回归直线经过样本点的中心.

【详解】对A,E(X)=20,100p=20=>/?=-,D(X)=100----=16,

o(gx+l)=；O(X)=4,故A错误；

对B,函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(|x|)=/(x),/(log^)>0»/(|log2x|)>/(l),

|log2<1<=>-1<log,x<l<=>^<x<2,故B正确；

对C,|x-l|vl=0<x<2,“尤>0”推不出"0<x<2",而"0<x<2”可以推出"x>0”,..."工〉。''

是的必要不充分条件，故C错误；

对D,,样本中心点为(〃?,—2.8),，?/=—2.8=＞，〃=4,故D正确;

故选：BD.

【点睹】本题考查二项分布方差公式、充分条件与必要条件、抽象函数的奇偶性与单调性、回归直

线与样本点的中心，考查运算求解能力.

10.已知函数/(x)=sinx-cosx,若g(x)是/(x)的导函数，则下列结论中正确的是()

A.函数f(x)的值域与g(x)的值域相同

B.若不是函数/(x)的极大值点，则%是函数g(x)的极小值点

C.把函数/(x)的图象向右平移5个单位，就可以得到函数g(x)的图象

D.函数/*)和g(x)在区间卜(£)上都是增函数

【答案】AD

【解析】fW的极值点定义求解判断；C.利用三角函数的平移变换判断；D.利用正弦函数的性

质求解判断；

【详解】因为/所以g(x)“,(x)=cosx+sinx=Hin(x+£|，

=-sinx+cosx=-V2sinx--

A.因为函数人力的值域是『夜,夜］,g(x)的值域是卜故正确；

%是函数/(X)的极大值点，则g(x())=r($)=8SXo+sin%=0,解得与=氏-?,k为奇数，而

5'(xo)=-72sin^-^=-V2^O,所以天不是函数g(x)的极小值点，故错误；

C.把函数"X)的图象向右平移《个单位得到

2

冗冗冗

/(X--)=sin(x-y)-cos(jc--)=-cosx-sinx*g(x),故错误；

D.当无仁(-了］)时，A：-—e^-y,O^,X+—e^O,y^j,函数，(x)和g(x)都是增函数，故正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：讨论三角函数性质时，关键是先把函数式化成丫=45叭3、+0)3>0)的形式.利

用三角函数的性质求解.

11.如图，点E为正方形ABC。边CD上异于点C、。的动点，将V4DE沿4E翻折成△SAE,在翻

折过程中，下列说法正确的是()

A.存在点E和某一翻折位置,使得S8_LSE

B.存在点E和某一翻折位置,使得4E〃平面SBC

C.存在点£和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABC所成的角为45。

D.存在点E和某一翻折位置，使得二面角S-AB-C的大小为60。

【答案】ACD

【分析】对于A,当E为CD中时，当翻折到AD=BS=a时，SBLSE；对于B,由CE〃AB,且

CE<BC,得AE与BC相交；对于C,对于C,DF±AE,交AE于G,S在平面ABC。的投影。在

2

FG上，连结80,则NSB。为直线SB于平面ABC所成角，由此能求出cose=—；对于D,过点。

3

作OMLA8,交AB于点、M,则/SMO为二面角S-A3-C的平面角，由此能求出结果.

2后

【详解】对于A,设正方形边长为m当E为CO中点时，AE=BE=—=—a,当翻折到A。

I2

=BS=a时，SB1SE,故A正确;

对于B,\'CE//AB,KCE<BC,...AE与8c相交，，AE与平面SBC相交，故B错误；

对于C,如图所示，DFVAE,交AE于G,S在平面4BCZ)的投影。在FG上，连结80,

则NSB。为直线SB于平面4BC所成角，取二面角O-AE-B的平面角为a,取AO=4,DE=3,

121212

则AE=D尸=5,CE=BF=l,DG=石,OG=《cosa,...只需满足S0=0B=《sina,在△0FB中，

根据余弦定理得：f-ysinaj=F+1£-?cosa)-2(£-£cosakosNOFB,解得cosa=g,故

C正确;

对于D,过点。作。交AB于点/，则NSMO为二面角S-AB-C的平面角，取二面角。

TT7T

-AE-8的平面角为60。，故只需满足。G=2GO=2OM,设N0AG=NO4M=，，-<0<-,则

84

AG_DG_OG

ZDAG=~~2，.0,(ntan。，化简，得2tanOlan2e=1,解得tanO=—验证满足,

2,叫万-2”15

故D正确.

故选:ACD.

12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(力="'('—1).则下列结论正确的是().

A.当xvO时,/(x)=e,'(x+l)

B.函数/(x)有五个零点

C.若关于*的方程/(耳=加有解，则实数”?的取值范围是/(-2)4加4/(2)

D.对TXi./eR,|f(赴)一/(%)|<2恒成立

【答案】AD

【分析】根据函数/(x)是奇函数，求出x<0时的解析式，可判断A；利用导数求出函数f(x)在(0,+8)

上的单调区间及极值，再结合/(x)是奇函数，可作出函数/(x)在R上的大致图象，从而可逐项判断8、

C、D.

【详解】设xvO,贝！|-x>0,所以〃-x)="(—I),

又函数fM是定义在R上的奇函数，所以/(-X)=-/W，

所以-/(x)=e*(-x-l),BPf(x)=ex(x+l)

故A正确.

、“„„,0/x—1.,,..cx—(x—1)^'2—x

当x>0时，f{x)=——,所cr以/r(x)=-------=——,

e(e)e

令尸(x)=0,解得x=2,

当0<x<2时，/'(x)>0；当x>2时,f'M<0,

所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,一)上单调递减，

故当x=2时，函数/(x)取得极小值e-2>0,

当0<x<2时，/(0)-/(2)<0,又/(1)=0,故函数〃x)在(0,2)仅有一个零点1.

当x>2时，/(》)=二>0,所以函数〃x)在(2,+oo)没有零点，

e

所以函数f(x)在(0,*»)上仅有一个零点，函数/*)是定义在R上的奇函数，

故函数/(X)在(-8,0)上仅有一个零点-1,又/(0)=0,

故函数/(x)是定义在R上有3个零点.

故B错误.

作出函数fW的大致图象，由图可知

若关于x的方程/。)=机有解，则实数加的取值范围是T<加<1.

故C错误.

由图可知，对％,当eR,|/(々)一/(%)|<|1一(一1)|=2

故。正确.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式：利用导数研究函数的单调性及最值：同时也

考查函数的零点，综合性较强.

三、填空题

13.随着近年来中国经济、文化的快速发展，越来越多的国外友人对中国的自然和人文景观表现出强

烈的兴趣.一外国家庭打算明年来中国旅行，他们计划在北京、上海、浙江、四川、贵州、云南6个地方

选3个去旅行，其中北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为.（用数字作答）

【答案】16

【分析】由题意利用组合、组合数公式，分类讨论，计算求得结果.

【详解】若北京和上海只选一个，则方法共有C；C：=12种，

若北京和上海都选，则方法共有C；・C：=4种，

所以北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为12+4=16种.

故答案为：16.

14.从二项式口+亡）的展开式各项中随机选两项，选得的两项均是有理项的概率是.

【答案】4

【分析】展开式共9项，利用通项公式可得有理项共3项，根据组合知识与古典概型概率公式可得

结果.

【详解】二项式1+套）的展开式的通项为：

_r24-4,

3，

24-4r八°

令——-——ez,0<r<8,

则r=0或3或6时为有理项，

所以从二项式1+9］的展开式各项中随机选两项有仁种选法，

其中有理项有种，

1

所以选得的两项均是有理项的概率是cl

C；12

故答案为五.

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及古典概型概率的应用，属于简单题.二项

展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个

方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系

数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和；(3)二项展开式定理的应用.

15.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平

行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线尸=4x的焦点为

F，一平行于x轴的光线从点M(3,l)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点8射

出，则直线的斜率为.

4

【答案】-j

【分析】由抛物线方程求出F,令V=l,代入/=4x,可得再根据由抛物线的光学性质

可知，反射光线AB经过尸(1,0),从而有=最后利用两点坐标求斜率即可得出结果.

【详解】解：由V=4x可得2P=4,p=2,所以焦点尸(1,0),

已知一平行于x轴的光线从点"(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射，

则令y=i,代入V=4x,得x=。，可得

由于光线经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点8射出，

由抛物线的光学性质可知，反射光线经过焦点尸(1,。)，

,=,JR4

即直线A3经过41,0),所以""一"•一厂一一5，

4

4

所以直线的斜率为

4

故答案为：-

16.已知函数/(力=竺三”的最小值为-1,函数g(x)=«?+3bx2+l的零点与极小值点相同，

贝lja+b=.

【答案】1

【分析】求/耿)，由r⑼=0可得b的值，求g'(x),讨论〃=0、«>0,a<0,判断“X)的最值

及g(x)的单调性，求出g(x)的极小值点，由极小值等于0即可得〃的值即可求解.

［详解］由/(x)="：?1可得尸(x)=*+(2;3x+l+%,

因为f(x)的最小值为/(0)=-1,

所以x=0是〃x)的极值点，所以/'(0)=1+6=0,所以。=-1；

当。=0时，g(x)=-3x2+l,由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意；

由g(x)=d%3-3x2+1可得/(6=3公2-61=3工(办一2),

2

令g'(x)=3x(奴-2)=0,可得$=0或左=一，

a

272

当a>0时，->0,由g«x)>0可得x<0或x>-；由ggx)<0可得0cx<‘,

所以g(x)在(-?,0)单调递增，在］。，*|］单调递减，在尼2,+8)单调递增,

7

所以g(6的极小值点为％=2

a

由题意可得g(2)=a(Z)—+1=0,解得a=2,止匕时a+/?=—1+2=1；

当”<0时，当xf-8时，/(%)->-00,不合题意;

所以a+b=L

故答案为：1.

四、解答题

17.在一A3C中，角A,B,C的对边分别为a,〃,c,己知(2a+c)cos5+6cosC=0.

⑴求8;

⑵若。=3,点。在AC边上且8。_14?,8。=及叵,求，.

14

【答案】(1)8=茎2兀

(2)5

【分析】⑴在_ABC中，将正弦定理代入(2a+c)cos8+bcosC=0中，移项化简可得cos8=-g解出即

可；

(2)先用余弦定理得三角形边之间关系，再根据等面积法，可得瓦。之间关系，两式联立即可得出边长J

【详解】(1)解:由题知，(勿+c)cosB+Z?cosC=0,

在.ABC中，由正弦定理得：

(2sinA+sinC)cosB+sin8cosC

=2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC

=2sinAcosB+sin(B+C)

=2sinAcos5+sinA

=sinA(2cosB+l)

=0,

因为A«0,兀)，

所以sin4w0,

故2cos5+1=0,

即cosB=―

2

因为840,兀)，

2兀

所以3

(2)在A8C中，由余弦定理得：

b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,

因为3。，AC,

所以S48c=gacsin8=BO,

将a=3,B=g,8O=M带入可得：

314

,7

b=-c,

5

所以闺LC2+3C+9,

解得:c=-?(舍)或c=5.

o

18.己知数列｛%｝中，4=1,q4“=(勺”.

(1)证明：数歹I」&“t｝和数列｛%,｝都是等比数列；

⑵若数列｛〃“｝的前2〃项和为笃“，令〃=(3-4")”("+1),求数列｛2｝的最大项.

【答案】(1)证明见解析

9

(2)*2=4=5

【分析】（1）数列｛%｝中，q=l,=［；）”，《,+£+2=］）*'，可得第=；，利用等比数列的

定义即可得出.

(2)由(1)得&=®+%+...+。3)+(。2+4+■••+/)，利用等比数列的求和公式、单调性即可得出.

【详解】(1)证明：数列｛凡｝中，4=1,%”向=(g),

•*=1

..凡2'

।11

.q=l,a{a2=—,：.4=3

二数列｛%-｝是以1为首项，以3为公比的等比数列,

数列｛的.｝是以g为首项，以I为公比的等比数列.

(2)解：由(1)得&=(4+%+…+生“_])+(々2+4+…+。2〃)

1——2L^r_2

T+=3

.12"

1—

,42

・••或=(3—5)〃(〃+1)=3〃5+1)(；),3(〃+1)(〃+2)(g),

；•2+1-2=3("+1)(小6^-")=3("+l)(g)(2-n),

:.b[<b2=by>b4>...>bn,

o

3,Lx=A=4=].

19.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知,

A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为。和2p-1(0.5强如1).

(1)从A,B生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%,求P的

最小值Po；

(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的P。作为P的值.

①已知A,8生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各

随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？

②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、

8元、6元，现从A,8生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示,

用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X,求X的分布列并估计该厂产

量2000件时利润的期望值.

【答案】(1)0.95；(2)①8生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.

【解析】(1)根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据

已知建立。的不等量关系，即可求解；

(2)①根据(1)的结论求出AB生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求

出结论；

②X的可能取值为6,8,10,根据频数分布图，求出X可能值的频率，得到X的分布列，根据期

望公式求解即可.

【详解】(1)设从A,8生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C,从A,8生产线上

抽检到合格品分别为事件N,由题知，M,N互为独立事件，所以P(M)=p,P(N)=2p-l,

P(C)=1-P(MN)=l-P{M)-P(N)

=l-(l-p)[l-(2p-l)]=l-2(l-p)2,

令1-2(1-p)2..0.995,解得p..0.95,故。的最小值Po=0.95.

(2)由(1)可知，A,B生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9,

不合格品率分别为0.05和0.1.

①由题知，A生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品1000x0.05=50(件),

可挽回损失为50x5=250(元)，

8生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品1000x0.1=100(件),

可挽回损失为100x3=300(元).

由此，估计B生产线挽回的平均损失较多.

②由题知，X的所有可能取值为6,8,10,

用样本的频率分布估计总体分布，则

P(X=6)=20+25=2p(x=8)=60+40」

200402002

20+35_11

P（X=IO）=

200-而

所以X的分布列为

113□

11

9111

所以E(X)=6x二+8x—+10x—=8.1(元).

40240

故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为2000x8.1=16200(元).

【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考

查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题.

r)E

20.如图1,在等边_"C中，点O,E分别为边48,AC上的动点且满足OE〃BC,记后=兀.将

BC

△4。后沿。七翻折到4时。£的位置并使得平面时£>£，平面。后。3,连接MB,MC得到图2,点N

为MC的中点.

(1)当EN〃平面时，求4的值：

(2)试探究：随着2值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改

变，请求出二面角的正弦值大小.

【答案】(1)彳=；

(2)不改变，半

【分析】(1)首先取的中点为P,连接。P,PN,再结合线面平行的性质即可得到2=；

(2)利用空间向量法求解即可.

【详解】(1)取MB的中点为P,连接OP,PN,

B

因为MN=CN,MP=BP,所以NP〃BC,

又DEMBC,所以NP〃DE,即ME,D,P四点共面，

又EN〃平面BMD,ENu平面NEDP,

平面NEQPC平面MBD=DP,

所以EN〃PD,即NED尸为平行四边形，

所以NP=DE,则Z)E=g8C,即

(2)取OE的中点。，连接M0,则MO_L£>E,因为平面平面OECB,

平面M3ECI平面OECB=OE,且例。_L£)E,所以例0_L平面OEC8,

如图建立空间直角坐标系，

B

不妨设8C=2,则M(O,O,G/l),0(40,0),B(l,V3(l-2),0),

所以MO=(2,0,-，DB=(l-2,^3(l-/l),0),

设平面的法向量为加=（x,y,z）,则

MD-m=Ax-6入z=0

DB/n=(l-2)x+x/3(l-2)y=0

令x=6即，"=(6,-1』).

又平面AMD的法向量"=（0,1,0）,

所以cos/M〃\"m丽n飞-1=一yJ不5

即随着4值的变化，二面角B-MD-E的大小不变.

且sin=Jl--=~~•

所以二面角B-MD-E的正弦值为乎.

21.在平面直角坐标系中，AABC的两个顶点A,8的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,平面内两点G,

M同时满足以下3个条件：①G是△A8C三条边中线的交点：②M是△48C的外心；③GMHAB

（1）求4ABC的顶点C的轨迹方程：

⑵若点P（2,0）与（1）中轨迹上的点£,尸三点共线，求怛£|"/:7?|的取值范围

2

【答案】（l）f+q=l（yw0）；

【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；

（2）设出三点所在的直线方程，与（1）中的轨迹方程联立，由判别式大于0求出22的范围，利用

韦达定理得到E,尸两点横坐标的和与积，将卢斗|尸耳表示为女的关系式，进一步得到归耳|「耳的

取值范围.

【详解】（1）设C（x,>'）,G（x。，%）,M（如，yM）,

因为例是AABC的外心，所以闫MB|

所以历在线段AB的中垂线上，所以/=二亨=0,

因为GM/AB,所以3=%,

又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心,

llt、t—1+1+xx0+0+yy

所以/=——-——=-,y=―丁上=W，

33033

所以％=%=],

X|M4|=|MC|,

所以J（0+l『+（,-q=J（0-xy+（1-y）>

2

化简得/+《=1（"o）,

2

所以顶点C的轨迹方程为/+,=1（），工0）；

（2）因为P,E,尸三点共线，所以「，E,F三点所在直线斜率存在且不为0,

设所在直线的方程为y=k{x-2）,

y=k（x-2）,

联立《2得,2+3卜2-4&+4〃一3=0

小+旷-1

3'

由△=（4公『-4侔+3）（4公-3）>0,得/<].

设E0,yJ,尸5，％），

4公

则《

4k、3

x.-x=------.

12公+3

所以归耳归耳=屈面2-引.7TiF|2-即=（1+如）|4-